线性代数是大学理工科学生必学的三门数学主科之一，主要的内容是线性方程组，向量矩阵，行列式及其关系与性质。但是国内高校所选取的线性代数教材死板而生硬，老师的课也一般讲得枯燥而乏味。很多学生不仅学起来索然无味，学完之后也不理解概念的本质是啥，学它又能用来干什么。但其实，线性代数在工程，经济，统计，社会学等领域有着非常重要的应用，国外的线性代数课本会介绍很多它在各个方面的应用。本篇文章就来带领大家初步了解一下，线性代数是如何走进我们这个五彩斑斓的社会的。
本文的内容取材于美国马里兰大学David C. Lay等人所著的《Linear Algebra and Its Application》（《线性代数及其应用》）
投入-产出模型与均衡价格
在在经济学里面我们最常面临的一个问题就是，对于一家企业来讲，如何给自己的产品定价？定价太低则弥补不了成本，定价太高又会影响消费，而当市场上有很多企业时，他们胡乱定价则会扰乱整个经济体的秩序。那么各个企业如何给自己的产品定价才能够保证市场良性且持久的发展呢？
为了解决这个问题，美国经济学家，哈佛大学教授列昂惕夫(Leontief)研究了所谓的投入产出分析方法，并于1973年获得诺贝尔经济学奖，我们来介绍一种最简单的模型。
列昂惕夫(1906-1999)
假设一个封闭市场只有三家企业，发电厂(Electric)，炼钢厂(Steel)和挖煤厂(Coal)。每一家工厂都需要从另外两家工厂购买原料，然后生产出产品再卖给另外两家工厂。比如发电厂需要从炼钢厂购进钢铁，从挖煤厂购进煤炭，利用它们发出来的电一部分卖给炼钢厂，一部分卖给挖煤厂，还有一部分留给自己用。而炼钢厂和挖煤厂也是如此。
三者之间的这种相互关系可以用表格来描述
每一数列表示了每个工厂生产的产品，按照什么样的比例卖给三个工厂。比如第一列表示的意思就是：挖煤厂生产出来的煤炭，0%留给自己，60%卖给发电厂，40%卖给炼钢厂。第二列表示的意思就是发电厂发出来的电，40%卖给挖煤厂，10%留给自己用，50%卖给炼钢厂。第3列表示的意思是：炼钢厂炼出来的钢铁60%卖给挖煤厂，20%卖给发电厂，20%留给自己用。他们之间的关系用一幅图来表示则更为清晰
于是就会面临这样一个问题，每一家工厂需要的原料都得从另外两家工厂买，而生产出来的产品又要卖给另外两家，那么，每家工厂如何规定自己产品的价格呢？我们已经假设了经济体只有这三家企业，而每一家企业的生产与销售都依赖于另外两家。因此只要有一家工厂倒闭，那么另外两家也就跟着无法生存下去。所以最好的价格就是，能使得三家企业的收入正好等于成本，这样一来三家企业都可以持续稳定地生产下去。
首先这样的价格是否存在呢？列昂惕夫已经证明了
在一个包含多个部门的经济体中，存在着一组指定给这些部门所生产商品的价格，使得每一个部门的收入正好等于支出。那么这样一组价格就称为均衡价格(equilibrium prices)
我们就用刚才那个例子来讲解一下如何求均衡价格。我们假设每一个工厂生产出来的产品数量都是1个单位，分别用pe，ps和pc，来表示电力，钢铁和煤炭的单价(即一个单位的价格)。
我们先来看其中的一家工厂，比如挖煤厂，它需要购进0.4单位的电力与0.6单位的钢铁，同时卖出一单位的煤炭。那么为了保持收支平衡，必须有
同样对于发电厂，需要购进0.6单位的煤炭，0.1单位的电力(自产自购)，和0.2单位的钢铁，于是有
对于钢铁厂需要购进0.4单位的煤炭，0.5单位的电力，和0.2单位的钢铁，于是又有
我们把上面三个方程，每一个方程等号，右边的式子都挪到左边，经过化简并联立，可以得到一个方程组
这是一个典型的三元齐次线性方程组，求解它时，就利用传统的方法，对其系数矩阵作初等行变换
最终的结果最后一行全是0，说明它有无穷多个解。并且它的秩为2，说明有一个自由向量，我们不妨把ps当成自由向量，于是可以写出它的解空间
ps可以取任意值，当然在现实生活中我们肯定要取成正数。
上述方程组有无数多个解，其实也不难理解，因为均衡价格并不是唯一的，在某一个均衡价格下，三家工厂可以把各自的商品都同倍数的往上调若干倍，那么这样一来得到的仍然还是均衡价格。
当然上述模型是一种最简单的情况，它只是考虑了部门生产出来的产品全部用于再生产，而事实上，还必须有一些商品用来满足社会需求，在真正的列昂惕夫投入产出模型中，还需要再加入需求向量，这样一来就需要使用矩阵分析等更复杂的数学工具，是经济学研究非常重要的理论。
1949年，列昂惕夫为了研究美国经济，将整个美国经济体分成了500个部门，并由此列出了含有500个未知量的线性方程组，并其分解为25,0000个信息单元，输入当时在世界上最先进的电脑之一——Mark II来进行计算。但是其数据之庞大超出了电脑的运算能力，于是列昂惕夫将500个部门缩减为42个部门，再次进行计算。经过56小时的计算后，最终得到了答案。
列昂惕夫的工作不仅是成功地提出了一套分析市场投入产出的方法，同时他利用计算机来求解方程，也是人类历史上用计算机处理大规模数据来解觉问题的成功案例之一。因此在经济学和数学两方面，他的工作都具有开创性的意义。
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