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![数学七下,第一章,平行线的判定,典型例题 - 口袋数学](http://p2.ttnews.xyz/loading.gif)
01 类型一、平行线及平行公理
【例1】下列说法中正确的有 ( ) .
①一条直线的平行线只有一条;②过一点与已知直线平行的直线只有一条;③因为a∥b,c∥d,所以a∥d;④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.
A.1个 B 2个 C.3个 D.4个
【答案】 A
【解析】一条直线的平行线有无数条,故①错;②中的点在直线外还是在直线上位置不明确,所以②错,③中b与c的位置关系不明确,所以③也是错误的;根据平行公理可知④正确,故选A.
【总结升华】本题主要考察的是“平行公理及推论”的内容,要正确理解必须要抓住关键字词及其重要特征,在理解的基础上记忆,在比较中理解.
举一反三:
![数学七下,第一章,平行线的判定,典型例题 - 口袋数学](http://p2.ttnews.xyz/loading.gif)
【变式】如图,在正方体中:
(1)与线段AB平行的线段_________;
(2)与线段AB相交的线段______;
(3)与线段AB既不平行也不相交的线段______.
【答案】
(1)CD、A1B1、C1D1;
(2)BC、BB1、A1A、AD;
(2)A1D1、D1D 、B1C1、CC1.
【例2】如图所示,直线l1∥l2,点A、B在直线l2上,点C、D在直线l1上,若△ABC的面积为S1,△ABD的面积为S2,则( ) .
A.S1>S2 B.S1=S2 C.S1<S2 D.不确定
【答案】B
【解析】因为l1∥l2,所以C、D两点到l2的距离相等.同时△ABC和△ABD有共同的底AB,所以它们的面积相等.
【总结升华】三角形等面积问题常与平行线间距离处处相等相结合.
举一反三:
【变式】如图,在两个一大一小的正方形拼成的图形中,小正方形的面积是10平方厘米,阴影部分的面积为 平方厘米.
【答案】5 提示:连接BF,则得AC∥BF,进而有S阴影=S△ABC .
【例3】下面两条平行线之间的三个图形,图 ③的面积最大,图 ②的面积最小.
【思路点拨】两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形,每个三角形的面积是拼成的平行四边形面积的一半;两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形,每个梯形的面积是拼成的平行四边形面积的一半.因为高相同,所以可以通过比较平行四边形的底的长短,得出平行四边形面积的大小.
【答案】图3,图2
【解析】
解:因为它们的高相等,三角形的底是8,8÷2=4,梯形的上、下底之和除以2,(2+7)÷2=4.5;5>4.5>4;
所以,图3平行四边形的面积最大,图2三角形的面积最小.
【总结升华】根据平行线的性质,得出梯形、三角形、平行四边形的高相等,求出三角形底的一半,梯形上、下底之和的一半,与平行四边形的底进行比较,由此得出正确答案.
举一反三:
【变式】下图是一个方形螺线.已知相邻均为1厘米,则螺线总长度是 厘米.
【答案】35
02 类型二、平行线的判定
【例4】(江苏)如图所示,直线a、b被直线c所截,现给出下列四个条件:
①∠1=∠5; ②∠1=∠7; ③∠2+∠3=180°; ④∠4=∠7,其中能判断a∥b的条件的序号是 ( ).
A.①② B.①③ C.①④ D.③④
【思路点拨】根据平行线的判定方法进行判断.
【答案】A
【解析】①由∠1=∠5可推出a∥b,理由是同位角相等,两直线平行.
②∵ ∠1=∠7,又∠7=∠5,
∴ ∠1=∠5,可推出a∥b.
③∠2+∠3=180°不能推出a∥b.
④∠4=∠7不能推出a∥b.
【总结升华】从题目的结论出发分析所要说明的结论能成立,必须具备的是哪些条件,再看这些条件成立又需具备什么条件,直到追溯到已知条件为止.
举一反三:
【变式1】如图,下列条件中,不能判断直线
的是( ).
A.∠1=∠3 B.∠2=∠3 C.∠4=∠5 D.∠2+∠4=180°
【答案】B
【变式2】已知,如图,BE平分ÐABC,CF平分ÐBCD,Ð1=Ð2,求证:AB//CD.
【答案】
证明:∵ Ð1=Ð2
∴ 2Ð1=2Ð2 ,即∠ABC=∠BCD
∴ AB//CD (内错角相等,两直线平行)
【例5】.如图所示,由(1)∠1=∠3,(2)∠BAD=∠DCB,可以判定哪两条直线平行.
【思路点拨】试着将复杂的图形分解成“基本图形”.
【答案与解析】
解:(1)由∠1=∠3,
可判定AD∥BC(内错角相等,两直线平行);
(2)由∠BAD=∠DCB,∠1=∠3得:
∠2=∠BAD-∠1=∠DCB-∠3=∠4(等式性质),即∠2=∠4
可以判定AB∥CD(内错角相等,两直线平行).
