初中數學課程標準修改後，教材中四點共圓知識已經刪除掉了，但這樣一件強悍且使用簡單的武器，我們還是有必要去了解的，近年來對於壓軸題以幾何為核心的考區來說，有時用到解題更為簡潔方便，由此應該理解掌握。可以說傳統幾何知識“四點共圓”是直線形與圓之間度量關係或位置關係相互轉化的媒介，是平面幾何一個十分有力的工具。
1．操作與探究
我們知道：過任意一個三角形的三個頂點能作一個圓，探究過四邊形四個頂點作圓的條件．
（1）分別測量圖1、2、3各四邊形的內角，如果過某個四邊形的四個頂點能一個圓，那麼其相對的兩個角之間有什麼關係？證明你的發現．
（2）如果過某個四邊形的四個頂點不能一個圓，那麼其相對的兩個角之間有上面的關係嗎？試結合圖4、5的兩個圖說明其中的道理．
由上面的探究，試歸納出判定過四邊形的四個頂點能作一個圓的條件．
【解析】：本題拓展性地考查了確定圓的條件，圓內接四邊形的性質．圓內接四邊形的性質是溝通角相等關係的重要依據，在應用此性質時，要注意與圓周角定理結合起來．在應用時要注意是對角，而不是鄰角互補．
（1）對角互補（對角之和等於180°）；
∵矩形、正方形的對角線相等且互相平分，
∴四個頂點到對角線交點距離相等，
∴矩形、正方形的四個頂點可在同一個圓上；
四個頂點在同一個圓上的四邊形的對角互補．
（2）圖4中，∠B+∠D＜180°．圖5中，∠B+∠D＞180°．
過四邊形的四個頂點能作一個圓的條件是：對角互補（對角之和等於180°）．
變式．（1）已知一個矩形ABCD，能否畫出一個圓，使它的四個頂點都在同一個圓上？試一試．
（2）已知一個等腰梯形ABCD，能否畫出一個圓，使它的四個頂點都在同一個圓上？試一試．
（3）已知一個平行四邊形ABCD，能否畫出一個圓，使它的四個頂點都在同一個圓上？
【解析】：（1）已知一個矩形ABCD，其對角之和為180°，
所以能畫出一個圓，使它的四個頂點都在同一個圓上，．
（2）已知一個等腰梯形ABCD，其對角之和為180°，
所以能畫出一個圓，使它的四個頂點都在同一個圓上．
（3）已知一個平行四邊形ABCD，鄰角之和為180°，
不能畫出一個圓．
2．定義：只有一組對角是直角的四邊形叫做損矩形，連接它的兩個非直角頂點的線段叫做這個損矩形的直徑．
（1）如圖，損矩形ABCD，∠ABC＝∠ADC＝90°，則該損矩形的直徑是線段______．
（2）①在損矩形ABCD內是否存在點O，使得A、B、C、D四個點都在以O為圓心的同一圓上？如果有，請指出點O的具體位置；
②如圖，直接寫出符合損矩形ABCD的兩個結論（不能再添加任何線段或點）．
【解析】△ADC和△ABC都是直角三角形，且有共同的斜邊，直角三角形的三個頂點在以斜邊為直徑的圓上．因而ABCD四個頂點共圓．
（1）線段AC；
（2）①在損矩形ABCD內存在點O，使得A、B、C、D四個點都在以O為圓心的同一個圓上，O是線段AC的中點．
②ABCD是圓內接四邊形；∠ADB＝∠ACB．
3．問題探究：
（一）新知學習：
圓內接四邊形的判斷定理：如果四邊形對角互補，那麼這個四邊形內接於圓（即如果四邊形EFGH的對角互補，那麼四邊形EFGH的四個頂點E、F、G、H都在同個圓上）．
（二）問題解決：
已知⊙O的半徑為2，AB，CD是⊙O的直徑．P是弧BC上任意一點，過點P分別作AB，CD的垂線，垂足分別為N，M．
（1）若直徑AB⊥CD，對於弧BC上任意一點P（不與B、C重合） （如圖一），證明四邊形PMON內接於圓，並求此圓直徑的長；
（2）若直徑AB⊥CD，在點P（不與B、C重合）從B運動到C的過程中，證明MN的長為定值，並求其定值；
（3）若直徑AB與CD相交成120°角．
①當點P運動到弧BC的中點P1時（如圖二），求MN的長；
②當點P（不與B、C重合）從B運動到C的過程中（如圖三），證明MN的長為定值．
（4）試問當直徑AB與CD相交成多少度角時，MN的長取最大值，並寫出其最大值．
【解析】：（1）如圖一，
∵PM⊥OC，PN⊥OB，∴∠PMO＝∠PNO＝90°，
∴∠PMO+∠PNO＝180°，
∴四邊形PMON內接於圓，直徑OP＝2；
