八宫数的神奇妙算
八宫数双图
妙算八个任选有序N位数的神奇规律
一、洛河数图
洛河数图
二、精妙对称的河图数宫位
戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，五（戓十）居中，围成九宫。
上正宫九，下正宫一，左正宫三，右正宫七；肩左角宫四，肩右角宫二，足左角宫八，足右角宫六。上下左右四正宫，上肩下足四角宫，四边八宫不透风。
对望宫数之和为十，无论纵向横向还是对角线，数字之和都是十五。
上下六宫（二四九六一八）数值和三十，左右六宫（四三八二七六）数之和亦三十，四边八宫数（一二三四六七八九）之和为四十。九宫总数四十五（或五十）。
道生一，一生二，二生三，三生万物；万物皆数，凡数归河图，河图生万数。
三、妙算法
（一）数字连读法
八宫数中任选n个宫数的方法有很多种，这里选取的是连读法。
1. 八宫数83492761的顺时针连读法
(1) 连读一位数8，3，4，9，2，7，6，1；...
(2) 连读二位数83,34,49,92,27,76,61，18；...
(3) 连读三位数834，349，492，
927，276，761，618，183...
2. 八宫数18349276的反时针连读法
(1) 连读一位数1，6，7，2，9，4，3，8，1；...
(2) 连读二位数16，67，72，29，94，43，38，81；...
(3) 连读三位数167，672，729，294，
943，438，381，816；...
（二）拆分积
1. 连读有序2位数的拆分积:前后两个数相乘的积
2. 连读有序3位数的拆分积:前1位数与后两位数相乘的积
四、妙算八宫数之神奇规律（神律）
（一）神律一（10倍n个4）
1. 顺反时针连读八宫数18349276/16729438，相邻八个连读有序n位数之和Hn是10倍n个4
n=1，2，3，4，...，n
H1=8+3+4+9+2+7+6+1
=1+6+7+2+9+4+3+8
=40
H2=83+34+49+92
+27+76+61+18
=16+67+72+29
+94+43+38+81
=440
H3=834+349+492+927
+276+761+618+183
=167+672+729+294
+943+438+381+816
=4440
…… ……
Hn=10×（n个4）
Hn+1÷Hn
H3/H2=4440/440
=10+0.0909090909...=10+S
循环节S=9*10^-2
H4/H3=44440/4440
=10+0.009009009009009...=10+S
循环节S=9*10^-3
…… ……
Hn+1÷Hn=10+9*10^-n
当n很大时，S=9*10-n≈0 Hn+1÷Hn≈10
1. 规律总结
八宫数中，八个连读有序一，二，三 ...... n位数之和同为
40，440，4440，...... 10 ×（n个4）；
从H1=40，H2=440，... 到Hn=10×（n个4）是一个近似等比级数；
Hn+1/Hn≈10（当n很大时）。
（二）神律二（200倍n个1的平方）
八宫数由两个同样的正/角4宫数组成，这样的八宫数被称为孪生八宫数。
1. 顺反时针连读的16组正/角孪生八宫数
(1) 顺反时针连读的8组孪生正八宫数
1) 顺时针连读4组：
13971397，39713971，
97139713，71397139；
2) 反时针连读4组：
17931793，79317931，
93179317，31793179；
(2) 顺反时针连读的8组孪生角八宫数
1) 顺时针连读4组：
26842684，68426842，
84268426，42684268；
2) 反时针连读4组：
24862486，48624862，
86248624，62486248；
2. 16组孪生八宫数中，8个相邻连读有序n位数乘积之和Hn分别同为：
（N=1，2，3，4；....n）
(1) H1
=1*3+3*9+9*7+7*1
+1*3+3*9+9*7+7*1
=2*6+6*8+8*4+4*2
+2*6+6*8+8**4+42
=.*.+.*.+.*.+.*.+...
=200=200×1^2
(2) H2
=13*39+39*97+97*71
+13*39+39*97+97*7+71
=26*68+68*84+84*42
+26*68+68*84+84*42
=.*.+.*.+.*.+.*.+...
