双木良子
首先，π确实是无理数，这点早已得到证明，怀疑π在很多很多位数开始循环的人可以歇歇了！关于π（其他无理数也是一样），很多人经常有一个误解，因为π是无理数（无限不循环小说），很多人会认为π是一个不固定的数或不准确的数！
其实并不是这样的，π与自然数一样，都是固定的准确的数，有些人可能会说，既然π是一个固定的数，为何写不出来呢？
这就是思维的局限性，完全可以写出来，它就是π！固定的数并不一定非要用小数表示出来，同理，√2也一样，它就是√2，一个固定的数。如果你非要用小数表示出来，有理数也并不定都能用小数表示出来，比如1/3，你能用小数表示出来吗？0.333……，你写到天荒地老也写不完！
明白了这点，圆的直径和周长是无理数还是有理数就不再有任何问题了！
举个例子，随便画一条线段，可以肯定的是这条线段的长度肯定是固定的，这点毫无疑问，是固定的并不意味着一定是有理数，也可以是无理数，比如说理论上你完全可以画出一条π厘米长的线段，但这并意味着你可以用尺子测量这条线段的精确长度！
比如，我们可以在数轴上画出π厘米长的线段，当然你无法测量是否真的是π厘米，理论上肯定是存在的，这更多的意味着π对应着数轴上的一个点！
实际上，不要说测量π厘米长的线段，任何长度的线段我们都无法准确测量出，比如说1厘米的线段，你能准确地测量出1厘米的线段吗？并不能，这就是数学概念和现实的差距，理论与实际的差距！
最后说一点，其实根本不用这么绕来绕去的分析，只要明白一点，π与任何自然数一样都是固定的数，这就足够了，固定的数对应圆的周长或直径都可以存在，不管是有理数还是无理数！
宇宙探索
圆周率很早就被严格证明为是一个无理数，这意味着圆周率无法用分数表示，而它的小数点后是无限且不循环的。如果圆周率是拥有无数位不循环小数的无理数，那么，圆的周长可以是有理数（比如整数）吗？圆的周长又怎么会是一个确定值呢？
从数学上能够证明，任意一个圆的周长和直径之比都是相等的常数，这就是圆周率。反过来，圆周率和直径的乘积即为圆的周长：
C=πd
如果圆的直径是有理数，那么，它与无理数的圆周率相乘之后所得的圆周长必然为无理数。
另一方面，如果圆的直径是某些特殊的无理数，那么，圆的周长将会是有理数，甚至整数。只要直径取以π为分母的数，例如，直径取10/π，那么，这个圆的周长为10，所以圆的周长不但可以为有理数，而且还能为整数。
虽然圆周率是算不尽的，但这并不意味着它是不确定的未知数。圆周率就是一个常数，它的数值是完全确定的，它可以在数轴上标注出来，这就像诸如根号2等无理数一样，因为它们都是实数。既然圆周率是一个确定的常数，那么，圆的周长自然也能够依据直径而确定下来。
需要强调的是，无论是在二进制、十六进制或者其他进制下，圆周率的无理数性质是不会改变的。而如果在π或者nπ进制下，圆周率成为了有理数。在这种情况下，圆的直径和周长都只能是无理数。
在我们已知的宇宙中，时空本身的构造决定了圆周率就是这样特殊的无理数。倘若平行宇宙存在，那里的数学家或许会证明出圆周率是一个有理数，而他们所画出的圆也很可能会不同于我们宇宙中的圆。
火星一号
这个问题很有意思，我来回答一下。
如果对数学有兴趣的朋友我推荐大家一本书，叫做《数学分析八讲》，这本书是著名的苏联数学家、教育学家辛钦写的，不厚，也几乎没有太多的公式，但是仔细读一下就会对很多数学问题有醍醐灌顶一般的感受。
这个《数学分析八讲》中的第一章就详细说了什么叫做“连续统”，尤其是关于无理数的概念——事实上无理数这个概念远比我们想象的要复杂。
