岁月是把杀猪刀，也是一把猪饲料。历史长河，几千年不过是弹指一挥间；而几千年时间却足以留给世人无尽的财富和数不清的谜团。

古埃及文明可以追溯至公元前6000年，但他们的足迹大部分在历史中湮灭了，现存的诸多辉煌中，最让我们震撼的莫过于“世界八大奇迹之一”的金字塔。金字塔有着许多的未解之谜，它在结构上的惊人设计、及多种测量数据的巧合，更为其增添了几分神秘色彩。

金字塔

我们都知道，金字塔的底部多为正方形，而且角度误差极小，古埃及人在科技落后的情况下，是如何保证边之间的垂直关系的呢？要知道金字塔的底长在200米左右，稍微的误差都会让金字塔“变形”。有一个合理的解释是，古埃及人早已掌握了“勾股定理”，并能将其运用于生活：

如上图，准备一根长绳，然后在每个12等分点处打结，并以3:4:5的关系拉紧成三角形，这样长边所对的角即为直角。是不是很巧妙，古埃及人利用3:4:5的边长关系，成功构造出了直角三角形。什么原理呢？勾股定理能出合理解释。

勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。反之，如果一个三角形，其中两条边的平方和等于另一边的平方，那么，这个三角形是直角三角形。

从古至今，没有一个数学定理像“勾股定理”这样受到人们的特别关注和热爱。 普林顿（Plinpton）322 泥板显示，古巴比伦人至少在公元前1600年就已知晓这个定理。我国古代数学名著《周髀算经》也明确有“勾广三,股修四,经隅五”的特例记载，这也是‘勾股定理’一词的来源。

在欧洲，古希腊数学家毕达哥拉斯最早发现了“勾股定理”，据说为此该学派还杀了一百头牛来庆贺，故在西方，“勾股定理”除了叫“毕达哥拉斯定理（Pythagoras theorem）”外，又名“百牛定理”。其他的古代文明，如古印度、古阿拉伯也都有勾股定理的记载。

勾股定理被发现以后，证明方法就层出不穷——如欧几里得证法、“赵爽弦图”证法、总统证法等，据统计，到现在已有500多种。对

勾股定理的“实验验证”

那勾股定理到底有多重要呢？ 我们不妨做一个假设：

一、数系扩充受阻

数系从易于感知的自然数开始，经过不断的扩充，到今天才达到完备的状态。零、负数、虚数的发现都有其独特的历史印记，而无理数的发现尤为人们津津乐道。

公元前500年，毕达哥拉斯学派的希伯索斯（Hippasus）在研究“勾股定理”时，无意间发现了一个惊人的事实：一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的——即，边长为1的正方形的对角线长不能用整数或分数表示。

这是对毕达哥拉斯学派所崇尚的“万物皆数”理论的致命一击，由此带来的“第一次数学危机”更是许久未平。当然，数学发展史上的每一次挫折都是一场革命，随着危机的解决，数学研究中新的血液也会随之输入。这一次，数系中加入了一位新成员——“无理数”。

尽管√2不是被发现第一位无理数——因为关于圆周率π的发现也许更早，但古人在实际应用中只考虑π的近似值，并没有认识到它的“无理性”。是√2迫使人们去思考还存在着与“整数和分数”不一样的数，进而想办法扩充数系，解决矛盾。所以，√2的发现大大促使了数学家发现无理数的进程，而√2的发现无疑是依赖“勾股定理”的。

难以想象，如果没有“勾股定理”，我们现在的”数系”会是怎样？会不会人们至今仍然不去考虑圆周率π的无理性，更不会思考自然常数e与分数有何不同？

二、数论将失色不少

√2是“勾股定理”在几何与代数两个领域的融合产物。如果从数论上分析，我们又可以得到些什么结论呢?

满足勾股定理的三元数组（a,b,c）（其中a,b,c均为正整数），叫做勾股数。如（3,4,5）即为一组勾股数.

通过简单的运算可知，勾股数可以表示为如下的形式：（2mn·k，(m²-n²)·k，（m²+n²）·k）

*如果将定理中a²+b²=c²的平方改成立方，是否也有解呢？*

17世纪的著名数学家费马在阅读丢番图《算术》时，在第11卷第8命题旁写道：

丢番图《算术》及费马注解

“将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。关于此，我确信已发现了一种美妙的证法 ，可惜这里空白的地方太小，写不下。”

费马大定理

费马的这个牛皮真是吹大了，这个看似简单的数论题目，难倒了几个世纪的顶级数学家——其中包括欧拉、勒让德、高斯、狄利克雷等。在猜想提出300年后的1995年，才被英国数学家安德鲁·怀尔斯彻底证明，这个证明过程包括两篇文章，共130页。

费马

尽管费马大定理被证明是20世纪的事，但在300年间为了研究它而付出的努力、和得出的结论已远远超出问题本身。而这一切都来源于对“勾股定理”的维数推广，“勾股定理”将手伸到了数论。其实，远不止此，“勾股定理”对解析几何也有深远影响。

三、解析几何发展缺失

我们都知道，17世纪的笛卡尔和费马独立的发现了“坐标法”——用代数方法解决数学问题，后来发展为数学的一个重要分支——“解析几何”。但笛卡尔的坐标系是“斜坐标”，费马尽管也使用“直角坐标”，但他们使用的都是“单坐标轴”（只有x轴）。无论从哪个角度来讲，17世纪的坐标法与现代意义上的“坐标法”是差距较大的，而且理解难度也不在一个层次。

笛卡尔

现在常用的坐标法之所以更简单，除了是建立在“直角坐标系”的基础上以外，还因为引入了像直线斜率、距离公式等重要公式。尤其是距离公式，在解析几何中的重要作用不可替代的。而公式的推导正是建立在“勾股定理”的基础上。

四、三角学的不完整

三角学与“勾股定理”也有着密切联系，已知直角三角形两边、可以计算出另外一边。另外，我们运用“勾股定理”可以在正弦函数与余弦函数间随意互换：

正弦、余弦的互换

而作为“勾股定理”的推广，“余弦定理”的解三角形中充当了更重要角色。这些内容即使在今天，也是中学生必须掌握的重要数学知识。

以上列举了“勾股定理”对几个数学分支的影响，可以说，它已经渗透到了数学的方方面面，它给数学的启发是无限的。

同时，“勾股定理”也让人们的思维方式有了重大转变，它告诉人们几何与代数不是独立的两部分，两者的融合有着巨大的威力，这样的思维到了17世纪促使了“解析几何”及“微积分”的发现。也让更多的数学家有勇气去挖掘看似毫无关系的事物、及学科间的关系。

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