=24200=200×121
=200×11^2
(3) H3
=139*397+397*971+971*713+713*139
+139*397+397*971*713+713+713*139
=268*684+684*842+842*426+426*268
+268*684+684*842+842*426+426*268
=.*.+.*.+.*.+.*.+...
=2464200=200×12321
=200×111^2
… …
(4) Hn=200×（n个1）^2
(5) Hn+1÷Hn
H3/H2=（111/11）^2
=(10+S）^2
循环节S=0.09=9*10^-2
H4/H3=（1111/111）^2
=(10+S）^2
循环节S=0.009=9*10^-3
… …
Hn+1÷Hn=（10+S）^2
循环节S=9*10-n 当n很大时，S≈0
Hn+1÷Hn≈10^2=100
2. 规律总结
(1) 16组孪生八宫数中，8个相邻连读有序n位数乘积之和Hn分别同为：
H1=200*1^2，
H2=200*11^2，
H3=200*111^2，
… …
Hn=200 ×（n个1）^2；
(2) 从H1，H2，H3... 到Hn=200×（n个1）^2是一个近似等比级数；
Hn+1/Hn≈100（当n很大时）。
（三）神律三（201倍n个1的平方）
1. 下面四组八宫数
9 7 1 3 8 6 2 4
1 3 9 7 2 4 8 6
7 9 3 1 6 8 4 2
3 1 7 9 4 2 6 8
(1) 八个连读有序两位数拆分积之和H1都等201
H1
= 9*7+ 7*1+1*3+3*8+8*6+6*2+2*4+4*9
=1*3+3*9+9*7+7*2+2*4+4*8+8*6+6*1
=7*9+9*3+3*1+1*6+6*8+8*4+4*2+2*7
=3*1+1*7+7*9+9*4+4*2+2*6+6*8+8*3
=201
(2) 八个连读有序两位数乘积之和H2都等24321
H2
=97*71+71*13+13*38+38*86
+86*62+62*24+24*49+49*97
=..*..+..*..+...... = ..*..+..*..+ ......
=31*17+17*79+79*94+94*42
+42*26+26*68+68*83+83*31+31*13
=24321
=201*11^2-200*0^2
=201*（2个1）^2
-200*[（2-2）个1]^2
(3) 八个连读有序三位数乘积之和H3都等2476321
H3
=971*713+713*138+138*386+386*862
+862*624+624*249+249*497+497*971
=...*...+...*...+...... = ...*...+...*...+ ......
=317*179+179*794+794*942+942*426
+426*268+268*683+683*831+831*317
=2476321
=2476521-200
=201*12321-200
=201*111^2-200*1^2
=201*（3个1）^2
-200*[（3-2）个1]^2
(4) 八个连读有序四位数乘积之和H4都等248074321
H4
=9713*7138+7138*1386+1386*3862+3862*8624
+8624*6249+6249*2497+2497*4971+4971*9713
=....*....+....*....+ ...... =....*....+....*....+ ......
=3179*1794+1794*7942+7942*9426+9426*4268
+4268*2683+2683*6831+6831*8317+8317*3179
=248074321
=248098521-24200
=201*1111^2-200*11^2
=201*（4个1）^2
-200*[（4-2）个1]^2
(5) 八个连读有序五位数乘积之和H5都等24811854321
H5
=97138*71386+71386*13862
+13862*38624
+38624*86249
+86249*62497
+62497*24971
+24971*49713
+49713*97138
=.....*.....+.....*.....+ ..... =.....
=31794*17942+17942*79426
+79426*94268
+94268*42683
+42683*26831
+26831*68317
+68317*83179
+83179*31794
=.....*.....+.....*.....+ ..... =.....
