Michael Aizenman是普林斯頓大學的物理和數學教授，在他的手上，有一張在1998年-1999年羅列的“願望清單”。這張清單上記錄的是數學物理領域中最令人困惑的13個開放難題（數學物理是一個運用嚴格的數學推理來解決物理問題的領域）。就像克雷數學研究院在2000年提出的千禧年大獎難題一樣，這些問題都是無數學者畢生所追求的目標。
近二十年來，這13個問題中只有一個被部分解決，但即使這樣，在部分解決的過程中就誕生了兩個數學領域的最高榮譽——菲爾茲獎。現在，來自加州理工大學的研究人員Spiros Michalakis和微軟的研究人員Matthew Hastings完完全全地解決了另一個問題！這個問題於1999年被首次提出，與“量子霍爾效應”相關。
1. 電子的奇異行為
1879年，霍爾（Edwin Hall）在一項開創性的實驗中首次發現了霍爾效應。該實驗表明，當存在垂直於金屬表面的磁場時，金屬中的電流會發生偏轉。
○ 經典霍爾效應是帶電粒子在磁場中運動的簡單結果。這裡顯示的是一個簡單的實驗示意圖：開啟一個指向z-方向的恆定磁場（B）；在x-方向上存在一個恆定的電流（I）；同時，電子只能在於（x,y）平面內。根據霍爾定律，這樣的設置會在y-方向產生電壓（V）。霍爾效應之所以會出現，是因為磁場會使得帶電粒子繞圈圈運動。
101年後，德國實驗物理學家克勞斯·馮·克利青（Klaus von Klitzing）在更低的溫度和更強的磁場下進行了霍爾的原始電導實驗，他發現電流的偏轉會以一種量子化的方式出現。換句話說，隨著磁場強度的增加，金屬電導的增加並不像經典物理學所預測的那樣是漸進的或線性的，而是逐階上升的。這一發現也讓馮·克利青獲得了1985年的諾貝爾物理學獎。
○ 量子霍爾效應有兩種，分別是整數和分數量子霍爾效應。兩種效應的發現都是先源於實驗，之後才發展了相關的理論基礎。圖中顯示的是馮·克利青發現的整數量子霍爾效應。當溫度降到~4開爾文時，一個二維電子系統的霍爾電阻的平臺會精確地出現在h/ie²處；其中i是整數，h是普朗克常數，e是電荷。
量子霍爾效應最神奇的地方在於，即使在材料中存在自然雜質的情況下，也能夠出現精確的量子化。雜質會影響電流流過材料的路徑，而且這些雜質在材料中是隨機分佈的，所以完全有理由想象它們會對電導產生隨機的影響。但事實是，它們並不會。
就在馮·克利青發現量子霍爾效應的兩年後，實驗家霍斯特·施特默（Horst Störmer）和崔琦（Daniel Tsui ）展示了更令人困惑的一面：在極端條件下（更低的溫度和更強的磁場下），霍爾電導會以先前觀察到的結果的分數倍量子化。這就好像電子以某種方式分裂成了更小的粒子，每個粒子都攜帶了電子的一小部分電荷。施特默和崔琦，以及理論物理學家
羅伯特·勞夫林（Robert Laughlin）因在這項研究中所作出的貢獻而共同獲得了1998年的諾貝爾物理學獎。
○ 分數量子霍爾效應。當溫度降到~2開爾文時，一個二維電子系統的霍爾電阻的平臺會精確地出現在h/νe²處，其中ν是分數，比如2/3、3/5、4/7、4/9等等。
整數和分數量子霍爾效應都表明，這些系統中的電子在某種程度上會以一種統一的、整體的方式相互作用，儘管通常它們會表現得像一個個乒乓球一樣相互彈開。即使物理學家已經在這一領域取得了如此多的重大進展，但關於電子究竟是如何做到這一點的問題仍然存在。
2. 一個數學途徑
Michalakis在2008年開始研究這個問題，當時他還是洛斯阿拉莫斯國家實驗室裡的一個數學博士後。他的研究建立在他的導師Hastings的開創性工作之上。Hastings根據他與其他人的數十年研究成果，發展出了新的用於研究量子霍爾效應的數學工具。對於Michalakis而言，翻閱所有以前的文獻幾乎與解決問題本身同樣具有挑戰性，因為與之相關的研究已經數不勝數，且其中大部分的研究都需要掌握非常前沿的物理知識，而對於有著數學背景的他，不得不將問題分解成他可以解決的更小的問題。
最終的解決方案來自於數學中的拓撲學。拓撲學研究的是物體的形狀在彎曲或拉伸時不會改變的特性。例如，甜甜圈可以被拉伸成咖啡杯的形狀，但如果想要把它變成球體，就必須將它撕裂。在霍爾效應的背後，就存在有點類似的情形：即使材料中存在著雜質，電導也不會改變。
