近年來，初中數學動點問題在中考中出現的考點形式層出不窮，動點問題在中考數學中出現的頻率非常之高，難度也非常的大。很多考生看到動點相關問題就怕，不知道從何下手解決。因此，很多人就常常會問動點問題會考哪些內容？怎麼考等類似的問題。

專題綜述

為什麼初中數學的動點問題對同學們來講這麼難呢？首先，動點問題本身就是一個數學難點，其次，考試中的動點問題往往結合了幾何、函數等方面的知識，更是加深了題目難度。因此，很多同學在中考複習階段的時候會著重複習數學動點問題。

動點問題之所以會難，主要在於它能把很多知識內容結合在一起，形成不同類型的動點綜合問題，如函數動點綜合問題、代數動點綜合問題、函數與幾何動點綜合問題、幾何動點綜合問題等，而幾何動點綜合問題細分的話，又可以分出四邊形動點綜合問題、三角形動點綜合問題、與圓相關的動點綜合問題等。

受疫情影響，不少初三畢業班老師擔心，由於複習、預熱不足，今年的中考、高考總體成績可能會受到一定影響。為了能更好幫助大家戰勝動點類綜合問題，在中考數學中取得優異的成績，今天我們來看與圓相關的動點綜合問題，期待同學加練一下。

經典考題

1．（2020•瀘縣模擬）如圖，在⊙O中，弦AB＝8，點C在AB上移動，連接OC，過點C作CD⊥OC交⊙O於點D，則CD的最大值是（　　）

A．2 B．4 C．6 D．8

【解析】作OH⊥AB於H，連接OA、OD，如圖，

2．（2019秋•安徽期末）如圖，已知⊙O的半徑為5，P是直徑AB的延長線上一點，BP＝2，CD是⊙O的一條弦，CD＝6，以PC，PD為相鄰兩邊作平行四邊形PCED，當C、D點在圓周上運動時，線段PE長的最大值為（　　）

A．24 B．22 C．20 D．18

【解析】：連接OC．設CD交PE於點K，連接OK．

∵四邊形PCED是平行四邊形，

∴EK＝PK，CK＝DK，CD＝6，∴OK⊥CD，

在Rt△COK中，∵OC＝5，CK＝3，

∴由勾股定理可求得OK＝4，

∵OP＝OB+PB＝7，∴7﹣4≤PK≤7+4，

∴3≤PK≤11，∴PK的最小值為3，最大值為11，

∴PE的最大值為22，故選：B．

3．如圖，⊙O的半徑為2，弦AB的長為2√3，以AB為直徑作⊙M，點C是優弧AB上的一個動點，連結AC、BC分別交⊙M於點D、E，則線段CD的最大值為（　　）

A．√3 B．2 C．2√3 -2 D．4-2√3

【解析】：如圖：連接OM，OB，OA，BD．

則在Rt△OMB中，∵OB＝2，MB＝√3，∴OM＝1．

∵OB＝2，∴∠OBM＝30°．∴∠MOB＝60°．

連接OA．則∠AOB＝120°．∴∠C＝1/2∠AOB＝60°．

∵AB是直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠CDB＝90°，

∴∠CBD＝30°，∴CD＝1/2BC，

∴當BC取最大值時，CD最大．

如圖2，當BC是直徑時，BC最大，此時點A、D重合．即BC＝4．

∴CD最大＝2．故選：B．

4．（2019•黃埔區一模）如圖，定長弦CD在以AB為直徑的⊙O上滑動（點C、D與點A、B不重合），M是CD的中點，過點C作CP⊥AB於點P，若CD＝3，AB＝8，PM＝l，則l的最大值是______．

【解析】：方法一、延長CP交⊙O於K，連接DK，

則PM＝1/2DK，當DK過O時，DK最大值為8，PM＝1/2DK＝4，

方法二、連接CO，MO，

∵∠CPO＝∠CMO＝90°，

∴C，M，O，P，四點共圓，且CO為直徑（E為圓心），

連接PM，則PM為⊙E的一條弦，當PM為直徑時PM最大，所以PM＝CO＝4時PM最大．即PMmax＝4，

故答案為：4．

5．如圖，已知線段AB＝4，C為線段AB上的一個動點（不與點A，B重合），分別以AC、BC為邊作等邊△ACD和等邊△BCE，⊙O外接於△CDE，則⊙O半徑的最小值為_______．