=24811854321
=24814318521-200*12321
=201*11111^2-200*111^2
=201*（5个1）^2
-200*[（5-2）个1]^2
… …
(6) 八个连读有序n位数乘积之和Hn
Hn=201*（n个1）^2
-200*[（n-2）个1]^2
2. 规律总结
八个连读有序两位数拆分积之和都等201的四个八宫数，其八个连读有序n位数乘积之和Hn，分别为
n=2
H2=201*（2个1）^2
-200*[（2-2）个1]^2
n=3
H3=201*（3个1）^2
-200*[（3-2）个1]^2
n=4
H4=201*（4个1）^2
-200*[（4-2）个1]^2
N=5
Hn=201*（5个1）^2
-200*[（5-2）个1]^2
… …
N=n
Hn=201*（n个1）^2
-200*[（n-2）个1]^2
（四）神律四（和数就这些，做冒又做鞋）
1. 八个连读有序两位数拆分积之和H1都等175/225的四组八宫数
(1) 下面四组八宫数
3 9 7 1 8 4 2 6
7 1 3 9 2 6 8 4
1 7 9 3 6 2 4 8
9 3 1 7 4 8 6 2
1) 八个连读有序两位数拆分积之和H1都等175
H1=3*9+9*7+7*1+1*8+8*4+4*2+2*6+6*3
=7*1+1*3+3*9+9*2+2*6+6*8+8*4+4*7
=1*7+7*9+9*3+3*6+6*2+2*4+4*8+8*1
=9*3+3*1+1*7+7*4+4*8+8*6+6*2+2*9
=175
2) 八个连读有序两位数乘积之和H2都等22175
H2=39*97+97*71
+71*18+18*84
+84*42+42*26+26*63+63*39
=71*13+13*39+39*92+92*26
+26*68+68*84+84*47+47*71
=17*79+79*93+93*36+36*62
+62*24+24*48+48*81+81*17
=93*31+31*17+17*74+74*48
+48*86+86*62+62*29+29*93
=22175
={22}（175）
3) 八个连读有序三位数乘积之和H3都等2262175
H3
=397*971+971*718+718*184+184*842
+842*426+426*263+263*639+639*397
=713*139+139*392+392*926+926*268
+268*684+684*847+847*471+471*713
=179*793+793*936+936*362+362*624
+624*248+248*481+481*817+817*179
=931*317+317*174+174*748+748*486
+486*862+862*629+629*293+293*931
=2262175
={22} 62（175）
4) 八个连读有序四位数乘积之和H4都等226612175
H4
=3971*9718+9718*7184+7184*1842+1842*8426
+8426*4263+4263*2639+2639*6397+6397*3971
=7139*1392+1392*3926+3926*9268+9268*2684
+2684*6847+6847*8471+8471*4713+4713*7139
=1793*7936+7936*9362+9362*3624+3624*6248
+6248*2481+2481*4817+4817*8179+8179*1793
=9317*3174+3174*1748+1748*7486+7486*4862
+4862*8629+8629*6293+6293*2931+2931*9317
=226612175
={22} 6612（175）
… …
(2) 下面四组八宫数
1 3 9 7 6 8 4 2
9 7 1 3 4 2 6 8
7 9 3 1 2 4 8 6
3 1 7 9 8 6 2 4
1) 八个连读有序两位数拆分积之和H1都等225
H1=1*3+3*9+9*7+7*6+6*8+8*4+4*2+2*1
=9*7+7*1+1*3+3*4+4*2+2*6+6*8+8*9
=7*9+9*3+3*1+1*2+2*4+4*8+8*6+6*7
=3*1+1*+7*9+9*8+8*6+6*2+2*4+4*3=225
2) 八个连读有序两位数乘积之和H2都等27225
H2
=13*39+39*97+97*76+76*68
+68*84+84*42+42*21+21*13
=97*71+71*13+13*34+34*42
+42*26+26*68+68*89+89*97
=79*93+93*31+31*12+12*24
+24*48+48*86+86*67+67*79
=31*17+17*79+79*98+98*86
+86*62+62*24+24*43+43*31
=27225
