已知拋物線C:y^2=2px(x>0),AB是C的一條弦，|AB|=a>p,
（1）當AB是焦點弦時，求證：AB的橫座標x1、x2使x1、p/2、x2成等比數列；
（2）當AB不是焦點弦時，設AB與x軸交點的橫座標為x3,又AB的橫座標為x1、x2,求證：x1、x2、x3成等比數列；
（3）當弦AB的中點M距y軸最近時，求證：AB必是焦點弦。
如圖所示,拋物線y2=2px的焦點為F,設AF=x,BF=y,∠AFB=θ,則由余弦定理,有
a^2=x^2+y^2-2xycosθ,
此即
a^2=(x+y)^2-2xy(1+cosθ), ①
設MN=d,由梯形中位線長及拋物線定義,可見
d=(x+y-p)/2 ,即x+y=2d+p, ②
把②代入①得
(2d+p)^2-a^2=2xy(1+cosθ)≥0,
,取等號,當且僅當cosθ=-1,即A、B、F三點共線.
這時d≥(a-p)/2 .
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