勾股定理歸納總結

② 知道直角三角形一邊，可得另外兩邊之間的數量關係；

③ 可運用勾股定理解決一些實際問題 .

５.勾股定理的逆定理

如果三角形三邊長 a，b，c 滿足 a2 + b2 = c2，那麼這個三角形是直角三角形，其中 c 為斜邊 .

① 勾股定理的逆定理是判定一個三角形是否是直角三角形的一種重要方法，

它通過 “數轉化為形” 來確定三角形的可能形狀，

在運用這一定理時，可用兩小邊的平方和 a2 + b2 與較長邊的平方 c2 作比較 :

若它們相等時，以 a，b，c 為三邊的三角形是直角三角形；

若 a2 + b2 < c2，時，以 a，b，c 為三邊的三角形是鈍角三角形；

若 a2 + b2 > c2，時，以 a，b，c 為三邊的三角形是銳角三角形 .

②定理中 a，b，c 及 a2 + b2 = c2 只是一種表現形式，不可認為是唯一的，

如若三角形三邊長 a，b，c 滿足 a2 + c2 = b2，那麼以 a，b，c 為三邊的三角形是直角三角形，

但此時的斜邊是 b 而不是 c 了 .

③勾股定理的逆定理在用問題描述時，

不能說成：當斜邊的平方等於兩條直角邊的平方和時，這個三角形是直角三角形 .

６.勾股數

① 能夠構成直角三角形的三邊長的三個正整數稱為勾股數，

即 a2 + b2 = c2 中，a，b，c 為正整數時，稱 a，b，c 為一組勾股數 ;

② 記住常見的勾股數可以提高解題速度，例如 3 , 4 , 5；6 , 8 , 10；5 , 12 , 13 等 ;

③ 用含字母的代數式表示 n 組勾股數：

7.勾股定理及其逆定理的應用

二、常見題型歸納總結

題型一：直接考查勾股定理

【例題1】在 △ABC 中，∠C = 90°．

⑴ 已知 AC = 6，BC = 8．求 AB 的長 ;

⑵ 已知 AB = 17，AC = 15，求 BC 的長 .

分析：畫出圖形直接應用勾股定理即可解題 .

題型二：應用勾股定理建立方程

【例題2】

⑴ 在 △ABC 中，∠ACB = 90°，AB = 5 cm，BC = 3 cm，CD⊥AB 於 D，則 CD＝ ；

⑵ 已知直角三角形的兩直角邊長之比為 3 ：4，斜邊長為 15 cm，則這個三角形的面積為 ；

⑶ 已知直角三角形的周長為 30 cm，斜邊長為 13 cm，則這個三角形的面積為 .

分析：在解直角三角形時，要想到勾股定理，及兩直角邊的乘積等於斜邊與斜邊上高的乘積．

有時可根據勾股定理列方程求解 .

【例題3】如圖，在 △ABC 中，∠ACB = 90°，∠1 = ∠2，CD = 1.5 , BD = 2.5 , 求 AC 的長 .

分析：此題將勾股定理與全等三角形的知識結合起來 .

解析：設 AC = x , 易知 CD = DE = 1.5 , AC = AE = x ,

在 Rt△DEB 中，根據勾股定理可得：DE2 + BE2 = BD2 ,

即 1.5 × 1.5 + BE2 = 2.5 × 2.5 ，

解得 BE = 2 .

在 Rt△ACB 中，根據勾股定理可得：AC2 + BC2 = AB2 ,

即 x2 + 4 × 4 = （x + 2）2 ,

解得 x = 3 ,

∴ AC = 3 .

題型三：勾股定理在實際問題中的應用

【例題4】如圖有兩棵樹，一棵高 8 m，另一棵高 2 m，兩樹相距 8 m，一隻小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵數的樹梢，至少飛了 m.

分析：根據題意建立數學模型，如圖所示 AB = 8 m，CD = 2 m，BC = 8 m，

過點 D 作 DE⊥AB，垂足為 E，則 AE = 6 m，DE = 8 m .

在 Rt△AED 中，應用勾股定理，可得 AD = 10 m ，即小鳥至少飛了 10 m .

題型四：應用勾股定理逆定理，判定一個三角形是否是直角三角形

【例題5】已知三角形的三邊長分別為 a，b，c，試判定 △ABC 是否為直角三角形 .

① a = 1.5，b = 2，c = 2.5 ;

② a = 5/4，b = 1，c = 2/3 .

題型五：勾股定理與勾股定理的逆定理綜合應用

【例題6】已知在 △ABC 中，AB = 13 cm，BC = 10 cm，BC 邊上的中線 AD = 12 cm，

求證：AB = AC .

證明：

∵ AD 是 BC 邊上的中線，BC = 10 cm ,

∴ BD = DC = 5 cm ,

在 △ADB 中，AB = 13 cm , AD = 12 cm , BD = 5 cm ,

∵ 5 × 5 + 12 × 12 = 13 × 13 ，

∴ BD2 + AD2 = AB2 ,

∴ △ADB 是直角三角形，

∴ ∠ADB = ∠ADC = 90° ，

∴ △ADB ≌ △ADC，（SAS）

∴ AB = AC .

三、鞏固訓練

1、一架方梯長 25 米，如圖，斜靠在一面牆上，梯子底端離牆 7 米，

（1）這個梯子的頂端距地面有多高？

（2）如果梯子的頂端下滑了 4 米，那麼梯子的底端在水平方向滑動了幾米？

（3）當梯子的頂端下滑的距離與梯子的底端水平滑動的距離相等時，這時梯子的頂端距地面有多高？

2、如圖，A、B 兩個小集鎮在河流 CD 的同側，分別到河的距離為 AC = 10 千米，BD = 30 千米，

且 CD = 30 千米，現在要在河邊建一自來水廠，向 A、B 兩鎮供水，鋪設水管的費用為每千米 3 萬，

請你在河流 CD 上選擇水廠的位置 M，使鋪設水管的費用最節省，並求出總費用是多少？

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關鍵字: 三角形 a2 AB

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