= {27}（225）
3) 八个连读有序三位数乘积之和H3都等2767225
H3
=139*397+397*976+976*768
+768*684+684*842+842*421
+421*213+213*139
=971*713+713*134+134*342
+342*426+426*268+268*689
+689*897+897*971
=793*931+931*312+312*124
+124*248+248*486+486*867
+867*679+679*793
=317*179+179*798+798*986
+986*862+862*624+624*243
+243*431+431*317
=2767225
= {27} 67（225）
4) 八个连读有序四位数乘积之和H4都等277117225
H4= 1397*3976+3976*9768+9768*7684
+7684*6842+6842*8421+8421*4213
+4213*2139+2139*1397
= 9713*7134+7134*1342+1342*3426
+3426*4268+4268*2689+2689*6897
+6897*8971+897*9713
=7931*9312+9312*3124+3124*1248
+1248*2486+2486*4867+4867*8679
+8679*6793+6793*7931
= 3179*1798+1798*7986+7986*9862
+9862*8624+8624*6243+6243*2431
+2431*4317+4317*3179
=277117225
= {27} 7117（225）
… …
2. 规律总结
(1) 八个连读有序两位数拆分积之和H1都等175的四组八宫数，其八个连读有序两位数乘积之和H2/三位数乘积之和H3/四位数乘积之和H4都分别等于22175/2262175/226612175；它们的头两位数{冒}=17+5=22，末三位数（鞋）=175。
(2) 八个连读有序两位数拆分积之和H1都等225的四组八宫数，其八个连读有序两位数乘积之和H2/三位数乘积之和H3/四位数乘积之和H4都分别等于27225/2767225/277117225；它们的头两位数{冒}=22+5=27，末三位数（鞋）=225。
（五）神律五（一和等则九和同）
正/角4宫数相隔合成的八宫数被称为交叉八宫数；
1. 顺反时针连读的16组交叉八宫数
(1) 顺时针连读8组：
1) 1 6 7 2 9 4 3 8
2) 6 7 2 9 4 3 8 1
3) 7 2 9 4 3 8 1 6
4) 2 9 4 3 8 1 6 7
5) 9 4 3 8 1 6 7 2
6) 4 3 8 1 6 7 2 9
7) 3 8 1 6 7 2 9 4
8) 8 1 6 7 2 9 4 3
(2) 反时针连读8组：
9) 1 8 3 4 9 2 7 6
10) 8 3 4 9 2 7 6 1
11) 3 4 9 2 7 6 1 8
12) 4 9 2 7 6 1 8 3
13) 9 2 7 6 1 8 3 4
14) 2 7 6 1 8 3 4 9
15) 7 6 1 8 3 4 9 2
16) 6 1 8 3 4 9 2 7
2. 一和等则九和同的16组交叉八宫数
(1) 一和等
八个连读有序两位数拆分积之和H0都等160
H0/1=1*6+6*7+7*2+2*9
+9*4+4*3+3*8+8*1=160
H0/2=6*7+7*2+2*9+9*4
+4*3+3*8+8*1+1*6=160
… …
H0/16=6*1+1*8+8*3+3*4
+4*9+9*2+2*7+7*6=160
(2) 九和同
1) 八个连读有序两位数乘积之和H1都等20760
H1/1=
16*67+67*72
+72*29+29*94
+94*43+43*38
+38*81+81*16
=20760
H1/2
=67*72+72*29
+29*94+94*43
+43*38+38*81+81*16+16*67=20760
… …
H1/16
=61*18+18*83+83*34+34*49
+49*92+92*27+27*76+76*61=20760
2) 八个连读有序三位数拆分积之和H2都等1800
H2/1
=1*67+6*72+7*29+2*94
+9*43+4*38+3*81+8*16
=1800
H2/2=6*72+7*29+2*94+9*43
+4*38+3*81+8*16+1*67
=1800
… …
H2/16
=6*18+1*83+8*34+3*49
+4*92+9*27+2*76+7*61
=1800
3) 八个连读有序三位数乘积之和H3都等2120760
H3/1
=167*672+672*729
+729*294+294*943
+943*438+438*381
+381*816+816*167
=2120760
H3/2
=672*729+729*294
