初中几何三大解题思想：平移、对称、旋转。旋转算是其中最高阶的解题思想，用到压轴的几何题中，难度最大，尤其旋转动点问题中的最值问题更是与众不同，一般题目有一定难度，解题方法灵活多变。从选择到填空、解答的压轴，旋转普遍存在。学生对旋转，没有一个统一的思路和方法总结。没有能够将这一类模型总结整合成一类方便记忆和检索的方法体系。因而求解这类问题学生普遍感到畏惧.
策略1 垂线段最短
1．（2018秋•锦州期末）如图，已知∠MON＝30°，B为OM上一点，BA⊥ON于点A，四边形ABCD为正方形，P为射线BM上一动点，连结CP，将CP绕点C顺时针方向旋转90°得CE，连接BE，若AB＝2，则BE的最小值为（ ）
A．√3+1B．2√3﹣1C．3D．4﹣√3
【分析】连接PD，依据SAS构造全等三角形，即△BCE≌△DCP，将BE的长转化为PD的长，再依据垂线段最短得到当DP最短时，BE亦最短，根据∠O＝30°，OD＝2+2√3，即可求得DP的长的最小值．
【解答】如图，连接PD，
由题意可得，PC＝EC，∠PCE＝90°＝∠DCB，BC＝
DC，∴∠DCP＝∠BCE，
在△DCP和△BCE中，CD=BC, ∠DCP＝∠BCE，CP=CE，
∴△DCP≌△BCE（SAS），∴PD＝BE，
当DP⊥OM时，DP最短，此时BE最短，
∵∠AOB＝30°，AB＝2＝AD，
∴OD＝OA+AD＝2√3+2，
∴当DP⊥OM时，DP＝1/2OD＝√3+1，
∴BE的最小值为√3+1．故选：A．
策略2 三角形的三边关系
2．（2019•惠山区一模）如图，正方形ABCD中，AB＝2√5，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE，CF．则线段OF长的最小值（ ）
A．2√5B．√5+2C．2√10﹣2D．5√2-2
【分析】连接DO，将线段DO绕点D逆时针旋转90°得DM，连接OF，FM，OM，证明△EDO≌△FDM，可得FM＝OE＝2，由条件可得OM＝5，根据OF+MF≥OM，即可得出OF的最小值．
【解答】如图，连接DO，将线段DO绕点D逆时针旋转90°得DM ，连接OF，FM，OM，
∵∠EDF＝∠ODM＝90°，∴∠EDO＝∠FDM，
∵DE＝DF，DO＝DM，∴△EDO≌△FDM（SAS），∴FM＝OE＝2，
策略3 构建函数关系
3．（2019•宝应县一模）如图，点D是等边△ABC的边BC上的一个动点，连结AD，将射线DA绕点D顺时针旋转60°交AB于点E，若AB＝4，则AE的最小值是 _______．
【分析】由等边三角形的性质可知∠B＝∠C，利用外角的性质证得∠BAD＝∠EDC，可得出△ABD∽△DCE，设BD的长为x，由相似的性质求出CE的长，再求出AC的长，利用函数的性质可求出AE的最小值．
【解答】∵△ABC为等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC＝4，
∵∠B+∠
BAD＝∠ADC＝∠ADE+∠EDC，∠ADE＝60°，∴∠BAD＝∠EDC，∴△ABD∽△DCE，
当x的值为2时，AE有最小值，最小值为3，故答案为：3．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，相似的判定与性质以及二次函数的性质等，解题的关键是能够用字母将所求线段的长段表示出来，用函数的性质求极值．
策略4 借助旋转变换求解非旋转问题
4．（2019•马鞍山二模）如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，点D是△ABC所在平面上一点，且满足DB＝3，DA＝5，则CD的最小值为（ ）
A．5√2-3B．5-3√2C．2D．1
【分析】将△ADC绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE，CD转化为BE，由于AE、AD、BD都是定值，所以当E、B、D三点共线时，BE最小，即CD最小．
【解答】将△ADC绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE．
则CD＝BE，△ADE是等腰直角三角形，
