在相似三角形的学习时,“一线三等角”是一个常见的模型，也是中考中的热点问题. “一线三等角”指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的全等(或相似)图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角.有些时候我们也称之为 “K 形图”，“三垂直”，“弦图”等，以下统称为“一线三等角”问题.
由于相似三角形的灵活多变,再加之隐含在一些复杂的图形中,在审题时同学们可能会存在一些难度,今天就把“一线三等角”中的相似给同学们总结一下,供同学们参考.
一、“一线三等角”的起源
DE绕A点旋转,从外到内，从一般位置到特殊位置.
二、“一线三等角”基本类型
1.同侧型（图2-1）
2.穿越型（图2-2）
动态演示如下：
三、“一线三等角”的性质
1.一情况下，如图3-1，由∠1=∠2=∠3，易得△AEC∽△BDE.
2.当等角所对的边相等时，则两个三角形全等.如图3-1，若CE=ED，则△AEC∽△BDE.
3.中点型“一线三等角”
如图3-2，当∠1=∠2=∠3，且D是BC中点时，△BDE∽△CFD∽△DFE.
4.“中点型一线三等角“的变式
5.“一线三等角”的各种变式（图3-5，以等腰三角形为例进行说明）
应用举例
1．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，若P是BC边上任意一点，且满足∠APM＝∠ABC，PM与AC边的交点为M，则线段AM的最小值是_____．
【解析】设BP＝x，则CP＝6﹣x，
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠APM＝∠ABC，∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠APM＝∠ABC＝∠ACB，∴△ABP∽△PCM，
2．如图1，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝α，且DM交AC于F，ME交BC于G．
（1）求证：△AMF∽△BGM；
（2）若AM＝2√2，AF＝3，求BG的长；
（3）如图2，连接FG，在（2）条件下，若α＝45°，求△EFG的面积．
【解答】证明：（1）∵∠AMD＝∠B+∠D，∠BGM＝∠DMG+∠D，
又∠B＝∠A＝∠DME＝α，
∴∠AMF＝∠BGM，∴△AMF∽△BGM；
（2）解：∵M为AB的中点，∴AM＝BM＝2√2，
∵△AMF∽△BGM，
∵∠A＝∠B＝45°，∴∠ACB＝90°，AC＝BC，且AB＝2AM＝4√2，
∴AC＝BC＝4，且AF＝3，BG＝8/3，∴CF＝1，CG＝4/3，
∵∠A＝45°，MH⊥AC，AM＝2 ，∴AH＝HM＝2，∴CH＝2，
∵∠ACB＝∠AHM＝90°，∴HM∥CB，∴△ECG∽△EHM，
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