+294*943+943*438
+438*381+381*816
+816*167+167*672
=2120760
… …
H3/16
=618*183+183*834
+834*349+349*492
+492*927+927*276
+276*761+761*618
=2120760
4) 八个连读有序一位数平方之和H4都等
H4=1^2+2^2+3^2+4^2
+6^2+7^2+8^2+9^2
=260
5) 八个连读有序二位数平方之和H5都等29460
H5/1
=16^2+67^2+72^2+29^2
+94^2+43^2+38^2+81^2
=29460
H5/2
=67^2+72^2+29^2+94^2
+43^2+38^2+81^2+16^2
=29460
… …
H5/16
=61^2+18^2+83^2+34^2
+49^2+92^2+27^2+76^2
=29460
6) 八个连读有序三位数平方之和H6都等2989460
H6/1
=167^2+672^2+729^2+294^2
+943^2+438^2+381^2+816^2=2989460
H6/2
=672^2+729^2+294^2+943^2
+438^2+381^2+816^2+166^2=2989460
… …
H6/16
=618^2+183^2+834^2+349^2
+492^2+927^2+276^2+761^2=2989460
7) 八个连读有序二位数立方之和H7都等2421030
H7/1
=16^3+67^3+72^3+29^3
+94^3+43^3+38^3+81^3
=2421030
H7/2
=67^3+72^3+29^3+94^3
+43^3+38^3+81^3+16^3
=2421030
… …
H7/16
=61^3+18^3+83^3+34^3
+49^3+92^3+27^3+76^3
=2421030
8) 八个连读有序三位数立方之和H8都等2242188900
H8/1
=167^3+672^3+729^3+294^3
+943^3+438^3+381^3+816^3=2242188900
H8/2
=672^3+729^3+294^3+943^3
+438^3+381^3+816^3+166^3=2242188900
… …
H8/16
=618^3+183^3+834^3+349^3
+492^3+927^3+276^3+761^3=2242188900
9) 八个连读有序四位数乘积之和H9都等212460760
H9/1
=1672*6729+6729*7294
+7294*2943+2943*9438
+9438*4381+4381*3816
+3816*8167+8167*1672
=212460760
H9/2
=6729*7294+7294*2943
+2943*9438+9438*4381
+4381*3816+3816*8167
+8167*1672+1672*6729
=212460760
… …
H9/16
=6183*1834+1834*8349
+8349*3492+3492*4927
+4927*9276+9276*2761
+2761*7618+7618*6183
=212460760
3. 规律总结
十六组交叉八宫数的一个和H0相等其余九个和H1到H9都相同。
两位数拆分积之和H0都等160，
两位数乘积之和H1都等20760，
三位数拆分积之和H2都等1800，
三位数乘积之和H3都等2120760，
一位数平方之和H4都等260
二位数平方之和H5都等29460，
三位数平方之和H6都等2989460，
二位数立方之和H7都等2421030，
三位数立方之和H8都等2242188900，
四位数乘积之和H9都等212460760。
（六）神律六（换位和不变）
1. 由1397与顺反时针连读的8组角4宫数合成的八宫数
(1) 换位前/后的合成八宫数
1) 前13972684/
后26841397，
2) 前13976842/
后68421397，
3) 前13978426/
后84261397，
4) 前13974268/
后42681397；
5) 前13972486/
后26841397，
6) 前13974862/
后48621397，
7) 前13978624/
后86241397，
8) 前13976248/
后62481397；
(2) 换位前/后，所有的和都不变
1) 前13972684/后26841397
① 八个连读有序两位数拆分积之和H1都等203
H1=1*3+3*9+9*7+7*2
+2*6+6*8+8*4+4*1
=2*6+6*8+8*4+4*1
+1*3+3*9+9*7+7*2
=203
② 八个连读有序两位数乘积之和H2都等24603
H2=13*39+39*97
+97*72+72*26
+26*68+68*84+84*41+41*13
