勾股定理的證明方法是多樣的,而其中的多種方法是具有共性的。我們知道弦圖,它幫助我們證明了勾股定理,然而弦圖的作用是十分巨大的,如果看透弦圖隱含的各種模型,就能輕而易舉地秒殺中考題。
模型解析
三垂直全等模型其實就是從弦圖中衍生出來的一個模型,深入研究之後就會發現圖形間很多有聯繫的東西。
這裡面隱含了等腰直角三角形,如上圖,很容易構造黃黃全等或紅紅全等。初中數學題目中往往有的題目用三角函數值來刻畫角,為了規避高中知識,弦圖給我們提供了直角三角形的背景,再求角的度數或大小時就回避了高中的三角和差公式。
應用時通常進一步簡化如下三垂直基本圖形模型。
經典考題
1.如圖,等腰Rt△OAB,∠AOB=90°,斜邊AB交y軸正半軸於點C,若A(3,1),則點C的座標為______.
【解析】:本題考查了等腰直角三角形,全等三角形的判定和性質,座標與圖形性質,正確的作出輔助線是解題的關鍵.
過B作BE⊥y軸於E,過A作AF⊥x軸於F,
∴∠BCO=∠AFO=90°,
∵A(3,1),∴OF=3,AF=1,
∵∠AOB=90°,
∴∠BOC+∠OBC=∠BOC+∠AOF=90°,
∴∠BOC=∠AOF,
∵OA=OB,∴△BOC≌△AOF(AAS),
∴BC=AF=1,OC=OF=3,∴B(﹣1,3),
設直線AB的解析式為y=kx+b,
∴-k+b=3, 3k+b=1,,解得:k=-1/2, b=5/2,
∴直線AB的解析式為y=﹣1/2x+5/2,
當x=0時,y=5/2,∴點C的座標為(0,5/2),
故答案為:(0,5/2).
2.如圖,已知正方形ABOC的頂點B(2,1),則頂點C的座標為_______.
【解析】:如圖,過B作BF⊥x軸於F,過C作CE⊥y軸於E,
則∠CEO=∠BFO=90°,
∵四邊形ABOC是正方形,∴∠BOC=90°,
∴∠COE+∠BOE=∠BOF+∠BOE=90°,
∴∠COE=∠BOE,
∵OC=OB,∴△COE≌△BOF(AAS),
∴CE=BF,OE=OF,
∵B(2,1),∴OF=2,BF=1,
∴CE=1,OE=2,∴C(﹣1,2),
故答案為:(﹣1,2).
變式. 如圖,在平面直角座標系中,已知A(0,6),B(2,0),C(6,0),D為線段BC上的動點,以AD為邊向右側作正方形ADEF,連接CF交DE於點P,則CP的最大值________.
【解答】:如圖,作FQ⊥y軸於點Q,
∴∠FQA=∠AOD=90°,∴∠FAQ+∠AFQ=90°,
∵四邊形ADEF是正方形,∴FA=AD,∠FAD=90°,
∴∠FAQ+∠DAO=90°,∴∠AFQ=∠DAO,
易證△AFQ≌△DAO(AAS),∴FQ=OA=OC=6,
又FQ∥OC,且∠FQO=90°,
∴四邊形OCFQ是矩形,∴∠PCD=∠AOD=90°,
∵∠ADE=90°,
∴∠ADO+∠CDP=90°,且∠OAD+∠ADO=90°,
∴∠OAD=∠CDP,且∠PCD=∠AOD=90°,
3.如圖,a、b、c、d是一組平行線,且每兩條相鄰平行線間的距離均為1,正方形ABCD的四個頂點分別落在這四條直線上,則正方形ABCD的面積為______.
【解析】:作MN⊥l₂,交l₁於M點,交l4於N點.
∵l₁∥l₂∥l₃∥l4,MN⊥l₂,
∴MN⊥l₁,MN⊥l4,即∠AMB=∠BMC=90°.
∵四邊形ABCD為正方形,∴∠ABC=90°.
∴∠ABM+∠CBN=90°.
又∵∠ABM+∠BAM=90°,
∴∠CBN=∠BAM.
易證△ABM≌△BCN(AAS),∴CN=BM=1.
∵BN=2,∴CB²=1²+2²=5,
即正方形ABCD的面積為5.故答案為:5.
4.已知 Rt△ACB中,∠ACB=90°,AB﹣BC=2,AC=4,以三邊分別向外作三個正方形,連接DE,FG,HI,得到六邊形DEFGHI,則六邊形DEFGHI的面積為_______.
【解析】:本題考查正方形的性質,全等三角形的判定和性質等知識,解題的關鍵是學會添加常用輔助線,構造全等三角形解決問題,屬於中考常考題型.
如圖,作DJ⊥EA交EA的延長線於J,CH⊥AB於H.
∵∠DAC=∠JAB=90°,∴∠DAJ=∠CAB,
∵AD=AC,∠J=∠AHC=90,∴△ADJ≌△ACH(AAS),
∴DJ=CH,
5.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=40°,∠ACB的平分線與∠ABC的外角平分線交於點E,連接AE,則∠AEB的度數為______.
【解析】:本題考查的是角平分線的性質,掌握角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題的關鍵,注意三角形內角和定理和角平分線的定義和正確運用.