人类本质上只知道什么是“整数”，这些数虽然无限多，但是是这个世界的一种非常明确的计量方法。而有理数就是通过这些整数构建出来的，表示为两个整数的商。有理数虽然有无限多个，但是依然不能填满整个数轴。
比如说我们常说的根号二（ √2）就是一个无理数，这个数不能表示为两个整数的商。不过我们也可以说，其实根号二对我们来说并不是一个陌生的事物，因为根号二这个数字可以跟整数建立起来关系——也就是 √2* √2=2。而这些可以表示为整系数多项式的根的数叫做“代数数”。
从整数，到有理数，到代数数，我们似乎获得了数不尽的“数”，但是这些数不尽的数就能够把我们整个数轴填满吗？答案是：依然不能填满。
我们依然可以从数轴上找到一些无理数，这些无理数不是任何整系数多项式的根——也就是我们没有办法把这些数通过我们已有的数——整数“构造”出来。比如说圆周率π，比如说一个神奇的数——e。
确实有这些数，但是你没有办法把他们跟任何的整数关联起来，只能说，这是数轴上的一个数字，虽然我们不知道这个数具体是多少，又怎么通过我们已知的数把这个数字表示出来，但是这个数字确实存在，他的大小近似是3.1415926……。
不可思议并且难以想象，但是这些不能表示但是又存在的数确实是实数的一部分的。
这些数字就是“超越数”，超越数跟代数数之间的加减乘除和各种运算、超越数互相之间的加减乘除和各种运算都被囊括在“实数”内。
比如说，10/π存在吗？答案是，存在。这个数字就在数轴上，它的大小是
X.XXXXX
……这个数字的特点就是跟π相乘等于10，用这个数字作为圆的直径的时候，圆的周长是10。
你可能会奇怪，一个无理数10/π跟另一个无理数π相乘，怎么反而是一个有理数了？这个没办法，因为这个数字10/π确实存在，它的唯一定义就是：它是一个“跟π相乘结果等于10”的数，除此之外，没有任何意义。你不要管这个数字你写不写得出来，有多奇怪的性质，但是它就是存在——这就是数学不讲理、但是又符合逻辑的地方。
我们需要这个数，这个数字就出现了，我们只知道他在数轴上，但是除此之外对它一无所知——换句话，实数轴就是一个宝库，我们可以从中找到各种我们需要的东西，因为实数轴是“连续的”，上面有任何我们需要的数。
甚至于你说数轴上有通过有理数、代数数、超越数加在一起还构造不出来的数吗？这个其实我也不知道，你知道吗？
所以说，对数学不能较真，或者说数学本来就是超越我们“直观认识”的存在，有些时候只有定义，而没有你能够看到、感受到甚至于构造出来的“实体”。
航小北的日常科普
周长公式C=2πr，如果半径是5/π那么周长就等于10了，所有长度都存在，好比一个长度为10的软皮尺可以围绕出来任何形状的周长。
实际上π是无理数，也就是说周长与直径的比，那么周长可测么？根据测不准原理周长没有准确数值。那么直径可测么？也是测不准的，所以π也就成了无理数。
因为π是通过微分计算出来的，微分的周长不等于实际周长，但永远在靠近实际周长，也就是这个数字π在不断接近一个数值，所以π是无理数。
实际上说周长为10也只是理想的数值，好比数学有直线概念，数轴的概念，事实上都是理想模型，宇宙中并没有直线，只有曲线，所以说宇宙没有边界，因为没有直线，也没有上下左右，也就不存在边界了。
无理数就因为他是微分出来的，所以数值一直在变。
因为周长无法测量（测不准原理），所以我们把圆分成无数份后才接近实际周长。
法永禅师
本题，涉及第二次数学危机。本文，涉及两大物理运动。道理很简单，恐鸵鸟心态。