=26*68+68*84+84*41+41*13
+13*39+39*97+97*72+72*26
=24603
③ 八个连读有序三位数拆分积之和H3都等2180
H3=1*39+3*97+9*72+7*26
+2*68+6*84+8*41+4*13
=2*68+6*84+8*41+4*13
+1*39+3*97+9*72+7*26
=2180
④ 八个连读有序三位数乘积之和H4都等2504603
H4=139*397+397*972+972*726+726*268
+268*684+684*841+841*413+413*139
=268*684+684*841+841*413+413*139
+139*397+397*972+972*726+726*268
=2504603
⑤ 八个连读有序二位数平方之和H5都等3066320
H5=13^2+39^2+97^2+72^2
+26^2+68^2+84^2+41^2
=26^2+68^2+84^2+41^2
+13^2+39^2+97^2+72^2
=30320
⑥ 八个连读有序三位数平方之和H6都等3066320
H6=139^2+397^2
+972^2+726^2
+268^2+684^2+841^2+413^2
=268^2+684^2+841^2+413^2
+139^2+397^2+972^2+726^2
=3066320
… …
2) 前13976842后68421397的各种和都相同（计算同前省畧）
H1=225，H2=27225，H3=2440
H4=2767225，H5=30760，H6=3118760
… …
8) 前13976248后62481397的各种和都相同（计算同前省畧）
H1=195，H2=23955，H3=2116
H4=2439955，H5=30160；H6=3053360；
(3) 由顺时针连读的8组正四宫数与顺反时针连读的8组角四宫数组合而成的64组八宫数（前正/后角四宫数或前角/后正四宫数），都适用这个換位和不变规律。
2. 顺时针连读的8组交叉八宫数
(1) 换位前/后的交叉八宫数
1) 前16729438/后94381672
2) 前29438167/后81672943
3) 前94381672/后16729438
4) 前43816729/后67294381
5) 前38167294/后72943816
6) 前81672943/后29438167
7) 前67294381/后43816729
8) 前72943816/后38167294
(2) 换位前/后所有的和都不变
1) 前16729438/后94381672
① 八个连读有序两位数拆分积之和H1都等160
H1=1*6+6*7+7*2+2*9
+9*4+4*3+3*8+8*1
=9*4+4*3+3*8+8*1
+1*6+6*7+7*2+2*9=160
② 八个连读有序两位数乘积之和H2都等20760
H2=16*67+67*72
+72*29+29*94
+94*43+43*38+38*81+81*16
=94*43+43*38+38*81+81*16
+16*67+67*72+72*29+29*94
=20760
③ 八个连读有序三位数拆分积之和H3都等1800
H3=1*67+6*72+7*29+2*94
+9*43+4*38+3*81+8*16
=9*43+4*38+3*81+8*16
+1*67+6*72+7*29+2*94
=1800
④ 八个连读有序三位数乘积之和H4都等2120760
H4=167*672+672*729
+729*294+294*943
+943*438+438*381
+381*816+816*167
=943*438+438*381
+381*816+816*167
+167*672+672*729
+729*294+294*943
=2120760
⑤ 八个连读有序三位数平方之和H5都等2989460
H5=167^2+672^2
+729^2+294^2
+943^2+438^2+381^2+816^2
=943^2+438^2+381^2+816^2
+167^2+672^2+729^2+294^2
=2989460
… …
2) 前67294381/后43816729
所有的和都与前面相同（算法相同/省略）
… …
8) 前72943816/后38167294
所有的和都与前面相同（算法相同/省略）
(3) 反时针连读的8组交叉八宫数也适用这个换位和不变规律
3. 规律总结
(1) 由顺时针连读的8组正四宫数与顺反时针连读的8组角四宫数组合而成的64组八宫数（前正/后角四宫数或前角/后正四宫数），在正/角四宫数互换位置后，各组八宫数的各和值都保持不变。
(2) 顺反时针连读的8组交叉八宫数，在前/后四宫数互换位置后，各组八宫数的各和值都保持不变。
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