【解析】：如圖，分別作∠A與∠B角平分線，交點為P．

∵△ACD和△BCE都是等邊三角形，∴AP與BP為CD、CE垂直平分線．

又∵圓心O在CD、CE垂直平分線上，則交點P與圓心O重合，即圓心O是一個定點．

連接OC．若半徑OC最短，則OC⊥AB．

又∵∠OAC＝∠OBC＝30°，AB＝4，∴OA＝OB，∴AC＝BC＝2，

∴在直角△AOC中，OC＝AC•tan∠OAC＝2×tan30°＝2√3/3．

故答案為2√3/3．

6．（2020•武漢模擬）如圖，在⊙O中，弦AB＝4√3，點C是弧AB上的動點（不為A，B），且∠ACB＝120°，則CA+CB的最大值為______．

【解析】：取優弧AB中點P，連接PC，PA，PB，延長CA至M，使MA＝CB，連接PM．

∵弧PA＝弧PB，∴PA＝PB，

∵∠APB+∠ACB＝180°，∠ACB＝120°，∴∠APB＝60°，

∴△APB是等邊三角形，∴∠ACP＝∠ABP＝60°，

∵∠PAM+∠PAC＝180°，∠PAC+∠PBC＝180°，∴∠PAM＝∠PBC，

∵AM＝BC，AP＝BP，∴△MAP≌△CBP（SAS），∴PM＝PC，

∵∠PCM＝60°∴△MPC為等邊三角形，

∴PC＝CM．∴CA+CB＝PC，

過點P作PD⊥AB連接OB，

∵△PAB是等邊三角形，∴PD過圓心O，∠BPD＝30°，

∴OB＝4，當PC為圓的直徑時，CA+CB的最大值為8．故答案為8．

7．（2020•瀘縣模擬）如圖，已知直線y＝4/3x﹣3與x軸、y軸分別交於A，B兩點，P是以C（0，1）為圓心，1為半徑的圓上一動點，連接PA，PB，當△PAB的面積最大時，點P的座標為_______．

【解析】：過C作CM⊥AB於M，交x軸於E，連接AC，MC的延長線交⊙C於D，作DN⊥x軸於N，

∵直線y＝4/3x﹣3與x軸、y軸分別交於A，B兩點，

∴A（4，0），B（0，﹣3），

8．（2019秋•興國縣期末）在平面直角座標系中，直線y＝x﹣2與x軸、y軸分別交於點B、C，半徑為1的⊙P的圓心P從點A（4，m）出發以每秒√2√個單位長度的速度沿射線AC的方向運動，設點P運動的時間為t秒，則當t＝_________秒時，⊙P與座標軸相切．

【解析】：設⊙P與座標軸的切點為D，

∵直線y＝x﹣2與x軸、y軸分別交於點B、C，點A（4，m），

∴x＝0時，y＝﹣2，y＝0時，x＝2，x＝4時，y＝2，

∴A（4，2），B（2，0），C（0，﹣2），

∴AB＝2√2，AC＝2√2，OB＝OC＝2，

∴△OBC是等腰直角三角形，∠OBC＝45°，

①當⊙P與x軸相切時，

∵點D是切點，⊙P的半徑是1，∴PD⊥x軸，PD＝1，

∴△BDP是等腰直角三角形，∴BD＝PD＝1，PB＝√2，

∴AP＝AB﹣PB＝√2，

∵點P的速度為每秒√2個單位長度，∴t＝1；

②如圖，⊙P與x軸和y軸都相切時，

∵PB＝√2，∴AP＝AB+PB＝3√2，

∵點P的速度為每秒√2個單位長度，∴t＝3；

③當點P只與y軸相切時，

∵PB＝√2，∴AP＝AC+PB＝5√2，

∵點P的速度為每秒√2個單位長度，∴t＝5．

綜上所述，則當t＝1或3或5秒時，⊙P與座標軸相切，

故答案為：1或3或5．

9．（2019秋•錫山區期末）【問題發現】如圖1，半圓O的直徑AB＝10，點P是半圓O上的一個動點，則△PAB的面積最大值是______-；

【問題探究】如圖2所示，AB、AC、弧BC是某新區的三條規劃路，其中AB＝6km，AC＝3km，∠BAC＝60°，弧BC所對的圓心角為60°．新區管委會想在弧BC路邊建物資總站點P，在AB、AC路邊分別建物資分站點E、F，即分別在弧BC、線段AB和AC上選取點P、E、F．由於總站工作人員每天要將物資在各物資站點間按P→E→F→P的路徑進行運輸，因此，要在各物資站點之間規劃道路PE、EF和FP．顯然，為了快捷環保和節約成本，就要使線段PE、EF、FP之和最短（各物資站點與所在道路之間的距離、路寬均忽略不計）．可求得△PEF周長的最小值為______　km；

