我們最開始使用python基本都是做數值計算的，而在處理數學問題時常常也需要進行一些符號運算，python能否勝任這種需求呢？當然是可以的，我們就以微積分為例，來見識一下python處理符號運算和數值運算的雙重能力。需要安裝一款python的第三方庫sympy，可以直接使用pip3 install sympy來進行安裝，也可以通過其他方式安裝。本文無意於讓大學生完成高等數學作業時投機取巧，不過作為驗證自己計算是否正確的工具倒是不錯。sympy更有意義的用途是用於科學計算模擬系統運行狀況。

1. 變量定義

數學問題中，我們常常需要定義一些自變量，然後使用一組映射作用在這些自變量上構成數學方程。sympy提供了數學符號相關的數據結構Symbol，在進行符號運算之前需要先定義一些自變量符號。單個符號直接使用sympy.Symbol()，多個符號就可以使用sympy.symbols()來進行定義。

符號變量的定義

從以上演示可以看出，sympy中定義了一個sympy.core.symbol.Symbol類，這個類就是sympy進行符號運算最基礎的數據結構。

2. 微積分基礎

事實上，sympy可以完成高等數學中幾乎所有的操作，當然也包括一些基礎的運算。而計算微積分的時候我們常常需要具備一些數學運算的基礎，比如極限、表達式展開和合並等等，這裡順便演示使用sympy一下。

微積分基礎

從以上演示看出，sympy在處理極限、表達式展開和化簡等數學基礎運算時非常直觀，基本與人工手動計算的形式一致。如果你有一個很複雜的帶有同類項的表達式，可以使用sympy.simplify函數試試。

3. 一元微積分

我們先來看看一元微積分，即只有一個自變量的微積分。由於普通的python庫基本都是進行數值計算的，因此在構建符號函數時不能直接使用，比如numpy；而應該使用sympy中提供的基礎符號函數來構建複雜的符號函數，比如sympy.sin(), sympy.exp()等等。計算符號函數導數的方法也很簡單，直接使用sympy.diff()，而計算積分可以直接調用sympy.integrate()函數。

一元微積分

一元微積分的符號運算以及對應的數值運算如上圖演示。大家可以發現，在計算不定積分時，省略了一個常數項。通常在未給定初值的情況下，我沒也不關心這個常數項，與日常計算微積分的情形基本一致。

4. 多元微積分

瞭解了一元微積分的計算，自然就更想見識一下多元微積分的計算，sympy在這方面也是非常地強大。所使用的接口仍然是diff和integrate這兩個函數。通過變量與基礎函數的拼接所形成的複雜函數在sumpy中是一個sympy.core.add.Add對象，使用這個對象直接調用diff函數並指定自變量就可以求解對應的偏導數。多重積分的計算與一元積分是相似的，只是需要傳入想要進行積分運算的符號自變量。

多元微積分

5. 微分方程

基本的微積分運算都瞭解了，但是微積分中一類非常常見的問題還是有必要演示一下，即微分方程的求解。sympy可以求解普通的方程或者方程組是理所當然的，那麼對於微分方程的求解是否也那麼順利呢？sympy對方程組的求解函數與matlab是一致的，這對於從matlab遷移到python的朋友來說是個很不錯的消息。手動解算過微分方程的朋友都應該知道，微分方程的基礎是建立在一個未知函數的導數之上的，那麼這個未知的函數該如何表示這是個問題。在sympy中，使用sympy.Function()接口創建這個未知的函數，然後利用這個函數構建微分方程，使用dsolve求解。

微分方程

到此，使用sympy模塊進行微積分符號和數值計算的演示完畢。最開始我們處理這類問題的首選是matplab，等到掌握sympy之後，就沒有再使用matlab的動力了。sympy不僅是免費的，而且輕量級，使用過程與matlab一樣方便。本文的notebook版文件在github上的cnbluegeek/notebook倉庫中共享，歡迎感興趣的朋友下載。