印度数学家拉马努金的故事在我国了解数学的人中流传得还是比较广泛，很大程度上是因为这个故事中包含了许多我们“喜闻乐见”的因素，比如天赋异禀，自学成才，巧遇伯乐等等。正是由于这些因素，拉马努金短暂的一生充满了传奇色彩，但这样的传奇却是非常真实的，因而又显得有一些悲壮。关于拉马努金的一生，分别有一本著名的传记和电影，名字中都包含了

引言

拉马努金没受过正规而完整的高等数学教育，但从小却对数字异常敏感，仅凭直觉得到了许多公式，尤其是关于素数或π的一系列关系。他在短暂的一生中留下了大约3900个各种各样的数学公式，但后人经过研究却惊讶地发现，这些直觉的产物大多都是正确的，其中一些还对今后的数学发展产生了影响。

作为拉马努金的伯乐，哈代曾评价拉马努金说：

他对代数公式的洞察力和无穷级数变换的能力等，实在是最令人惊羡的。在这方面，我绝未见过堪与他旗鼓相当的人，只能拿他和欧拉或雅可比相提并论。他远比大多数现代数学家更偏好从归纳中得出结果，比方说，他对划分数的同余性质研究，就完全是这么进行的。然后凭着他的记忆力，耐心，计算能力，再结合他归纳推广的强大能力，对数学形式的直觉，迅速修正自己假设的能力等等……这些往往着实令人称奇。这使得他在他自己的领域内，当世无人可敌。

拉马努金和数学笔记

拉马努金(Srinivasa Ramanujan，1887~1920)出生于印度泰米尔纳德邦的一个没落贫穷的婆罗门家庭，父亲只是当地一个杂货铺的小店员，而一家七口人的生活全靠他苦苦支撑，而实际上，拉马努金小时候大部分时间待在祖母那里。

和古往今来众多数学天才一样，拉马努金从小便表现出对事物极强的好奇心，喜欢“刨根问底”。大约12岁的时候，拉马努金开始对数学着了迷，因为其中的那些像“毕达哥拉斯定理”这样神奇的数学公式深深吸引了他。由于常常独自一人钻研数学，再加之腼腆内向的性格，拉马努金显得不太合群，他的同学甚至老师都对他“敬而远之”，但他们都不得不承认，拉马努金是绝对的数学天才。

15岁的时候拉马努金接触到了一本足以影响他一生的数学书，那就是英国数学家卡尔编纂的《纯粹数学与应用数学汇编》(简称《数学汇编》)。这本类似于数学词典的书收集了关于包括三角函数，代数，微积分和解析几何等方面的几千条公式或定理，并以一定的逻辑来叙述这些公式定理。限于篇幅，大多数公式定理都没有给出证明，但这更激发了拉马努金的兴趣，越是不懂，他越想去证明。

实际上，这本书是一名租住在他家的大学生借给拉马努金的，虽然巧合，但对拉马努金而言却如“久旱逢甘霖”一样，因为在此之前他所能接触到的数学知识太少了，而这本书对他来说如同一个崭新的世界一般。在接下来大约五年时间里，拉马努金花费大量精力去证明书中的内容，并在此基础上进行自己的思考，这些内容构成了他著名的数学笔记。出于对宗教的虔诚信仰，拉马努金将这些成果都看做是神指引他的结果，他自己也说很多都是在梦中得到的。

拉马努金从高中以优异成绩毕业时，校长非常赏识他的数学才华，给他颁发了一笔特别奖学金。此后，拉马努金两度进入当地的地方学院读书，但均因过分痴迷数学而荒废其他学业而被退学，助学金也被剥夺。但拉马努金对数学的热爱已经让他不再关注这些，他开始独立进行数学思考和研究，但为了生计却不得不做一些家教之类的零散工作。更要命的是，按当地传统，拉马努金娶了一名大约只有十岁的女孩为妻，这更加剧了一家人的贫困，拉马努金甚至买不起草稿纸，经常跑到寺庙的地板上进行演算推理。

但对拉马努金这样耀眼的天才来说，运气并不会总是很差。拉马努金先是遇到了印度数学会的创始人艾亚尔，而艾亚尔又将拉马努金介绍给一位同样喜欢数学的官员，而这位官员则十分乐意给拉马努金安排一个带薪的闲职，以资助他的数学研究。但拉马努金后来还是没有继续接受这样的“馈赠”，因为他还是认为这是在违背神的旨意。

1911年，在艾亚尔的积极帮助下，拉马努金在《印度数学会会刊》上发表了自己的第一篇论文，研究内容为伯努利数，其中第一个问题是求如下表达式的值：

与此同时，拉马努金的数学笔记已经在少数印度数学家之间流传，尽管笔记的内容和写法都比较晦涩，但他们都能看出拉马努金的数学才能，一致认为拉马努金应该到英国去学习，充分发挥他的天才。在朋友们的帮助下，拉马努金先联系了伦敦大学学院(University College London)的数学教授希尔，但希尔回信指出拉马努金缺乏数学教育背景，不太可能成为数学家。后来拉马努金又联系了剑桥大学的数学教授贝克和霍布森，并随信附上了自己的数学笔记，但苦苦的等待之后，他的信件和笔记被原封不动的退了回来。

但拉马努金没有放弃，1913年1月他又给剑桥大学著名数学家哈代寄去了自己的笔记节选。哈代不想放弃发现任何一个数学天才的机会，他最终决定打开拉马努金的信件，并且很快被其中的内容所吸引，尽管他不能立即确定其正确性。