【拓展應用】如圖3是某街心花園的一角，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，OA＝12米，在圍牆OA和OB上分別有兩個入口C和D，且AC＝4米，D是OB的中點，出口E在弧AB上．現準備沿CE、DE從入口到出口鋪設兩條景觀小路，在四邊形CODE內種花，在剩餘區域種草．

①出口E設在距直線OB多遠處可以使四邊形CODE的面積最大？最大面積是多少？（小路寬度不計）

②已知鋪設小路CE所用的普通石材每米的造價是200元，鋪設小路DE所用的景觀石材每米的造價是400元．

請問：在弧AB上是否存在點E，使鋪設小路CE和DE的總造價最低？若存在，求出最低總造價和出口E距直線OB的距離；若不存在，請說明理由．

【解析】【問題發現】如圖1，點P運動至半圓O的中點時，底邊AB上的高最大，即P'O＝r＝5，

此時△PAB的面積最大值，∴S△P'AB＝1/2×10×5＝25，

故答案為：25；

【問題探究】如圖2，假設P點即為所求，分別作點P關於AB、AC的對稱點P'、P''，連接PP'，分別交AB、AC於點E、F，連接PE，PF，

由對稱性可知，PE+EF+PF＝P'E+EF+FP''＝P'P''，且P'、E、F、P''在一條直線上，∴P'P''即為最短距離，其長度取決於PA的長度，

作出弧BC的圓心O，連接AO，與弧BC交於P，P點即為使PA最短的點，

∵AB＝6，AC＝3km，∠BAC＝60°，

∴△ABC是直角三角形，∠ABC＝30°，BC＝3√3，

∵BC所對的圓心角為60°，

∴△OBC是等邊三角形，∠CBO＝60°，BO＝BC＝3√3，

∴∠ABO＝90°，AO＝3√7，PA＝3√7﹣3√3，

∵∠P'AE＝∠EAP，∠PAF＝∠FAP''，

∴∠P'AP''＝2∠ABC＝120°，P'A＝AP''，

∴∠AP'E＝∠AP''F＝30°，

∵P'P''＝2P'A•cos∠AP'E＝√3P'A＝3√21﹣9，

∴△PEF周長的最小值為3√21﹣9；

【拓展應用】①如圖3﹣1，作OG⊥CD，垂足為G，延長OG

交弧AB於點E′，則此時△CDE的面積最大，

∵OA＝OB＝12，AC＝4，點D為OB的中點，∴OC＝8，OD＝6，

在Rt△COD中，CD＝10，OG＝4.8，∴GE′＝12﹣4.8＝7.2，

∴出口E設在距直線OB的7.2米處可以使四邊形CODE的面積最大為60平方米；

②鋪設小路CE和DE的總造價為200CE+400DE＝200（CE+2DE），

如圖3﹣2，連接OE，延長OB到點Q，使BQ＝OB＝12，連接EQ，

10．（2020•福清市模擬）如圖，B，E是⊙O上的兩個定點，A為優弧BE上的動點，過點B作BC⊥AB交射線AE於點C，過點C作CF⊥BC，點D在CF上，且∠EBD＝∠A．

