一位學生跟歐幾里德學習幾何，他問老師：“學數學到底有什麼用？”不料歐幾里德勃然大怒，馬上派僕人塞給這位學生三枚錢幣，把他打發走了，“你竟然想到我這裡學有用的東西？”在古希臘的大數學家眼中，以“有用”來看待數學，簡直是對他的侮辱。
古代的數學家們，除了靠過人的天賦，見人之所未見，發人之所未發，也有一種對無用的、不可見的事物的激情。因此，許多數學家的心智往往像一枚硬幣，一面是理性和謹嚴，另一面是神秘和迷狂。
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比歐幾里德早兩個多世紀的畢達哥拉斯，就是一個不折不扣的神秘主義者。
畢達哥拉斯於公元前570年生於小亞細亞海濱的薩摩斯島。40歲時，他移居到位於意大利西南端的克羅通，在那裡參與城邦政務，一直到大約公元前510年在一場暴亂中被驅逐。隨後遷徙到附近的城邦麥塔龐頓，於公元前6世紀與5世紀之交在那裡辭世。
在克羅通居住期間，他建立了一個半宗教團體，該團體在他死後依然存在了很多年。這就是大名鼎鼎的畢達哥拉斯學派。
古希臘數學家、哲學家畢達哥拉斯
畢達哥拉斯相信，數是萬物的本質。他教導追隨者說，世界由數的和諧所掌控，它們構成了現實的每一部分。他們認為，1是數的第一原則，乃萬物之母，智慧的源泉；2是對立和否定，是意見；3是萬物的形體和形式；4是正義，是宇宙創造者的象徵；5代表了雄性和雌性的結合；6是神的生命，是靈魂；7是機會；8是和諧；9是理性和強大；10包容了一切數目，是完滿和美好。學派有一個圖形標誌，被稱為聖十（Tetractys），這是一個三角形，橫跨四行十個點，象徵著空間和宇宙的組織。畢達哥拉斯的追隨者們有一套專門用來崇奉數字10的禱文——“祝福我們，神聖的數字，你們產生了神和人！……最初產生、永不改變的、永遠不會疲倦的神聖的數字10，一切事物的擁有者。”每當他們解決了一個新的數學定理，就會殺一頭牛來表示對神的感謝。
畢達哥拉斯學派還發現了音程與數比之間的關係，這更讓他們確信：研究數學是理解宇宙結構與秩序的鑰匙。他們聲稱，天文學與和聲學是姊妹學科，前者需要眼睛觀察，後者需要耳朵聆聽。這個團體的成員享有共同財產，遵守一套秘傳儀式與規則：譬如禁止掰麵包，不揀麵包屑，不用鐵器捅火，房裡不能有燕子，總是把右腳的鞋放在左腳之前等等。廣為人知的是，他們都不吃豆子。相傳畢達哥拉斯逃亡途中經過一片豆田，便停了下來，寧可自己被追殺一命嗚呼，也不願踩到豆子。
中間幾何圖案為“聖十”
他相信靈魂不隨肉體而死，人死後靈魂遊歷他方，將會附到不同種類的動物身上。畢達哥拉斯的有些追隨者進而相信三千年宇宙輪迴說，認為靈魂在人死後會逐個進入到陸地、海洋或空中的各種動物身體中，最後再返回到人體中來，這一過程本身會週而復始。不過，畢達哥拉斯本人死後，信徒們相信他已成神。他們所撰寫的傳記，充滿各種奇蹟，賦予畢達哥拉斯超人的預見能力和同時在兩地出現的能力，還聲稱畢達哥拉斯有一條金子的腿。
畢達哥拉斯認為保持沉默十分重要，他要求每個想加入學派的人都必須保持五年不說話。後人推測，這樣做也是為了保守這個神秘組織的秘密。
雖然被信徒們當成神明，畢達哥拉斯本人對“智慧”倒是頗為謙虛，他說，他不是智者（sophos），只是愛智慧的人（philosophos）。“愛智慧”這個詞後來被我們稱為“哲學”。所以，神秘主義者畢達哥拉斯發明了“哲學”這個詞語。
