印度數學家拉馬努金的故事在我國瞭解數學的人中流傳得還是比較廣泛，很大程度上是因為這個故事中包含了許多我們“喜聞樂見”的因素，比如天賦異稟，自學成才，巧遇伯樂等等。正是由於這些因素，拉馬努金短暫的一生充滿了傳奇色彩，但這樣的傳奇卻是非常真實的，因而又顯得有一些悲壯。關於拉馬努金的一生，分別有一本著名的傳記和電影，名字中都包含了

引言

拉馬努金沒受過正規而完整的高等數學教育，但從小卻對數字異常敏感，僅憑直覺得到了許多公式，尤其是關於素數或π的一系列關係。他在短暫的一生中留下了大約3900個各種各樣的數學公式，但後人經過研究卻驚訝地發現，這些直覺的產物大多都是正確的，其中一些還對今後的數學發展產生了影響。

作為拉馬努金的伯樂，哈代曾評價拉馬努金說：

他對代數公式的洞察力和無窮級數變換的能力等，實在是最令人驚羨的。在這方面，我絕未見過堪與他旗鼓相當的人，只能拿他和歐拉或雅可比相提並論。他遠比大多數現代數學家更偏好從歸納中得出結果，比方說，他對劃分數的同餘性質研究，就完全是這麼進行的。然後憑著他的記憶力，耐心，計算能力，再結合他歸納推廣的強大能力，對數學形式的直覺，迅速修正自己假設的能力等等……這些往往著實令人稱奇。這使得他在他自己的領域內，當世無人可敵。

拉馬努金和數學筆記

拉馬努金(Srinivasa Ramanujan，1887~1920)出生於印度泰米爾納德邦的一個沒落貧窮的婆羅門家庭，父親只是當地一個雜貨鋪的小店員，而一家七口人的生活全靠他苦苦支撐，而實際上，拉馬努金小時候大部分時間待在祖母那裡。

和古往今來眾多數學天才一樣，拉馬努金從小便表現出對事物極強的好奇心，喜歡“刨根問底”。大約12歲的時候，拉馬努金開始對數學著了迷，因為其中的那些像“畢達哥拉斯定理”這樣神奇的數學公式深深吸引了他。由於常常獨自一人鑽研數學，再加之靦腆內向的性格，拉馬努金顯得不太合群，他的同學甚至老師都對他“敬而遠之”，但他們都不得不承認，拉馬努金是絕對的數學天才。

15歲的時候拉馬努金接觸到了一本足以影響他一生的數學書，那就是英國數學家卡爾編纂的《純粹數學與應用數學彙編》(簡稱《數學彙編》)。這本類似於數學詞典的書收集了關於包括三角函數，代數，微積分和解析幾何等方面的幾千條公式或定理，並以一定的邏輯來敘述這些公式定理。限於篇幅，大多數公式定理都沒有給出證明，但這更激發了拉馬努金的興趣，越是不懂，他越想去證明。

實際上，這本書是一名租住在他家的大學生借給拉馬努金的，雖然巧合，但對拉馬努金而言卻如“久旱逢甘霖”一樣，因為在此之前他所能接觸到的數學知識太少了，而這本書對他來說如同一個嶄新的世界一般。在接下來大約五年時間裡，拉馬努金花費大量精力去證明書中的內容，並在此基礎上進行自己的思考，這些內容構成了他著名的數學筆記。出於對宗教的虔誠信仰，拉馬努金將這些成果都看做是神指引他的結果，他自己也說很多都是在夢中得到的。

拉馬努金從高中以優異成績畢業時，校長非常賞識他的數學才華，給他頒發了一筆特別獎學金。此後，拉馬努金兩度進入當地的地方學院讀書，但均因過分痴迷數學而荒廢其他學業而被退學，助學金也被剝奪。但拉馬努金對數學的熱愛已經讓他不再關注這些，他開始獨立進行數學思考和研究，但為了生計卻不得不做一些家教之類的零散工作。更要命的是，按當地傳統，拉馬努金娶了一名大約只有十歲的女孩為妻，這更加劇了一家人的貧困，拉馬努金甚至買不起草稿紙，經常跑到寺廟的地板上進行演算推理。