ED＝5√2．∵AE、AD、BD都是定值，
所以当E、B、D三点共线时，BE最小，即CD最小．
此时BE最小值为DE﹣BD＝5√2﹣3．故选：A．
【点评】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是通过旋转转化线段，利用两点之间线段最短求最值．
策略5 探究问题中的轨迹，借助轨迹图形求解问题
5．（2019•新乡一模）等腰直角三角形
ABC和等腰直角三角形ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝4，AE＝2，其中△ABC固定，△ADE绕点A作360°旋转，点F、M、N分别为线段BE、BC、CD的中点，连接MN、NF．问题提出：（1）如图1，当AD在线段AC上时，则∠MNF的度数为 ，线段MN和线段
NF的数量关系为______；深入讨论：（2）如图2，当AD不在线段AC上时，请求出∠MNF的度数及线段MN和线段NF的数量关系；
拓展延伸：（3）如图3，△ADE持续旋转过程中，若CE与BD交点为P，则△BCP面积的最小值为 _______．
【分析】（1）如图1，连接DB，MF，CE，延长BD交EC于H．证明△BAD≌△CAE（SAS），推出BD＝EC，∠ACE＝∠ABD，再根据三角形中位线定理即可解决问题．
（2）如图2，连接MF，EC，BD．设EC交AB于O，BD交
EC于H．证明△BAD≌△CAE（SAS），推出BD＝EC，∠ACE＝∠ABD，再利用三角形中位线定理即可解决问题．（3）如图3中，如图3中，如图以A为圆心AD为半径作⊙A．当直线PB与⊙A相切时，△BCP的面积最小．
【解答】（1）如图1中，连接DB，MF，CE，延长BD交EC 于H．
∵AC＝AB，AE＝AD，∠BAD＝∠CAE＝90°，
∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝EC，∠ACE＝∠ABD，
∵∠ABD+∠ADB＝90°，∠ADB＝∠CDH，
∴∠ADH+∠DCH＝90°，∴∠
CHD＝90°，∴EC⊥BH，∵BM＝MC，BF＝FE，∴MF∥EC，MF＝1/2EC，
∵CM＝MB，CN＝ND，∴MN∥BD，MN＝1/2BD，
∴MN＝MF，MN ⊥MF，∴∠NMF＝90°，∴∠MNF＝45°，NF＝√2MN．
故答案为：45°
（2）：如图2中，连接MF，
EC，BD．设EC交AB于O，BD交EC于H．∵AC＝AB，AE＝AD，∠BAD＝∠CAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝EC，∠ACE＝∠ABD ，
∵∠AOC+∠ACO＝90°，∠AOC＝∠BOH，
∴∠OBH+∠BOH＝90°，∴∠BHO＝90°，∴EC⊥BD，
∵BM＝MC，BF＝FE，∴MF∥EC，MF＝1/2EC，
∵CM＝MB，CN＝
ND，∴MN∥BD，MN＝1/2BD，∴MN＝MF，MN⊥MF，
∴∠NMF＝90°，∴∠MNF＝45°，NF＝√2MN．
（3）：如图3中，如图以A为圆心AD为半径作⊙A．
当直线PB与⊙A相切时，△BCP的面积最小，
∵AD＝AE，AB＝AC，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE＝∠ABD，BD＝EC，
∵∠ABD+∠AOB＝90°，∠AOB＝∠CPO，∴∠CPB＝90°，
∵PB是⊙
A的切线，∴∠ADP＝90°，∵∠DPE＝∠ADP＝∠DAE＝90°，∴四边形ADPE是矩形，
∵AE＝AD，∴四边形ADPE是正方形，
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
方法总结：
A.适用于旋转法的几何题特征
1.通常在特殊图形中求解，如等腰三角形，直角三角形，等腰直角三角形，等边三角形，正方形等；
2.通常给定一个角度，并且出现在特殊图形的一个特殊角间；
3.通常给出的题设条件零散，题设与结论没有直接关系；
4.通常求证几条边或几个角的数量关系。
B.解决几何最值问题的通常思路
旋转法的运用不是单独出现的，而是为了构造特殊三角形服务的，最终目的在于等量代换，把分散的条件转换成直接联系的相关内容，从而得出结果。