（2）如圖一，∵AB⊥OC，即∠BOC＝90°，
∴∠BOC＝∠PMO＝∠PNO＝90°，
∴四邊形PMON是矩形，∴MN＝OP＝2，
∴MN的長為定值，該定值為2；
（3）①如圖二，∵P1是弧BC的中點，∠BOC＝120°
∴∠COP1＝∠BOP1＝60°，∠MP1N＝60°．
∵P1M⊥OC，P1N⊥OB，∴P1M＝P1N，
∴△P1MN是等邊三角形，∴MN＝P1M．
∵P1M＝OP1•sin∠MOP1＝2×sin60°＝√3，∴MN＝√3；
②設四邊形PMON的外接圓為⊙O′，連接NO′並延長，
交⊙O′於點Q，連接QM，如圖三，
則有∠QMN＝90°，∠MQN＝∠MPN＝60°，
在Rt△QMN中，sin∠MQN＝MN/QN，
∴MN＝QN•sin∠MQN，
∴MN＝OP•sin∠MQN＝2×sin60°＝2×√3/2＝√3，
∴MN是定值．
（4）由（3）②得MN＝OP•sin∠MQN＝2sin∠MQN．
當直徑AB與CD相交成90°角時，∠MQN＝180°﹣90°＝90°，MN取得最大值2．
4．閱讀理解：
如果同一平面內的四個點在同一個圓上，則稱這四個點共圓，一般簡稱為"四點共圓"．證明"四點共圓"判定定理有：1、若線段同側兩點到線段兩端點連線夾角相等，那麼這兩點和線段兩端點四點共圓；2、若平面上四點連成的四邊形對角互補，那麼這四點共圓．例：如圖1，若∠ADB＝∠ACB，則A，B，C，D四點共圓；或若∠ADC+∠ABC＝180°，則A，B，C，D四點共圓．
（1）如圖1，已知∠ADB＝∠ACB＝60°，∠BAD＝65°，則∠ACD＝______；
（2）如圖2，若D為等腰Rt△ABC的邊BC上一點，且DE⊥AD，BE⊥AB，AD＝2，求AE的長；
（3）如圖3，正方形ABCD的邊長為4，等邊△EFG內接於此正方形，且E，F，G分別在邊AB，AD，BC上，若AE＝3，求EF的長．
【解析】：（1）∵∠ADB＝∠ACB＝60°，∴A，B，C，D四點共圓，
∴∠ACD＝∠ABD＝180°﹣∠ADB﹣∠BAD＝180°﹣60°﹣65°＝55°，
故答案為：55°；
（2）在線段CA取一點F，使得CF＝CD，如圖2所示：
∵∠C＝90°，CF＝CD，AC＝CB，
∴AF＝DB，∠CFD＝∠CDF＝45°，∴∠AFD＝135°，
∵BE⊥AB，∠ABC＝45°，∴∠ABE＝90°，∠DBE＝135°，∴∠AFD＝∠DBE，
∵AD⊥DE，∴∠ADE＝90°，
∵∠FAD+∠ADC＝90°，∠ADC+∠BDE＝90°，
∴∠FAD＝∠BDE，
在△ADF和△DEB中，∠FAD＝∠BDE，AF=BD, ∠AFD＝∠DBE，
∴△ADF≌△DEB（ASA），∴AD＝DE，
∵∠ADE＝90°，∴△ADE是等腰直角三角形，
∴AE＝√2AD＝2√2；
（3）作EK⊥FG於K，則K是FG的中點，連接AK，BK，如圖3所示：
∴∠EKG＝∠EBG＝∠EKF＝∠EAF＝90°，
∴E、K、G、B和E、K、F、A分別四點共圓，
∴∠KBE＝∠EGK＝60°，∠EAK＝∠EFK＝60°，
∴△ABK是等邊三角形，
∴AB＝AK＝KB＝4，作KM⊥AB，則M為AB的中點，
∴KM＝AK•sin60°＝2√3，
∵AE＝3，AM＝1/2AB＝2，∴ME＝3﹣2＝1，
共圓結構是幾何應用技巧結構中比較常見的一種模型，是幾何中的倒角常用工具，解題常用模型利器，共圓模型的應用往往成為解題的關鍵步驟和技巧，用好共圓結構，會發現解題過程中柳暗花明，遇到很多難以轉化的複雜過程或難點時，會有豁然開朗的感覺。
共圓結構的模型第二類模型就是同等異補結構用得比較多，具體是指在平面中，由一條邊在這條邊的同側對著兩個相等的角度，在這條邊的異側對著兩個互補的角度，則考慮構造共圓結構，共圓後，一般是利用其轉化角度，尤其同弧所對的圓周角相等，直徑所對的圓周角是90度的應用，也有一些利用特殊角度或邊長位置和數量關係轉化邊長的關係。總之，構造共圓後，就是在圓裡利用的知識點和常規幾何條件解決.
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