神评陈毒绣
数学上，球体与平面相切，只有一个点。不过，真如题主所问，实际中球体与面接触的面积不等于零，具体是多大，主要看两者的材料属性。下面，我以算例的形式，来解答这个问题。
1、基本原理
实际生活中，任何物体都是变形体，即物体在外载作用下都会发生或大或小的变形。完全不发生变形的称之为刚体，不过这个世界上绝对刚体不存在。
对于材料的变形能力，力学上有一个物理量来衡量——弹性模量。这个物理量基本上就可以反应出材料的“软硬”。弹性模量越大，材料越不容易变形。
2、算例分析
以铁球接触铁板为例，铁这种材料相对来说是比较“硬”的，其弹性模量200GPa。我们来看下在自重的作用下，接触面积有多大？铁球直径2m。
上图是位移结果，从位移上来看，铁球的变形几乎为零，铁板在接触处有变形。放大后下图。对于两者来说，变形都非常小。
通过目测，接触大约是铁球上网格的一半，即1.3e-2m，面积为5.3e-4平米。这个面积大约是2个手指那么粗。显然，这个面积不能近似为零。
3、总结
物体受力会发生变形，变形量的大小除了与外载有关，还与材料的属性有关。弹性模量越大，变形量就越小，两者接触的面积也就越小。通过铁球的算例，我们发现半径1m的铁球靠重力放置于铁板上，其接触面积越是2个手指那么大。
如果铁球更大，重量更重，那么接触面积也会更大。此外，如果铁球换成其他“软”的材料，铁板不变，那么接触面积也会更大。如下图，球弹性模量取2GPa，是铁球的1/100。对比上下两图，显然下图接触面积更大了。
虽然，这个算例在仿真里面算简单的，但是由于非线性接触，非常容易出现不收敛的情况，这时候就得不断地修改模型，直至能够计算处结果。所以，这么一篇小回答，花了我2个小时。
力学Nerd王小胖
答：从数学角度看，接触位置是一个点，面积为零；从物理角度看，单个原子无法支撑起整个球体重量，所以接触点存在形变，接触面积不为零。
完美球体放在平坦的地面上，理论上接触位置是一个点，但这只是对于理想刚体而言，实际当中不存在理想刚体，于是分为两种情况。
数学上
在数学上，不考虑受力情况和物质的微观组成，一个完美圆和直线相切，切点是一个面积为零的点，切点和圆心连线垂直于切线。
物理上
在物理上，根据受力情况和物质的微观组成，可以分析出接触面的大小；因为实际当中不存在理想刚体，所以地面要支撑起整个球体的重量，就需要通过形变来产生应力，形变大小和物质的性质有关。
物质由原子组成，原子通过化学键或者范德华力相互连接起来，单个原子间的力量是存在极限的，一个平面要支撑起一个球体，肯定会在微观层面产生形变，使多个原子的相互作用支撑起整个球体，从而达到平衡。
强相互作用材料
从本质上说，物质的这种形变，均是库仑力发挥作用，而强力是库仑力强度的100倍，在刘慈欣的小说《三体》中，就描述了一种强相互作用材料制成的“水滴”，具有几乎无限大的弹性模量，受到外力时几乎不产生形变。
强相互作用材料是否真的存在，目前还不得而知，但是对于人类能制造的材料，制成球体后压在平面上，球体和平面必定会产生形变，接触面积肯定不为零。
另外一位答友“王小胖老师”，定量计算了直径2米的铁球，弹性模量为200GPa，放在铁板上的接触面积，大家可以去看看，作为参考。
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艾伯史密斯
这要看你是从数学角度讨论还是物理角度讨论了。
如果是数学角度，一个完美的球体，放到一个完美的平面上，那么接触面就是一个点，而一个点有面积吗？无穷小。（注意：这里的“完美”也就是刚体的意思，球和平面都不发生形变）
如果从物理角度，那就很简单了，因为世界上没有绝对刚体存在，所以球和地面都会形变，一旦形变，那么接触面就是一个圆面，自然有面积。
如果不形变，你就会发现，接触面的压强会趋向于无穷大，这是不切实际的。
实际生活中，数学世界和物理世界的区别也有体现，比如下面这个：