无理数与有理数的本质区别
无理数的本质，既不在于是否整除，也不在于是否循环，而在于小数点最后位值的“不定性”与“皆趋零”，即：
末位值ε=a×10⁻ⁿ(a=1,2...9; n→∞)是一个趋近零的未知数，即：
∀εi→0且∀εi≠0且∀εi≈0，
末位的无穷小量εi包括：ε₁=1×10⁻ⁿ, ε₂=2×10⁻ⁿ, ε₃=3×10⁻ⁿ, ε₄=4×10⁻ⁿ, ε₅=5×10⁻ⁿ, ε₆=6×10⁻ⁿ, ε₇=7×10⁻ⁿ, ε₈=8×10⁻ⁿ, ε₉=9×10⁻ⁿ。
这些不确定的无穷小量，正是无理数对间断点填空的致密性与连续性的纯几何意义。
事实上，我们只能说n→∞且n≈∞且10⁻ⁿ→0且10⁻ⁿ≈0，因为无穷大与无穷小，既无意义也不存在，或者只存在于纯主观意淫中。
请看圆周率：π=3.1415926...，即：
π=3×10⁰+1×10⁻¹+4×10⁻²+1×10⁻³+5×10⁻⁴+9×10⁻⁶+2×10⁻⁷+6×10⁻⁸+...+a×10⁻ⁿ
只有最后一位的绝对无穷小“ε=a×10⁻ⁿ”，才是无理数的决定值。前面的总和却是有理数。
我们完全有理由推出：无理数的本质是：有不确定的可逼近零的末位无穷小。
就物理学而言，无理数来自曲线运动轨迹，而曲线运动总是指向某点切线方向，可见：
无理数对应切向二维运动，即：f(r,θ)=re^iθ，有理数对应径向一维运动，即：f(r)=rtgθ。
曲线运动的切向，取决于曲率半径，曲率是绝对在变的，故有不定性或无理性。
直线运动的径向，取决于直线斜率，斜率是相对不变的，故有确定性或有理性。
如果曲率足够小，即令：re^iθ=rtgθ，有：e^iθ=tgθ=ε，θ=π×10⁻ⁿ(n→∞)→0。
这与lim f(n→∞)=lim sin(10⁻ⁿπ)/(10⁻ⁿπ)=1异曲同工。注意到：x→0, lim(sinx)/x=1。
现在可以讨论本问关于圆周长的题设
根据定义，圆周长=直径×圆周率。
其中，直径(d)属于径向之线性参量，只属于不为零的有理数(R)，即：d∈R(R≠0)；圆周率(π)是无理数。
显然，非零有理数×无理数≡无理数。圆周长=非零有理数×无理数≡无理数。
因此，假设圆周长是例如为10的整数，是纯属想当然莫须有的。任何圆周长都是无理数。
因此，假设圆周长是有理数，本身就不成立，如果圆周长是有理数，直径就只能是无理数，直径就意味着是切向运动，这显然是荒唐的。
不过，说“有理数是离散性的，无理数是连续性的”，是纯属理论性的假设或臆断。
这很容易证明。无理数，除了不确定的末位无穷小，其余数位值，都是有理数。有理数也可以无限精准到或连续每个非无穷小的每个细节。
小结：
有理数，只能对应径向运动的直线方程与直径参量，其斜率是相对不变的物理量。
无理数，只能对应切向运动的曲线方程与周长参量，其曲率是绝对变化的物理量。
无限循环小数的末位是系数明确的无穷小。无限不循环小数的末位是系数不定的无穷小。
明白了有理数与无理数的本质区别，明白了第二次数学危机的根源(见笔者前文)，还惑吗？
Stop here。物理新视野与您共商物理前沿与中英双语有关的疑难问题。
物理新视野
