人工神經網絡簡介
人工神經網絡（簡稱神經網絡）是一種受人腦的生物神經網絡啟發而設計的計算模型。人工神經網絡非常擅長從輸入的數據和標籤中學習到映射關係，從而完成預測或者解決分類問題。人工神經網絡也被稱為通用擬合器，這是因為它可以擬合任意的函數或映射。
前饋神經網絡是我們最常用的一種網絡，它一般包括3層人工神經單元，即輸入層、隱含層和輸出層，如圖3.3所示。其中，隱含層可以包含多層，這就構成了所謂的深度神經網絡。
圖中的每一個圓圈代表一個人工神經元，連線代表人工突觸，它將兩個神經元聯繫了起來。每條連邊上都包含一個數值，叫作權重，我們通常用w來表示。
神經網絡的運行通常包含前饋的預測過程（或稱為決策過程）和反饋的學習過程。
在前饋的預測過程中，信號從輸入單元輸入，並沿著網絡連邊傳輸，每個信號會與連邊上的權重進行乘積，從而得到隱含層單元的輸入；接下來，隱含層單元對所有連邊輸入的信號進行彙總（求和），然後經過一定的處理（具體處理過程將在下節講述）進行輸出；這些輸出的信號再乘以從隱含層到輸出的那組連線上的權重，從而得到輸入給輸出單元的信號；最後，輸出單元再對每一條輸入連邊的信號進行彙總，並進行加工處理再輸出。最後的輸出就是整個神經網絡的輸出。神經網絡在訓練階段將會調節每條連邊上的權重w數值。
在反饋的學習過程中，每個輸出神經元會首先計算出它的預測誤差，然後將這個誤差沿著網絡的所有連邊進行反向傳播，得到每個隱含層節點的誤差。最後，根據每條連邊所連通的兩個節點的誤差計算連邊上的權重更新量，從而完成網絡的學習與調整。
下面，我們就從人工神經元開始詳細講述神經網絡的工作過程。
人工神經元
人工神經網絡類似於生物神經網絡，由人工神經元（簡稱神經元）構成。神經元用簡單的數學模型來模擬生物神經細胞的信號傳遞與激活。為了理解人工神經網絡的運作原理，我們先來看一個最簡單的情形：單神經元模型。如圖3.4所示，它只有一個輸入層單元、一個隱含層單元和一個輸出層單元。
x表示輸入的數據，y表示輸出的數據，它們都是實數。從輸入單元到隱含層的權重w、隱含層單元偏置b、隱含層到輸出層的權重w'都是可以任意取值的實數。
我們可以將這個最簡單的神經網絡看成一個從x映射到y的函數，而w、b和w'是該函數的參數。該函數的方程如圖3.5中的方程式所示，其中σ表示sigmoid函數。當w=1，w'=1，b=0的時候，這個函數的圖形如圖3.5所示。
這就是sigmoid函數的形狀及σ(x)的數學表達式。通過觀察該曲線，我們不難發現，當x小於0的時候，σ(x)都是小於1/2的，而且x越小，σ(x)越接近於0；當x大於0的時候，σ(x)都是大於1/2的，而且x越大，σ(x)越接近於1。在x=0的點附近存在著一個從0到1的突變。
當我們變換w、b和w'這些參數的時候，函數的圖形也會發生相應的改變。例如，我們不妨保持 w'=1， b=0不變，而變換w的大小，其函數圖形的變化如圖3.6所示。
由此可見，當w>0的時候，它的大小控制著函數的彎曲程度，w越大，它在0點附近的彎曲程度就會越大，因此從x=0的突變也就越劇烈；當w<0的時候，曲線發生了左右翻轉，它會從1突變到0。
再來看看參數b對曲線的影響，保持w=w'=1不變，如圖3.7所示。
可以清晰地看到，b控制著sigmoid函數曲線的水平位置。b>0，函數圖形往左平移；反之往右平移。最後，讓我們看看w'如何影響該曲線，如圖3.8所示。
不難看出，當w' > 0的時候，w'控制著曲線的高矮；當w' < 0的時候，曲線的方向發生上下顛倒。
可見，通過控制w、w'和b這3個參數，我們可以任意調節從輸入x到輸出y的函數形狀。但是，無論如何調節，這條曲線永遠都是S形（包括倒S形）的。要想得到更加複雜的函數圖像，我們需要引入更多的神經元。
兩個隱含層神經元
下面我們把模型做得更復雜一些，看看兩個隱含層神經元會對曲線有什麼影響，如圖3.9所示。
輸入信號進入網絡之後就會兵分兩路，一路從左側進入第一個神經元，另一路從右側進入第二個神經元。這兩個神經元分別完成計算，並通過w'1和w'2進行加權求和得到y。所以，輸出y實際上就是兩個神經元的疊加。這個網絡仍然是一個將x映射到y的函數，函數方程為：
在這個公式中，有w1, w2, w'1, w'2, b1, b2這樣6個不同的參數。它們的組合也會對曲線的形狀有影響。
例如，我們可以取w1=w2=w'1=w'2=1，b1=-1，b2=0，則該函數的曲線形狀如圖3.10所示。
由此可見，合成的函數圖形變為了一個具有兩個階梯的曲線。
讓我們再來看一個參數組合，w1=w2=1，b1=0，b2=-1，w'1=1，w'2=-1，則函數圖形如圖3.11所示。
由此可見，我們合成了一個具有單一波峰的曲線，有點類似於正態分佈的鐘形曲線。一般地，只要變換參數組合，我們就可以用兩個隱含層神經元擬合出任意具有單峰的曲線。
那麼，如果有4個或者6個甚至更多的隱含層神經元，不難想象，就可以得到具有雙峰、三峰和任意多個峰的曲線，我們可以粗略地認為兩個神經元可以用來逼近一個波峰（波谷）。事實上，對於更一般的情形，科學家早已從理論上證明，用有限多的隱含層神經元可以逼近任意的有限區間內的曲線，這叫作通用逼近定理（universal approximation theorem）。
本文節選自《深度學習原理與PyTorch實戰》
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