（1）求證：BD與⊙O相切；

（2）已知∠A＝30°．

①若BE＝3，求BD的長；

②當O，C兩點間的距離最短時，判斷A，B，C，D四點所組成的四邊形的形狀，並說明理由．

【解析】（1）證明：如圖1，作直徑BG，連接GE，

則∠GEB＝90°，∴∠G+∠GBE＝90°，

∵∠A＝∠EBD，∠A＝∠G，∴∠EBD＝∠G，

∴∠EBD+∠GBE＝90°，∴∠GBD＝90°，

∴BD⊥OB，∴BD與⊙O相切；

（2）解：如圖2，連接AG，

∵BC⊥AB，∴∠ABC＝90°，

由（1）知∠GBD＝90°，∴∠GBD＝∠ABC，

∴∠GBA＝∠CBD，

又∵∠GAB＝∠DCB＝90°，∴△BCD∽△BAG，

∴∠OMB＝60°，∴MC＝MB，∴∠MDC＝∠MCD＝30°＝∠A，

∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴∠ABC＝∠DCB＝90°，

∴AB∥CD，∴∠A+∠ACD＝180°，∴∠BDC+∠ACD＝180°，

∴AC∥BD，∴四邊形ABCD為平行四邊形．

11．（2019秋•工業園區期末）如圖①，在矩形ABCD中，BC＝60cm．動點P以6cm/s的速度在矩形ABCD的邊上沿A→D的方向勻速運動，動點Q在矩形ABCD的邊上沿A→B→C的方向勻速運動．P、Q兩點同時出發，當點P到達終點D時，點Q立即停止運動．設運動的時間為t（s），△PDQ的面積為S（cm2），S與t的函數圖象如圖②所示．

（1）AB＝______cm，點Q的運動速度為______cm/s；

（2）在點P、Q出發的同時，點O也從CD的中點出發，以4cm/s的速度沿CD的垂直平分線向左勻速運動，以點O為圓心的⊙O始終與邊AD、BC相切，當點P到達終點D時，運動同時停止．

①當點O在QD上時，求t的值；

②當PQ與⊙O有公共點時，求t的取值範圍．

【解析】本題考查了矩形的性質，二次函數的圖象及性質，切線的性質等，綜合性強，解題關鍵是能夠根據題意畫出圖形並能夠用含字線母的代數式正確的將相關線段的長表示出來等．

（1）設點Q的運動速度為a，則由圖②可看出，當運動時間為5s時，△PDQ有最大面積450，即此時點Q到達點B處，

∵AP＝6t，∴S△PDQ＝1/2（60﹣6×5）×5a＝450，

∴a＝6，∴AB＝5a＝30，故答案為：30，5；

（2）①如圖1，設AB，CD的中點分別為E，F，當點O在QD上時，

QC＝AB+BC﹣6t＝90﹣6t，OF＝4t，

∵OF∥QC且點F是DC的中點，

∴OF＝1/2QC，即4t＝1/2（90﹣6t），解得，t＝45/7；

②設AB，CD的中點分別為E，F，⊙O與AD，BC的切點分別為N，G，過點Q作QH⊥AD於H，

如圖2﹣1，當⊙O第一次與PQ相切於點M時，

∵AH+AP＝6t，AB+BQ＝6t，且BQ＝AH，

∴HP＝QH＝AB＝30，∴△QHP是等腰直角三角形，

∵CG＝DN＝OF＝4t，

∴QM＝QG＝90﹣4t﹣6t＝90﹣10t，PM＝PN＝60﹣4t﹣6t＝60﹣10t，

∴QP＝QM+MP＝150﹣20t，

∵QP＝√2QH，∴150﹣20t＝30√2，∴t＝(15-3√2)/2；

如圖2﹣2，當⊙O第二次與PQ相切於點M時，

∵AH+AP＝6t，AB+BQ＝6t，且BQ＝AH，

∴HP＝QH＝AB＝30，

∴△QHP是等腰直角三角形，

∵CG＝DN＝OF＝4t，

∴QM＝QG＝4t﹣（90﹣6t）＝10t﹣90，

PM＝PN＝4t﹣（60﹣6t）＝10t﹣60，

∴QP＝QM+MP＝20t﹣150，

方法總結

動態幾何特點----問題背景是特殊圖形，考查問題也是特殊圖形，所以要把握好一般與特殊的關係；分析過程中，特別要關注圖形的特性（特殊角、特殊圖形的性質、圖形的特殊位置。）動點問題一直是中考熱點，近幾年考查探究運動中的特殊性,如線段或面積的最值。

與圓相關的動點綜合問題具有題型繁多、題意創新等鮮明特點，要想正確解決此類題型，考生必須要不斷提高分析問題和解決問題的能力，如空間觀念、應用意識、推理能力等。問題會以一些幾何知識和具體的幾何圖形為背景，在幾何圖形中滲透運動變化的觀點，通過點、線、形的運動，圖形的平移、翻折、旋轉等等把圖形的有關性質和圖形之間的數量關係和位置關係看作是在變化的、相互依存的狀態之中。

從數學思想的層面上講：（1）運動觀點；（2）方程思想；（3）數形結合思想；（4）分類思想；（5）轉化思想等．研究歷年來各省市的壓軸性試題，就能找到今年中考數學試題的熱點的形成和命題的動向，它有利於我們教師在教學中研究對策，把握方向。

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關鍵字: 體育 初中數學 中考