作EF⊥AC交CA的延長線於F,EG⊥AB於G,EH⊥BC交CB的延長線於H,∵CE平分∠ACB,BE平分∠ABD,∴EF=EH,EG=EH,
∴EF=EF,又EF⊥AC,EG⊥AB,∴AE平分∠FAG,
∵∠CAB=40°,∴∠BAF=140°,∴∠EAB=70°,
∵∠ACB=90°,∠CAB=40°,∴∠ABC=50°,
∴∠ABH=130°,又BE平分∠ABD,∴∠ABE=65°,
∴∠AEB=180°﹣∠EAB﹣∠ABE=45°,故答案為:45°.
6.如圖,在直角三角形ABC中,∠C=90°,D是AC邊上一點,以BD為邊,在BD上方作等腰直角三角形BDE,使得∠BDE=90°,連接AE.若BC=4,AC=5,則AE的最小值是______.
【解析】:如圖,過點E作EH⊥AC於H,
∵∠BDE=90°=∠C,
∴∠EDA+∠BDC=90°,∠BDC+∠DBC=90°,
∴∠DBC=∠EDA,且DE=BD,∠H=∠C=90°,
∴△BDC≌△DEH(AAS)
∴EH=CD,DH=BC=4,∴AH=DH﹣AD=CD﹣1,
7.如圖,在矩形ABCD中,AB=6,AD=12,E為邊AB上一點,AE=2,P、Q分別為邊AD、BC上的兩點,且∠PEQ=45°,若△EPQ為等腰三角形,則AP的長為_______.
【解析】:本題屬於三角形綜合題,考查了矩形的性質,全等三角形的判定和性質,平行線分線段成比例定理等知識,解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題,學會添加常用輔助線,構造全等三角形解決問題.
(1)如圖1,當PE=PQ時,作QF⊥AD,則四邊形ABQF是矩形,可得QF=AB=6.
∵∠A=∠PFQ=∠EPQ=90°,
∴∠APE+∠QPF=90°,∠APE+∠AEP=90°,∴∠AEP=∠QPF,
∵PE=PQ,∴△AEP≌△FPQ(AAS),∴AP=FQ=6;
(2)如圖2,當QE=QP時,作PF⊥BC,則四邊形ABFP是矩形,可得PF=AB=6,
同法可得:△BEQ≌△FQP(AAS),
∴BE=FQ=4,BQ=FP=6,∴AP=BF=10;
(3)如圖3,當EP=EQ時,作PM⊥PE交EQ的延長線於點M,作MF⊥AD於點F,MF交BC於點H.
∵EP=EQ,BE∥MH,
8.如圖,平面直角座標系中,長方形OABC,點A,C分別在y軸,x軸的正半軸上,OA=6,OC=3.∠DOE=45°,OD,OE分別交BC,AB於點D,E,且CD=2,則點E座標為_______.
【解析】:本題考查了矩形的性質,座標與圖形性質,全等三角形的判定和性質,相似三角形的判定和性質,添加恰當輔助線是本題的關鍵.
如圖,過點E作EF⊥OE交OD延長線於點F,過點F作FG⊥AB交AB延長線於點G,作FH⊥BC於H,
∵∠EOF=45°,EF⊥EO,∴∠EOF=∠EFO=45°,∴OE=EF,
∵∠AOE+∠AEO=90°,∠AEO+∠GEF=90°,
∴∠GEF=∠AOE,且∠OAE=∠G=90°,OE=EF,
∴△AEO≌△GEF(AAS),∴AE=GF,EG=AO=6,
∴BG=EG﹣BE=6﹣(3﹣AE)=3+AE,
∵FH⊥BC,∠G=∠CBG=90°,
∴四邊形BGFH是矩形,
∴BH=GF=AE,BG=HF=3+AE,HF∥BG∥OC,
∴HD=BD﹣BH=4﹣AE,
∵HF∥OC,∴△ODC∽△FDH,
∴HF/OC=HD/CD,∴(3+AE)/3=(4-AE)/2,
∴AE=6/5,∴點E(6/5,6).故答案為:(6/5,6).
跟蹤訓練
進階提升
解析:(1)不存在,可證全等,並得出DE+CD=AD,而斜邊長為2,故直角邊AD不可能為3;
(2)①運動路徑是圓弧:路徑長為1/2 π; ②掃過面積為1。
解析:(1)√5/5
(2)延長DE於G,使得FG⊥DE,作CM⊥EG,易證△CEM≌△EFG,則FG=EM,設DE=x,EF=√5x,則x+√5x=√5+1,x=1,則FG=1=DE,所以面積=1/2.
解析:作DM⊥BC,易證全等,再證△OMC≌△ABO,CM=AB=4,而△BOM為等腰直角三角形,所以BM=4,BC=8,勾股得AC平方為80,故面積為80。
方法總結
我們可以找到此類問題的解法:題目條件中有比值刻畫的角,包含(等腰)直角三角形、等邊三角形時. 我們可以用弦圖溝通彼此聯繫。也就是平時的基本模型--"一線三直角",其實題目還可以進一步構造成矩形,矩形框圖往往也是一招必殺技!
構造三垂直全等,一方面可以得到相等線段,在幾何圖形中作等量代換.另外在座標系中構造三垂直全等,可實現"化斜為直",用水平或豎直線段刻畫圖中的點與線,會更方便計算。
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