找次品問題之次品特點未知的特例1——5找1“破組法”
2018年8月10日星期五
本文以《小學數學找次品問題的一種簡潔寫法》為基礎，更多問題請先行參閱上文為主，本文僅對必要的引用進行復述。
基於上文，找次品問題的假定有：
1.次品單以質量輕重界定；
2.次品唯一；
3.其餘合格品質量均一致；
4.次品特點已知。
今天我們討論的“找次品問題”是在改變或取消了假定4的基礎上進行的，也即“次品特點未知”，遵循以下3條假定：
1.次品單以質量輕重界定；
2.次品唯一；
3.其餘合格品質量均一致。
後續文章凡談及“次品特點未知”，均默認上述3條假定。事實上，上述3條假定是不能輕易改變的。一旦改變，有可能導致問題極度困難或是不可解，喪失數學性（粗略地猜測居多，未實例驗證）。今天及後續文章獨以缺失假定4為主要研究對象。需要聲明的是：在“次品特點未知的找次品問題”中，解答的目標不光是要找出唯一的次品，而且還要獲知次品的特點，即比合格品是重還是輕，因為在後面即將展開的例子中，您如果多加揣摩就會發現，有時次品已然找了出來，但是並不知輕重，因而還需要再多稱重1次。這種約定使得討論問題可以在同一標準上進行，不致產生無謂的爭議。
短期的一個計劃是：本文將給出“次品特點未知的找次品問題”的特例1（5找1），下文將給出特例2（8找1），繼之以“通用模型”及對比討論。我的目的在於：給出解決“次品特點未知的找次品問題”的通用的一般模型，讓這個問題得到徹底解決。我已達到了這一目標，但個別“特例”的存在，使得我的“通用模型”在正確性上頗受懷疑。這兩個“特例”並不是對我的“通用模型”的有力佐證，相反是“反例”。它們的存在，反而使我敢於給出“通用模型”，一者是不以“絕對正確”自居，二者是反例中給出的方法初步發現確實是“特殊的方法”，不具備通用性，在更一般地“n找1”問題中，我的“通用模型”具有優勢！
下面給出特例1：
5找1，即在5個產品中找出唯一的次品，並說明其特點。
首先，給5個產品編號為：①②③④⑤。真實操作時，您恐怕應當將寫有編號的標籤粘貼到產品上面。
其次，為了表達的方便，進行以下符號約定：
（ ）←→（ ）：簡要表示天平，箭頭左邊括號表示天平左盤，箭頭右邊括號表示天平右盤
0：表示天平的狀態為“平衡”
1：表示天平的狀態為“不平衡”
1s：表示天平的不平衡狀態與上次不平衡狀態相比保持一致（Same：一樣）
1c：表示天平的不平衡狀態與上次不平衡狀態相比發生改變（如：左重變為左輕、左輕變為左重。Change：改變）
1－0－1－1c－1s：表示共稱5次，第1次不平衡，第2次平衡，第3、4、5次不平衡，但第4次的不平衡狀態與第3次的不相同，第5次的不平衡狀態與第4次的相同（這樣做是為了“用文字敘述樹形結構”時不至於發生混亂，您慢慢習慣並感受吧！）
第三，對5個產品進行分組。
5（2，2，1）
對應為：（①②，③④，⑤）
由於本例中產品總數不大，故而對分組不再進行命名，比如：A組、B組、C組。有時，特定情況下需要這樣做，比如後面介紹“通用模型”時會使用這種對組的命名。
分組仍遵循“均分為三”的策略，這在《……簡潔寫法》中已有詳細論述，不管是本特例中的“破組法”，還是下一特例中的“換組法”，乃至“通用模型”，都堅持“均分為三”的核心策略，因為這是“最優策略”，我們總是在尋找“最少次數”，這是必然選擇！
第四，開始稱重。
第（一）步：
（①②）←→（③④）
出現兩種結果：1或0
第（二）步：
1：
（③）←→（④）
本步體現了“破組”的特點：上步同為一組的③④，破為兩組③和④，分居天平兩端對比稱重。此步十分巧妙，但也易見缺點：原組為奇數個數時，並不能良好使用或者減少稱重次數。
（重要程度★★★★）
本步依舊出現兩種結果：1或0
0：
說明①②③④均是合格品，⑤是次品，真是幸運，1步就找到了。但別太著急，此時次品“是輕是重”還不知道，因此還需再次稱重一步，任選其他任一合格品對比：