这个问题其实很简单，只须将已知数C=10代入公式π=C/R，即可求出R值，R=10/π。因此，只有π是无理数，而周长和直径，即可以是无理数，也可以是有理数，当周长为有理数时，直径必为无理数值，当直径为有理数时，周长必为无理数值。无理数的存在，是线段不可公度所致，并不是某个圆周长和直径真的有无限长，所有圆周长和直径的长度，都是有限的，从这一点上讲，前辈数学家将圆周率算成无限不循环小数，是不对的！求圆周率应该是求极限，而不是求它必须无限精确。这就如同芝诺悖论里的阿基里斯，本来人在有限的距离和有限的时间内，完全可以追上乌龟，却被芝诺先生乎悠的永远追不上，圆周率若按前们算成的无限精确，则任何人都不能画出圆来，因为画圆人象芝诺的阿基里斯一样，阿基里斯一直在追龟途中停不下来，画圆人也应按前辈的无限精确，将圆一直划下去，这么荒唐的事，人人心知肚明，却无人敢提出反对意见。实际上，无论是有理数，还是无理数，它们都只能表达相对精确度，因为绝对精确不存在，在实际应用中，大家都是用相对精确解决问题，无限精确没有实际运算意义，弄不好，还会出现人追不上龟的荒谬。大自然有她的精湛选择，她选择了黄金比例构造圆，仅用黄金数0.618的前三位小数，作为比例常数，就使圆甄于完美，很好的体现了任何圆周长都是有限的事实。"割圆法"和“无限级数法"那个无限性，都不符合客观实际，圆内接正多边形的边数，没有无限趋近圆，极限是正100边形！这是可证明的科学事实，是由几何常识所决定的，只是前辈数学家们没有发现，平直和弯曲是直接相联系的，3.6度圆心角所对的弧是直线，100个顶角为3.6度的等腰黄金三角形组成一个圆，故圆周率π=3.09，证明过程从略。
长眉1958
这数学学得，我也是无语了。正常的逻辑是，如果有一个确定的长度比如1米做直径，则圆周长要乘以π，所以是无理数。反之，如果将一个比如10米长的绳子，弯成一个圆周（当然是整数啊），则其直径长度要由周长除以π，所以也是无理数。换句话说，圆直径和周长可以一个是有理数，另一个是无理数，但不可能两个同时是有理数。
姜冠亭
周长当然能是整数。拿你说的周长10来说，半径=10/2兀（派打不出来）周长就是整数。
我们说兀（派打不出来）是数轴上确定的某一点，那么同样10/2兀（同样是数轴上某一确定的点），同样是个无限不循环数。
那些拿周长为10的绳子摆个圆的估计要失望了，几何方法没有办法做出周长为10的圆，只是理论上存在周长为10的圆。所以抱歉，你们的绳子退休了。
唐宋文盲
兀本身是个比值，应该是个固定值。只是我们没有找到最科学、巧妙的方法，现在的计算方法只是无限接近但不是标准值。
圆周率（Pi）是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母π表示，是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数。这段是定义。
彭洲子
周长肯定是整数准确的说是个有理数，直径也是有理数，*派是无理数只不过是数学家非要拿圆的周长来除以圆的直径所产生的一个奇怪而很有意思的一个数字，表面讲直径乘以一个无理数，应该得出来的也是一个无理数，但是你们要知道周长与直径是没有因果关系的，一个直径x的圆周长刚好就是p，这里的尺寸都是经过精密仪器测量出来的，但是人们不能每次想知道周长都去用精密仪器去测量，就好比在宇宙天体上的计算根本无法去量，所以数学家就人为的把周长与直径联系起来了，发现圆的周长除以圆的直径是一个无理数，发现这个规律以后，只要想知道无法测量圆的周长时，科学家只需取派小数点后多少位就可以把周长的精度控制在自己想要的范围。一个直径10米圆，周长可以去测量，如果一个直径一万千米的圆，周长是没有办法测量的，只能通过计算，但是计算出来的误差可以通过选用小数点后多少位来把周长的误差控制在，几十千米，一千米，甚至几毫米等等量级