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和畢達哥拉斯這位“老祖宗”一樣，身兼數學家和哲學家兩重光環的，還有法國人笛卡爾和神聖羅馬帝國的萊比錫人萊布尼茨。
笛卡爾的“我思故我在”可能是最為大眾熟知的哲學金句。作為數學家的他，則證明了幾何問題可以歸結成代數問題，也可以通過代數轉換來發現、證明幾何性質，他也被稱為“解析幾何”之父。笛卡爾希望徹底重建人類的知識體系，為上帝的存在提供全新的合理證明，同時也貼心地指出，此類真理對於人們的日常生活沒有絲毫幫助。《神義論》的作者萊布尼茨則認為：在上帝眼中，所有的觀點都能輕而易舉地和諧共存，且這種上帝的視角是我們無法企及的。世界由“單子”構成，每一個不可再分的靈魂都代表著整個宇宙。比如說，你是一個單子，你的貓是一個單子，你抽的煙是一個單子，另一支菸是另一個單子，沒有兩個一模一樣的單子。在你身上，在你的貓身上，在每根菸身上都存在著以不同形式被概括的整個宇宙。
法國哲學家、數學家笛卡爾
在數學領域，萊布尼茨最廣為人知的，是與英國大數學家、科學家牛頓關於微積分首創權的爭議。霍金在《時間簡史》中，一點都沒給他的同胞面子：“牛頓是一個不討人喜歡的人，他和其他院士的關係聲名狼藉，並在激烈的爭吵中度過晚年的大部分時間……他和德國哲學家高特夫瑞德·萊布尼茨之間發生了更嚴重的爭吵。萊布尼茨和牛頓各自獨立地發展了叫做微積分的數學分支……然而值得注意的是，大多數為牛頓辯護的文章均出自牛頓本人之手，只不過僅僅用朋友的名義出版而已！當爭論日趨激烈時，萊布尼茨犯了向皇家學會起訴來解決這一爭端的錯誤。牛頓作為其主席，指定了一個清一色的由牛頓的朋友組成的‘公正的’委員會來審查此案。更有甚者，後來牛頓自己寫了一個委員會報告，並讓皇家學會將其出版，正式地譴責萊布尼茨剽竊。牛頓還不滿意，他又在皇家學會自己的雜誌上寫了一篇匿名的、關於該報告的回顧。據報道，萊布尼茨死後，牛頓揚言他為‘傷透了萊布尼茨的心’而洋洋自得。”
德國哲學家、數學家萊布尼茨
除了為微積分爭得不可開交，牛頓在對神秘主義的熱情上，跟萊布尼茨相比也不遑多讓。晚年的牛頓沉迷於鍊金術和神學研究，甚至還預言了世界將在2060年毀滅。經濟學家凱恩斯說，牛頓是那些鍊金術師中的最後一位，是巴比倫和蘇美爾人中的最後一位，是用從一萬年前起就開始建立我們知識遺產的人們同樣的目光來觀察這個大千世界的最後一個偉大心靈。垂老之際，人們問牛頓，用自己的思想和方法解釋了整個宇宙，對他產生了何種影響，他回答說：“我就像一個在沙灘上玩耍的孩童，幸運地撿到了一隻最美麗的貝殼，或者是一顆最光滑的鵝卵石，但我對面前的那片廣闊的真理之海仍然一無所知。”
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20世紀的現代數學家，似乎與神秘主義已經很難扯上什麼關係了。不過，也有例外。如果從精神病理學的角度來看，英國數學家、人工智能之父圖靈，和美國數學家、博弈論創始人約翰·納什，都有點神秘。兩人也因為傳奇的人生經歷，而被搬上了電影銀幕。這就是感動了萬千觀眾的《模仿遊戲》和《美麗心靈》。