分析定点、动点，寻找不变特征．
若属于常见模型、结构，调用模型、结构解决问题；
若不属于常见模型，结合所求目标，依据不变特征转化，借助基本定理解决问题．
转化原则：尽量减少变量，向定点、定线段、定图形靠拢．
牛刀小试
1．（2018秋•青山区月考）平面直角坐标系中，C（0，4），K（2，0），A为x轴上一动点，连接AC，将AC绕A点顺时针旋转90°得到AB，当点A在x轴上运动，BK取最小值时，点B的坐标为______ ．
【解析】如图，作BH⊥x轴于H．由△ACO≌△BAH（AAS），推出BH＝OA＝m，AH＝OC＝4，可得B（m+4，m），令x＝m+4，y＝m，推出y＝x﹣4，推出点B在直线y＝
x﹣4上运动，设直线y＝x﹣4交x轴于E，交y轴于F，作KM⊥EF于M，根据垂线段最短可知，当点B与点M重合时，BK的值最小，构建方程组确定交点M坐标（3，﹣1），根据垂线段最短可知，当点B与点M重合时，BK的值最小，此时B（3，﹣1），故答案为：（3，﹣1）2．（2019春•延平区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠
ACB＝90°，∠A＝30°，AC＝4√3，BC的中点为D，将△ABC绕点C顺时针旋转任意一个角度得到△FEC，EF的中点为G，连接DG在旋转过程中，DG的最大值是 _______．
【解析】解直角三角形求出AB、BC，再求出CD，连接CG，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出CG=4，然后由三角形的三边关系得，CD+CG＞DG，∴D、C、G三点共线时DG有最大值，
此时DG＝CD+CG＝2+4＝6．故答案为：6．
3．（2019•武侯区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△
ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C，M是BC的中点，N是A'B'的中点，连接MN，若BC＝4，∠ABC＝60°，则线段MN的最大值为 _______．
【解析】连接CN．根据直角三角形斜边中线的性质求出CN＝1/2A′B′＝4，
∵CM＝BM＝2，∴MN≤CN+CM＝6，∴MN的最大值为6，故答案为6．
4．（2019•芜湖二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，点P是AB上一动点，以点C为旋转中心，将△ACP顺时针旋转到△BCQ 的位置，则PQ最小值为（ ）
A．√2B．2C．2√2D．3√2
【解析】由旋转的性质可得PC＝CQ，∠PCQ＝90°，由勾股定理可得PQ²＝PC ²+CQ²＝2PC²，即PC⊥AB时，PQ有最小值， ∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，∴AB＝2√2，且PC⊥AB
∴PC＝√2，∴PQ的最小值为2，故选：B．
5．（2019•相城区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝10，BC＝5，将直角三角板的直角顶点与AC边的中点P重合，直角三角板绕着点
P旋转，两条直角边分别交AB边于M，N，则MN的最小值是_______ ．
6．（2019•无锡一模）如图，线段AB＝4，M为
AB的中点，动点P到点M的距离是1，连接PB，线段PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PC，连接AC，则线段AC长度的最大值是_____ ．
7．（2018•建湖县二模）如图，△ABC为等边三角形，AB＝3，若点P为△ABC内一动点，且满足∠PAB＝∠ACP，则线段PB 长度的最小值为 ________．
8．（2019•盐都区一模）如图，已知正方形ABCD的边长为2，以点A为圆心，1为半径作圆，E是⊙A上的任意一点，将点E绕点D 按逆时针方向旋转90°得到点F，则线段AF的长的最小值 _____．
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