神奇的5和6

在數的平方中，5和6可以說是兩個非常神奇的數。

首先，5的平方等於25，其末位數仍然是5；6的平方等於36，其末位數仍然是6。

對於末位數是5的兩位數，從15到95這9個數，經計算知道只有25的平方等於625，其末兩位數仍然是25；

對於末位數是6的兩位數，從16到96這9個數，經計算知道只有76的平方等於5776，其末兩位數仍然是76；

對於末兩位數是25的三位數，從125到925這9個數，經計算知道只有625的平方等於390625，其末三位數仍然是625；

對於末兩位數是76的三位數，從176到976這9個數，經計算知道只有376的平方等於141376，其末三位數仍然是376。

面對最後這個結論或許我們會提出這樣的問題：一個三位數，其平方的末三位數仍然是這個三位數的除了625和376外，還有其他的數嗎？

下面我們來探索這個問題：

首先，設所求的三位數為100x＋10

(100x+10y+z)2＝1000a＋（100x＋10y＋z）（a為正整數，且10≤a≤998）

所以(100x+10y+z)2-（100x＋10y＋z）＝1000a，

左邊因式分解，得：

（100x＋10y＋z）（100x＋10y＋z－1）＝1000a，

因為（100x＋10y＋z－1）與（100x＋10y＋z）是三位數的連續整數，

且它們的乘積末三位數都是0，

所以它們的末位數只能是0和1，或4和5，或5和6，所以z只能是1或5或6．

如果z＝1，則

（100x＋10y＋1）（100x＋10y）＝1000a，

整理，得：

(100x+10y)2+(100x+10y)=1000a，

即100(10x+y)2+10(10x+y)=1000a，

兩邊除以10，得

10（10x+y）2+(10x+y)=100a，

整理，得

（10x+y）[10(10x+y)+1]=100a，

因為10(10x+y)+1的個位數是1，所以10x+y的個位數為0，

所以y=0，

所以10x·(100x+1)=100a，

所以x(100x+1)=10a，

所以x=10，與x<10矛盾；

如果z＝5，則

（100x＋10y＋4）（100x＋10y＋5）＝1000a，

整理，得

（100x+10y）2＋9（100x＋10y）＝1000a－20，

再整理，得

10(10x+y)2＋9（10x＋y）＝100a－2，

即（10x＋y）[10（10x＋y）＋9]＝100a－2，

因為[10（10x＋y）＋9]的個位數為9，100a－2的個位數為8，

所以（10x＋y）的個位數只能是2，所以y＝2，

所以（10x＋2）（100x＋29）＝100a－2，

整理，得1000x2＋490

即100x2＋49x＝10a－6，

所以x（100x＋49）＝10a－6，

因為（100x＋49）的個位數是9，10a－6的個位數是4，所以x只能是6，

故所求的三位數是625；

如果z＝6，則

（100x＋10y＋5）（100x＋10y＋6）＝1000a，

整理，得

(100x+y)2＋11（100x＋10y）＝1000a－30，

再整理，得

10(10x+y)2＋11（10x＋y）＝100a－3，

即（10x＋y）[10（10x＋y＋1）＋1]＝100a－3，

因為[10（10x＋y＋1）＋1]的個位數為1，100a－3的個位數為7，

所以（10x＋y）的個位數只能是7，所以y＝7，

所以（10x＋7）（100x＋81）＝100a－3，

整理，得1000x2＋1510x＝100a－570，

即100x2＋151x＝10a－57＝10（a－5）－7，

所以x（100x＋151）＝10（a－5）－7，

因為（100x＋151）的個位數是1，10（a－5）－7的個位數是3，

所以x只能是3，

故所求的三位數是376．

綜上，所有滿足條件的三位數只有625和376兩個．

有興趣的可以探索一下：一個兩位數，其平方的末兩位數仍然是這個兩位數的除了25和76外，還有其他的數嗎？

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關鍵字: 位數 其末 100a