1958年，30歲的約翰·納什好像是變了一個人，精神分裂的症狀開始顯露。他一身嬰兒打扮，出現在新年晚會上。兩週之後，他拿著一份《紐約時報》對人們宣稱，他正通過手裡的報紙收到信息，要麼是來自宇宙中的神秘力量，要麼是來自某些外國政府，而只有他能夠解讀外星人的密碼。當有人問他為何那麼肯定是來自外星人的信息，他說，有關超自然體的感悟就如同數學中的靈思，是沒有理由和先兆的。此後，他目光呆滯，蓬頭垢面，長髮披肩，光著腳丫在街頭晃晃悠悠，人們見了他都儘量躲避。相濡以沫的妻子也在1962年與他離婚。
約翰·納什（左）和電影《美麗心靈》中羅素·克勞飾演的約翰·納什（右）
1994年，納什與萊因哈德·澤爾騰和約翰·C·海薩尼共同獲得了諾貝爾經濟學獎，獲獎者獲邀發表時長1小時的演說。然而諾貝爾委員會考慮到他的精神狀況，並沒有要求他這樣做。唯一的發言是在普林斯頓大學的一個聚會上。納什說，他希望獲獎以後能夠提高自己的信用評級，因為他很想辦張信用卡。此外，本來他應該說很高興與別人分享獎項，但是，他希望獲獎的只是自己，因為他真的很缺錢。
影片中，納什有一個陪伴他、鼓勵他多年的夥伴。直到故事結尾，觀眾才發現，這個夥伴並不存在，只是納什心中的幻象。這部影片獲得了2002年第74屆奧斯卡金像獎的最佳影片、最佳導演、最佳改編劇本等多項大獎。
《模仿遊戲》海報
也許是受到了《美麗心靈》的影響，《模仿遊戲》也有意地把圖靈塑造成了一個有精神分裂傾向的怪才。二戰期間，圖靈協助英國軍方破解德國密碼系統Enigma。根據一些歷史學家的說法，他讓二戰提早兩年結束，至少拯救了兩千萬人的生命。
然而，這位數學天才卻因為同性戀傾向在1952年遭到起訴，隨後被迫接受化學閹割（雌激素注射）代替牢獄之災。1954年6月7日，距離42歲還差16天的圖靈把一個泡過氰化物的蘋果咬入口中，告別了世界。2009年，首相戈登·布朗代表英國政府就“圖靈所受的駭人聽聞的對待方式”作出正式道歉。2013年，英國女王伊麗莎白二世對圖靈追授特赦。這是遲到了半個多世紀的“補償”。
阿蘭·圖靈（Alan Turing）的雕像，由英國藝術家史蒂芬·凱特用板岩製成
1927年，15歲的圖靈在羅斯公學遇到了克里斯托弗·摩爾康，摩爾康比圖靈大一歲，關心、保護弱小的圖靈，也是他在密碼學方面的知音。在中學草坪的一棵樹下，圖靈對摩爾康說：“人和人互相說話時，從來不直說自己的本意，嘴裡說的是一回事，卻假定對方知道他的真實想法。我就不會這一套，所以密碼學和說話有什麼區別呢？”這既是圖靈對密碼學的理解，也暗示了對摩爾康的戀情。後來，摩爾康英年早逝，圖靈終生鬱郁難平。
電影中，圖靈用“克里斯托弗”來命名那臺破解納粹軍情密碼的機器（實際上，這一段是編劇的美好想象，機器並不叫克里斯托弗，而叫Bombe）。影片創造了一個新的有精神缺陷的天才神話。因為相思成疾，圖靈發明了一臺懂密碼的機器，來“模仿”甚至代替他的克里斯托弗。似乎，由人工智能領路的“後人類主義”，正是這位天才為同伴的死亡彈出的弦外之音。當他證明了機器能代替人，也就療治了青春時代“高山流水”絃斷後瀰漫至今的曠古惆悵。
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