哈代找来同样杰出的数学家李特伍德评析拉马努金的成果，他们一致认为尽管有些结果与前人重复，但仍有一些结果是全新而令人惊奇的，遗憾的是很多等式缺乏证明。哈代迫不及待地邀请这位不知名的印度数学家前往剑桥大学交流，为此2月初他给拉马努金回了信。

起初拉马努金出于对祖国和家庭的眷恋，不愿意离开印度，但后来还是在朋友们的劝说和帮助下，拉马努金最终决定前往剑桥。或许他们都没有想到，这次英国之行将创造一段数学史上的传奇和佳话。

剑桥与数学研究

1914年3月，时年27岁的拉马努金离开印度，乘船前往英国，并于一个月之后抵达剑桥。哈代和李特伍德很快与他见了面，几乎从头一次交谈开始，他们就开始了数学上的合作。但哈代很快发现，由于缺乏系统的数学教育，拉马努金几乎对现代数学的要求一无所知，他甚至不知道如何进行数学证明，为什么要证明，在他看来，“数学就是那样，不需要证明”。

拉马努金这样的“固执”一开始让哈代非常头痛，如果拉马努金不对他的结果进行严格数学证明，那么成果就无法发表，同行也不会承认。在哈代和李特伍德眼中，拉马努金堪称“当代雅可比”，他们绝不能让拉马努金的才华埋没。不久之后，在二人的耐心劝导和帮助下，拉马努金终于领悟了如何进行“数学证明”。

1916年，拉马努金以研究“极大合数”的论文获得博士学位，这对于一个甚至连正规大学教育都没有接受过的人说，已经算得上是一个不折不扣的奇迹。

在剑桥的五年时间里，拉马努金通过和哈代与李特伍德的合作不断取得了一系列重大成果。这其中包括拉马努金自己的发现和那些和二人的合作中发展和证明的定理，内容包含了极大合数的性质 ，整数分拆函数和它的渐近线，拉马努金θ函数等等。

整数拆分与拉马努金猜想

在拉马努金的数学生涯中，他至少在伽马函数 、模形式 、发散级数 、超几何级数 、数论和整数分拆等领域做出过杰出贡献。这里我们要特别提到他在整数分拆上的工作和拉马努金猜想。

整数分拆是一个古老的数学问题，简单来说，就是将一个整数拆分成若干整数之和，并研究拆分的性质。整数拆分与模函数有密切关系，并在组合数学、群论、概率论、数理统计学及质点物理学等方面都有重要应用。当一个整数很大时，分拆方法将会非常多，而拉马努金的贡献在于他找到了一个非常好的关于拆分个数的渐近公式，使得关于整数拆分的研究有了质的提升。

拉马努金猜想是一个关于τ-函数的系数大小的判断，这联系着模形式理论中的一个典型尖形式(cuspform)。实际上，拉马努金猜想还与后来代数几何中深刻的韦伊猜想有千丝万缕的关系。后来在模形式理论中，拉马努金所定义的函数成为了基本的例子，间接为这一理论的发展提供了思路。

凭借一系列数学成就以及哈代的力排众议，拉马努金在1918年破例当选为英国皇家学会会员，这是相当大的荣誉。而且这也表明，拉马努金的数学成就已经得到学界公认，他已经有了一席之地。

英年早逝

然而天才总是伴随不幸，拉马努金这位旷世奇才也没有逃脱这样的命运。由于长期的贫困和营养不良，拉马努金的健康状况从小就不太好，经常遭受病痛的折磨。实际上在拉马努金离开印度之前，他已经生过一场大病，甚至都已经交代好了他珍贵的数学笔记的去处，幸运的是后来经过治疗暂时恢复了健康。

来到英国之后，拉马努金对这里的生活其实很不习惯，因为印度和英国的差别实在太大了。出于虔诚的宗教信仰，拉马努金在英国几乎只吃素，而且也不适应这里的食物，加上本就营养不良的身体，他的健康变得很脆弱。在剑桥这个汇集精英贵族之地，不少人仍然轻视他这样出身草根的人物，这使得他闷闷不乐。更要命的是，来自热带地区的拉马努金完全无法忍受英国严寒的冬季，这又让他更加思念自己的故乡，但第一次世界大战激战正酣，他也无法返乡。

最终，他还是不幸地感染了肺结核，这也使得他的精神更加抑郁，甚至试图结束自己的生命。虽然经过治疗他的病情暂时得以缓解，但拉马努金的生命已经快要耗尽了……

哈代前去看望拉马努金时，告诉他自己坐的出租车号码1729很无聊，但天才的拉马努金却告诉哈代，1729一点也不无聊，因为它是正整数中恰好可以用不同的两个立方数之和来表达而且只有两种表达方式的数之中最小的一个(1729=1³+12³=9³+10³)。即使在病中，拉马努金对数字的敏感程度依旧令人称奇。

1919年，一战结束后，拉马努金终于回到了故乡，和母亲和妻子度过了最后的日子。不到一年时间，拉马努金的灵魂最终还是离开了他早已羸弱和疲惫不堪的躯体，永远告别了这个世界……

结语

拉马努金离世的消息很快传遍了印度和英国，闻者无不扼腕叹息。他的笔记和成果经过后人的发掘后，越发显示其重要价值，毫不夸张的说，拉马努金是印度现代科学发展的代名词。

拉马努金去世后，他的母亲和妻子由政府出资赡养，直至去世。特别要提到的是，拉马努金去世时，他的妻子只有21岁，虽然在一起的时间并不长，但感情非常好，因此她终身没有再嫁，带着对自己丈夫深切的怀念，积极整理宣传拉马努金的工作和事迹，直至1994年以95岁高龄谢世。不过十分遗憾的是，拉马努金没有留下一儿半女。

拉马努金离世已将近百年，但他的名字无疑将永远刻在数学的丰碑之上……

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