但對拉馬努金這樣耀眼的天才來說，運氣並不會總是很差。拉馬努金先是遇到了印度數學會的創始人艾亞爾，而艾亞爾又將拉馬努金介紹給一位同樣喜歡數學的官員，而這位官員則十分樂意給拉馬努金安排一個帶薪的閒職，以資助他的數學研究。但拉馬努金後來還是沒有繼續接受這樣的“饋贈”，因為他還是認為這是在違背神的旨意。

1911年，在艾亞爾的積極幫助下，拉馬努金在《印度數學會會刊》上發表了自己的第一篇論文，研究內容為伯努利數，其中第一個問題是求如下表達式的值：

與此同時，拉馬努金的數學筆記已經在少數印度數學家之間流傳，儘管筆記的內容和寫法都比較晦澀，但他們都能看出拉馬努金的數學才能，一致認為拉馬努金應該到英國去學習，充分發揮他的天才。在朋友們的幫助下，拉馬努金先聯繫了倫敦大學學院(University College London)的數學教授希爾，但希爾回信指出拉馬努金缺乏數學教育背景，不太可能成為數學家。後來拉馬努金又聯繫了劍橋大學的數學教授貝克和霍布森，並隨信附上了自己的數學筆記，但苦苦的等待之後，他的信件和筆記被原封不動的退了回來。

但拉馬努金沒有放棄，1913年1月他又給劍橋大學著名數學家哈代寄去了自己的筆記節選。哈代不想放棄發現任何一個數學天才的機會，他最終決定打開拉馬努金的信件，並且很快被其中的內容所吸引，儘管他不能立即確定其正確性。

哈代找來同樣傑出的數學家李特伍德評析拉馬努金的成果，他們一致認為儘管有些結果與前人重複，但仍有一些結果是全新而令人驚奇的，遺憾的是很多等式缺乏證明。哈代迫不及待地邀請這位不知名的印度數學家前往劍橋大學交流，為此2月初他給拉馬努金回了信。

起初拉馬努金出於對祖國和家庭的眷戀，不願意離開印度，但後來還是在朋友們的勸說和幫助下，拉馬努金最終決定前往劍橋。或許他們都沒有想到，這次英國之行將創造一段數學史上的傳奇和佳話。

劍橋與數學研究

1914年3月，時年27歲的拉馬努金離開印度，乘船前往英國，並於一個月之後抵達劍橋。哈代和李特伍德很快與他見了面，幾乎從頭一次交談開始，他們就開始了數學上的合作。但哈代很快發現，由於缺乏系統的數學教育，拉馬努金幾乎對現代數學的要求一無所知，他甚至不知道如何進行數學證明，為什麼要證明，在他看來，“數學就是那樣，不需要證明”。

拉馬努金這樣的“固執”一開始讓哈代非常頭痛，如果拉馬努金不對他的結果進行嚴格數學證明，那麼成果就無法發表，同行也不會承認。在哈代和李特伍德眼中，拉馬努金堪稱“當代雅可比”，他們絕不能讓拉馬努金的才華埋沒。不久之後，在二人的耐心勸導和幫助下，拉馬努金終於領悟瞭如何進行“數學證明”。

1916年，拉馬努金以研究“極大合數”的論文獲得博士學位，這對於一個甚至連正規大學教育都沒有接受過的人說，已經算得上是一個不折不扣的奇蹟。

在劍橋的五年時間裡，拉馬努金通過和哈代與李特伍德的合作不斷取得了一系列重大成果。這其中包括拉馬努金自己的發現和那些和二人的合作中發展和證明的定理，內容包含了極大合數的性質 ，整數分拆函數和它的漸近線，拉馬努金θ函數等等。