○ 對於拓撲學家而言，甜甜圈和咖啡杯是一樣的。
其實早在Michalakis和Hastings之前，就有將拓撲用於研究量子霍爾效應的想法存在，但是之前的研究人員都被迫做出兩種假設中的一種——要麼是假設描述系統的數學空間的整體圖景等同於局域圖景，要麼是假設系統中的電子不相互作用。第一個數學假設被懷疑是錯誤的，而第二個物理假設是不現實的。
Michalakis說：“在物質的拓撲狀態下，電子會失去它們的‘身份’。你會得到一個更分散、更穩定、更糾纏的系統，表現的跟單一的物體一樣。在我們之前的研究人員意識到了這可以解釋量子霍爾電導的整體性質，但它們卻作出了放大圖景與縮小圖景一樣的假設。”
如何消除這兩個假設令數學物理學家寢食難安，這也使他們在世紀之交，將量子霍爾效應列為一個重大的開放性問題。
Michalakis和Hastings用一種新穎的方式將整體圖景與局域圖景聯繫了起來，成功的移除了這些假設。為了說明它們的方法，讓我們想象一下讓快速遠離地球時看到的畫面：我們將看到的是一個沒有山脈、沒有峽谷的球體，讓你可能會誤以為能在沒有任何障礙的情況下環遊這顆星球。但當你回到地球時，你意識到這是不可能的——你必須穿越高山和峽谷。在數學意義上，Michalakis和Hastings的解決方案所做的，就是確定一條開放、平坦的路徑，在這條路徑上你不會遇到任何的低谷或高峰，本質上與你在遠離地球時所感知的幻覺相符。
Michalakis說：“我通過使用Hasting的工具以及一些來自其他研究的想法，來證明如果知道了找尋方法的話，這樣的路徑總是存在，並且能輕易地就被找到的。結果是，霍爾電導等於纏繞著描述量子霍爾系統的數學形狀的拓撲特徵的路徑的繞行次數。這就解釋了為什麼霍爾電導是一個整數，以及為什麼它在應對材料中的雜質是表現得如此剛強。雜質就像是你在環遊世界，偏離於‘黃金路線’的小彎繞。它們不會影響你環遊世界的次數。”
3. 已解決！
當然，Michalakis和Hastings的實際證明比這個要複雜得多了；他們用了40頁的數學推理來書寫最初的證明，但經過艱苦的編輯過程，這個數字最終縮減到了30頁。他們在2009年就提交了解決方案，但專家們花了很長的時間才消化這個結果。直到2015年，這個證明才在《數學物理通訊》上正式發表。
○ 歷經了六年，論文才正式發表。
在發表的兩年半後，數學物理學家們才正式承認了這個解決方法，並在官網上將這個問題標記為“已解決（SOLVED）”！
○ 所有的13個問題中，只有兩個被標記了“已解決！”而其中一個只是被部分解決。| 圖片來源：IAMP
在2018年4月國際數學物理聯合會的簡報上，提出該問題的以色列理工學院的物理學教授Joseph Avron表示，證明的論文花了六年的時間才最終被髮表，而它甚至要花更久的時間才能獲得應有的影響力。
[1] http://www.caltech.edu/news/solved-caltech-researcher-helps-crack-decades-old-math-problem-83296?utm_source=SpirosMathProblem_PMA_WC&utm_campaign=6f2bd3391e-EMAIL_CAMPAIGN_2018_08_23_12_40&utm_medium=email&utm_term=0_846b285134-6f2bd3391e-136430585
[2] http://web.math.princeton.edu/~aizenman/OpenProblems_MathPhys/OPlist.html
[3] http://phsites.technion.ac.il/avron/wp-content/uploads/sites/3/2018/04/Bulletin-April2018-print.pdf
[4] https://authors.library.caltech.edu/55577/1/1306.1258v2.pdf
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