引言
本文既是对2019-12-02发的《圆的面积公式，是从数学上的严格证明，还是一种数学直觉？》这篇文章断言六的补充说明，也可以当成阿基米德对“比较两条曲线长度”的解读。
(本文讨论的背景是两千多年前的阿基米德关于原的面积和周长的理论，不涉及近代数学新出现的知识和理论。）
在微积分发明之前，曲线段的长度是不易准确测量的。理论上，在二维平面有限封闭区域内，可以存在无穷长度的连续曲线。
雪花面积虽小，周长却很大
如何比较两段曲线的长度，似乎是个难题，“几何之父”欧几里得也尽量避开讨论曲线长度，在当时圆的周长只是个近似值。“在什么条件下，我们可以判断一条曲线比另一条更长或更短？”阿基米德虽然在《圆的测定》中没有给出解释，但是在《论球与原著Ⅰ》的介绍中，他得出两个引理。本文着重介绍这两个引理，也刚好补充解释前文中断言六。
一、两个引理，两条可能的路径（曲线）最简单的比较
引理1：两点间的直线段短于任何其它连接此两点路路径。
两点间的直线段短于任何其它连接此两点的路径
解释：
阿基米德只是提出引理，并未对引理做出过多的提示或解释。或许他认为比较简单，没有必要做出说明，甚至在《圆的测定》中提都没提。
解释基于：三角形任意一边小于另外两边之和。
如图，易知：
由归纳法（欧几里得已经在非正式基础上熟悉归纳法）可知引理1。
引理2：给定两点A和B。假设有两条从A到B的凹路径都处于线段AB的同一边，若其中一条路径处于另一条路径和线段AB之间，则它的长度更短。
同为凹路径，离线段越近，则越短
解释：
①情形1，内部路径由两条线段组成。
我们需要证明内部路径AQ1B长小于外部路径AP1P2B长。
证明：
又由引理1知
故:
证毕。
②情形2，内部路径由两条以上线段组成。
上述为内部路径是两条线段的情形。更广泛的，如下图示，对内部路径的线段数使用数学归纳法即可。
③其他情况。
前面仅讨论内部路径是凹的情况先得出的结论，对于内部路径是凸的情况也同样适用。如：
当内部路径凹凸性不一致的时候，上述结论不成立。如：
当内部路径有凹又有凸的时候，内部路径长度有可能大于外部路径长度，也有可能小于外部路径长度 。
有了这两个引理，我们重新对前文提到的断言做出进一步的解释。
二、任意圆内接正多边形的面积小于定义三角形的面积
注：定义三角形为两条直角边长分别为该圆半径和周长的三角形。
前文回顾。
上篇文章，我们讨论了阿基米德对于圆的面积公式的证明，即：
任意圆的面积，与两条直角边长分别为该圆半径和周长的直角三角形的面积相等。
图1，圆的面积等于定义三角形的面积
在证明过程中，用到了一个断言“定义三角形的面积小于圆外切正N边形的面积。”当时未对这个断言做出详细解释，有网友留言询问，所以在这里做出解释。
如图，对于任意圆外切正多边形，做圆心与多边形相邻两切点的连线OA、OB，连接AB。
根据引理2：
弧AB和折线APB都处于线段AB的同一侧，弧AB的凹凸性一致，且处于折线APB与线段AB之间，则弧AB长度比折线APB的长度更短。
即： 弧AB长 参考图1，可知扇形OAB转换为直角三角形OAB，直角边AB长与弧AB长相等。四边形OAPB可拼接成等腰三角形OPP'，其中PP'=2AP。 所以三角形OAB的面积小于三角形OPP'的面积。 推广到整个图形有定义三角形的面积小于圆外切正N边形的面积。 引理2里仅对两条线段组成的路径进行了证明，两条以上的线段证明需要用到归纳法。但是当路径为光滑曲线时，需将曲线看成无穷多个线段组成，显然这就是我们今天极限的思想，也是微积分的基础。 本文参考Bill Casselman(加拿大温哥华英属哥伦比亚大学)文章《阿基米德与圆周长圆面积》。
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