托里拆利小号
我们将y=1/x的图像，取x≥1部分，绕x轴转一圈，就变成了下图模样（形状类似于一个小号）
我们来算一下它的容积和内表面积(如下）：
结果就有意思了，它的容积是个定值π，但是内表面积却是无穷大。
换句话说，如果给它里面上一层漆，因为表面积无穷，所以永远也抹不满；而如果将油漆直接倒进去，由于容积是定值，所以很快就满了。
但以上的结论均是数学世界得出的，实际上这个小号我们根本连造都造不出。
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赛先生科普
一个完美的球体放在一个绝对平坦的地面上，理论上来说，它们之间的接触面是一个点，面积无穷小。严格来讲，点没有面积概念，因此不能说他们之间的接触面积几乎为0。
如果一个完美的球体放在并不是绝对平坦的地面上，它们的接触面积可以认为几乎为0。
事实上，在现实世界中，两个物体的接触面积永远不可能为0。在重力的作用下，球体会对地面产生压力，根据P=F/S，若面积无穷小，压强就变成无穷大了。
从微观角度来看，世界上的一切都是由粒子构成的，都是凹凸不平的，只是在宏观世界中看起来近似光滑。就算没有重力，一个球体与地面接触，在电磁力的作用下，接触面也会产生形变。从原子级别来看，两个物体也根本不存在真正的接触。
由此可见，现实世界中并不存在这样完美的物体，任何物体都存在形变，理想中的刚体是不存在的。没有完美的球体，也没有绝对平坦的的地面，它们只存在于数学世界中。
科学探索菌
这个问题有点类似微积分。当球体小到缩为一个“点”时是点接触，而R无穷大时还是点接触？
假如在绝对的平面上放置一个圆球，它们的接触“点”或者说“面”与球体的半径R有直接关系。
从剖面图来分析。球半径越小，直至球体本身缩小成一个点那么接触部位一定是一个点。反之在球的半径逐渐增大，直至球体成为一个R无限大的球时，那球体底部几乎与平面平行。可是圆的定义与平面的定义告诉我们它们的接触部分应该是一个点。
“点”的定义是无限小，而两条线却近乎平行。那么在这种R越来越大近乎无限大的情况下怎么可能还是只有一个无限小的点接触呢。
所以，在概念上是答案是肯定的。但我觉得它们的接触部位跟球体半径R有关系。
ooO孙悟空Ooo
这就是数学与物理（现实）的区别，数学只是人类了解世界的工具，它并不等于现实，很多时候我们都不能用数学概念去解释现实世界！
就像问题中所说，或许上过初中的都应该知道，一个圆形和平面相切，切点就是一个点，没有大小没有体积的点，或者说无穷小的点！
但现实中不可能出现这种情况！首先不会存在一个完美的球体，也不会存在绝对的平面，球体和平面都是相对的。其次，也不存在绝对的刚体，也就是绝不变形的物体！
所以即便有完美的球体和平面，当它们接触时，接触面积也不可能是无限小的点，有会有一定的面积！这就是理想与现实的差距！
事实上，这种问题牵扯到无穷小以及极限的概念，同时还有数学与物理的区别！数学并不等于现实，比如说，数学上存在无穷小，你永远找不到一个比0大的最小的数，但在物理和现实中，这样的数是存在的，它就是普朗克长度，任何小于普朗克长度的单位都没有意义！
宇宙探索
事实上所有的接触放到微观上都是0，原子和原子是不可能直接接触的，他们之间是巨大的空间，靠电磁力维持。
修行的害虫
数学里点是没有面积的，球体和平面接触是点所以面积为零，但真实物理世界点却是不存在的，所以当拿一个球体与平面接触时，就算是绝对的刚体，无论接触面它多小，始终有面积
手机用户4175924909
理论上讲，标准球体与标谁平面的接触面无限趋近千于零但绝不等于零。(极限慨念)球体的重量减去空气的浮力后，其余重量全压在与平面接触的无限趋近于零但又不等于零的那个无限小的"点"，这个"点"上所承受的压强足趋近于无穷大的。
19480407
注意“完美的”这个限定，在此限定之下已经排除了材料，质量，重力等等因素。