（①）←→（⑤）
只有一種結果：1。
本分支尋找完成，完整表述為：0－1
第（三）步：
1－1：
次品在③④中。由於在第一個“1”指向的步驟中，③④與①②已經被“不平衡”狀態標記了一次，所以當次品在①②③④中時，其“輕重”特點為已知。請分外注意我此處的用詞：“標記”。只有“不平衡”的狀態才能進行標記，說明次品已經被抓取到了托盤內，其所在組要麼是重的一組，要麼是輕的一組，平衡狀態不能進行標記。“標記”是次品特點經由未知逐步過渡為已知的重要步驟，同時，在真實操作中，您需要對“不平衡”狀態中，哪些輕哪些重進行記錄，也算是“標記”的具體意思。第二個“1”指向的步驟中，由於③和④不平衡，次品由①②③④中進一步縮小為③④中，本步不平衡配合上步已經對③④組進行了“或輕或重”的標記，使得我們知道了次品的特點，並能找出它。對此，您需要好好思索！
（重要程度★★★★）
因此：1－1發生後不再需要稱重第3次，次品已經找出：或③或④。
1－0：
此時，由於③與④平衡，次品在①②中，且由於①②與③④已經被“不平衡”狀態標記了一次，次品特點已知。繼續稱重如下：
（①）←→（②）
只有一種結果：1。
次品或①或②。
標記完整步驟為：1－0－1
可見，最壞情況下：5找1次品特點未知最少3次保證可以找出。
完整“樹形結構”圖示如下：
樹形結構圖
或許，比找到結果更為重要的是，您對這個結果的感覺！
當“找次品問題”不再擁有假定4時，也即“次品特點未知”時，有人曾給出了一個簡潔、漂亮、令人震撼的結論：
次品特點未知的次數＝次品特點已知的次數＋1 公式A
（重要程度★★★★）
意思是說：只需要比“正常”（即前文所研究的“次品特點已知”的情況）尋找次品的情況多稱重1次就可以解決問題。
我對這個結論好奇了很久很久，這個結論90%的情況是正確的。更重要的是，它為我的“通用模型”的提出提供了一種寶貴的思路：用額外1次與正常的1次的對比獲知次品的輕重特點，而並不影響正常1次在“3選1”縮小保留組上的作用。記住這一點，對於持續理解後續文章極為重要！
（重要程度★★★★★）
我的“通用模型”給出的“5找1”、“8找1”特例的結論均是“4次”，均不滿足公式A。下面是“正常次數”查找對照表：
找次品“次品特點已知”的最少次數對照表
具體規律詳見前文《……簡潔寫法》。可見：5與8都是屬於2次這個級別的，2＋1＝3次。這兩個特例似乎都在支持“公式A”的結論是100%正確的。但事實並非如此，尋找讓“公式A”出錯的例子更為容易，利用我的“通用模型”俯拾皆是，比如：29找1，按公式A需要4＋1＝5次，按我的“通用模型”只需要4次（後文詳述）。給出兩個成功的反例“抨擊”我的“通用模型”，只為檢驗是否存在更好的“模型”。一直以來，我不想輕易發表“通用模型”的原因，也正是因為“最佳模型”的不確定性。今天發出來，也是期望得到“高妙”的指點。不過您先得忍耐著看完我的好幾篇文章，因為表述起來著實有點嚇人，我也是有所畏懼或抗拒的。
文末再說明三點：
（1）n找1，次品就有n種可能，每個產品都有可能是次品，因此，檢驗“一組稱重實驗”是否完備的一個簡便方法是：看它是否覆蓋了所有可能結果，本文5找1最終的結果分為三組：或③或④、或①或②、⑤，顯然覆蓋了所有5種可能；
（2）本文5找1 “破組法”未用到“1s”、“1c”的表示符號，下文8找1 “換組法”將用到這兩個符號；
（3）本文5找1 “破組法”並非我發現的，而是我的一位“優秀的同事”發現的。她邊走在路上邊想，就找到了這個方法。我忽然想起了當代美籍華人數學家丘成桐說過的話：“你看我們數學家整日遊手好閒，四處走走逛逛，順便想想有趣的數學問題……”同事當時的狀態還真是“應景”！
就讓我們在這“低層次”的問題中自我陶醉吧！再會。
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