整數拆分與拉馬努金猜想

在拉馬努金的數學生涯中，他至少在伽馬函數 、模形式 、發散級數 、超幾何級數 、數論和整數分拆等領域做出過傑出貢獻。這裡我們要特別提到他在整數分拆上的工作和拉馬努金猜想。

整數分拆是一個古老的數學問題，簡單來說，就是將一個整數拆分成若干整數之和，並研究拆分的性質。整數拆分與模函數有密切關係，並在組合數學、群論、概率論、數理統計學及質點物理學等方面都有重要應用。當一個整數很大時，分拆方法將會非常多，而拉馬努金的貢獻在於他找到了一個非常好的關於拆分個數的漸近公式，使得關於整數拆分的研究有了質的提升。

拉馬努金猜想是一個關於τ-函數的係數大小的判斷，這聯繫著模形式理論中的一個典型尖形式(cuspform)。實際上，拉馬努金猜想還與後來代數幾何中深刻的韋伊猜想有千絲萬縷的關係。後來在模形式理論中，拉馬努金所定義的函數成為了基本的例子，間接為這一理論的發展提供了思路。

憑藉一系列數學成就以及哈代的力排眾議，拉馬努金在1918年破例當選為英國皇家學會會員，這是相當大的榮譽。而且這也表明，拉馬努金的數學成就已經得到學界公認，他已經有了一席之地。

英年早逝

然而天才總是伴隨不幸，拉馬努金這位曠世奇才也沒有逃脫這樣的命運。由於長期的貧困和營養不良，拉馬努金的健康狀況從小就不太好，經常遭受病痛的折磨。實際上在拉馬努金離開印度之前，他已經生過一場大病，甚至都已經交代好了他珍貴的數學筆記的去處，幸運的是後來經過治療暫時恢復了健康。

來到英國之後，拉馬努金對這裡的生活其實很不習慣，因為印度和英國的差別實在太大了。出於虔誠的宗教信仰，拉馬努金在英國幾乎只吃素，而且也不適應這裡的食物，加上本就營養不良的身體，他的健康變得很脆弱。在劍橋這個彙集精英貴族之地，不少人仍然輕視他這樣出身草根的人物，這使得他悶悶不樂。更要命的是，來自熱帶地區的拉馬努金完全無法忍受英國嚴寒的冬季，這又讓他更加思念自己的故鄉，但第一次世界大戰激戰正酣，他也無法返鄉。

最終，他還是不幸地感染了肺結核，這也使得他的精神更加抑鬱，甚至試圖結束自己的生命。雖然經過治療他的病情暫時得以緩解，但拉馬努金的生命已經快要耗盡了……

哈代前去看望拉馬努金時，告訴他自己坐的出租車號碼1729很無聊，但天才的拉馬努金卻告訴哈代，1729一點也不無聊，因為它是正整數中恰好可以用不同的兩個立方數之和來表達而且只有兩種表達方式的數之中最小的一個(1729=1³+12³=9³+10³)。即使在病中，拉馬努金對數字的敏感程度依舊令人稱奇。

1919年，一戰結束後，拉馬努金終於回到了故鄉，和母親和妻子度過了最後的日子。不到一年時間，拉馬努金的靈魂最終還是離開了他早已羸弱和疲憊不堪的軀體，永遠告別了這個世界……

結語

拉馬努金離世的消息很快傳遍了印度和英國，聞者無不扼腕嘆息。他的筆記和成果經過後人的發掘後，越發顯示其重要價值，毫不誇張的說，拉馬努金是印度現代科學發展的代名詞。

拉馬努金去世後，他的母親和妻子由政府出資贍養，直至去世。特別要提到的是，拉馬努金去世時，他的妻子只有21歲，雖然在一起的時間並不長，但感情非常好，因此她終身沒有再嫁，帶著對自己丈夫深切的懷念，積極整理宣傳拉馬努金的工作和事蹟，直至1994年以95歲高齡謝世。不過十分遺憾的是，拉馬努金沒有留下一兒半女。

拉馬努金離世已將近百年，但他的名字無疑將永遠刻在數學的豐碑之上……

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