综上,由(1)(2)可判定:AD∥BC,AB∥CD.
【总结升华】本题探索结论的过程采用了“由因索果”的方法.即在条件下探索由这些条件可推导出哪些结论,再由这些结论推导出新的结论,直到得出结果.
【例6】在同一平面内,如果两条直线都垂直于同一条直线,那么这两条直线平行吗?为什么?
【答案与解析】
解:这两条直线平行.理由如下:
如图:
∵ b⊥a, c⊥a
∴ ∠1=∠2=90°
∴ b∥c (同位角相等,两直线平行) .
【总结升华】本题的结论可以作为两直线平行的判定方法.
举一反三:
【变式】已知,如图,EF^EG,GM^EG,Ð1=Ð2,AB与CD平行吗?请说明理由.
【答案】
解:AB∥CD.理由如下:如图:
∵ EF^EG,GM^EG (已知),
∴ ∠FEQ=∠MGE=90°(垂直的定义).
又∵ ∠1=∠2(已知),
∴ ∠FEQ -∠1=∠MGE -∠2 (等式性质),
即∠3=∠4.
∴ AB∥CD (同位角相等,两直线平行).
【例7】 如图,给出下列四个条件:(1)AC=BD;(2)∠DAC=∠BCA;(3)∠ABD=∠CDB;(4)∠ADB=∠CBD,其中能使AD∥BC的条件有 ( ).
A.(1)(2) B.(3)(4) C.(2)(4) D.(1)(3)(4)
【思路点拨】欲证AD∥BC,在图中发现AD、BC被一直线所截,故可按同位角相等、内错角相等、同旁内角互补,两直线平行补充条件.
【答案】C
【解析】从分解图形入手,即寻找AD、BC的截线.
【总结升华】从题目的结论出发分析所要说明的结论能成立,必须具备的是哪些条件,再看这些条件成立又需具备什么条件,直到追溯到已知条件为止.
举一反三:
【变式】一个学员在广场上驾驶汽车,两次拐弯后,行驶的方向与原来的方向相同,这两次拐弯的角度可能是( )
A.第一次向左拐30°,第二次向右拐30°
B.第一次向右拐50°,第二次向左拐130°
C.第一次向右拐50°,第二次向右拐130°
D.第一次向左拐50°,第二次向左拐130°
【答案】A
提示:“方向相同”有两层含义,即路线平行且方向相同,在此基础上准确画出示意图.
图B显然不同向,因为路线不平行.
图C中,∠1=180°-130°=50°,路线平行但不同向.
图D中,∠1=180°-130°=50°,路线平行但不同向.
只有图A路线平行且同向,故应选A.
03 类型三、图形的平移
【例8】如图所示,平移△ABC,使点A移动到点A′,画出平移后的△A′B′C′.
【思路点拨】平移一个图形,首先要确定它移动的方向和距离,连接AA′后这个问题便获得解决.根据平移后的图形与原来的图形的对应线段平行(或在一条直线上)且相等,容易画出所求的线段.
【答案与解析】
解:如图所示,
(1)连接AA′,过点B作AA′的平行线l,在l上截取BB′=AA′,则点B′就是点B的对应点.
(2)用同样的方法做出点C的对应点C′,连接A′B′、B′C′、C′A′,
就得到平移后的三角形A′B′C′.
【总结升华】平移一个图形,首先要确定它移动的方向和距离.连接AA′,这个问题就解决了,然后分别把B、C按AA′的方向平移AA′的长度,便可得到其对应点B′、C′,这就是确定了关键点平移后的位置,依次连接A′B′,B′C′,C′A′便得到平移后的三角形A′B′C′.
【例9】(湖南益阳)如图所示,将△ABC沿直线AB向右平移后到达△BDE的位置,若
∠CAB=50°,∠ABC=100°,则∠CBE的度数为________.
【答案】30°
【解析】根据平移的特征可知:∠EBD=∠CAB=50°而∠ABC=100°
所以∠CBE=180°-∠EBD-∠ABC=180°-50°-100°=30°
【总结升华】图形在平移的过程有“一变两不变”、“一变”是位置的变化,“两不变”是形状和大小不变.本例中由△ABC经过平移得到△BED.则有AC=BE,AB=BD,BC=DE,∠A=∠EBD,∠C=∠E,∠ABC=∠BDE.
举一反三:
【变式】 (上海静安区一模)如图所示,三角形FDE经过怎样的平移可以得到三角形ABC( ).
A.沿EC的方向移动DB长
B.沿BD的方向移动BD长
C.沿EC的方向移动CD长
D.沿BD的方向移动DC长
【答案】A
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