[精選題目]點P是邊長為1的菱形ABCD對角線AC上的一個動點,點M,N分別是AB,BC邊上的中點,則MP+PN的最小值是( )
A.1/2 B. 1 C. 根號2 D. 2
【思路導航】本題考查的是軸對稱-最短路線問題及菱形的性質,熟知兩點之間線段最短的知識是解答此題的關鍵,在這個問題中有一個動點,以動點所在直線為對稱軸,作M或N的對稱點,然後連接另一點即可求出MP+PN的最小值.
【解析】分析:先作點M關於AC的對稱點M′,連接M′N交AC於P,此時MP+NP有最小值.然後證明四邊形ABNM′為平行四邊形,即可求出MP+NP=M′N=AB=1.
詳解:如圖
作點M關於AC的對稱點M′,連接M′N交AC於P,此時MP+NP有最小值,最小值為M′N的長.
∵菱形ABCD關於AC對稱,M是AB邊上的中點,
∴M′是AD的中點,
又∵N是BC邊上的中點,
∴AM′∥BN,AM′=BN,
∴四邊形ABNM′是平行四邊形,
∴M′N=AB=1,
∴MP+NP=M′N=1,即MP+NP的最小值為1,
故選:B.
【方法總結】對以兩個定點一個動點型求最短距離的基本步驟 ,
第一步先找見動點所在直線;
第二步作兩個定點中其中一個關於動點所在直線的對稱點,
第三步連接另一點與所作對稱點,這兩點間的距離即為所求最短距離。
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