想想一下下面這個式子：
(1)
這個是我們已經認識的導數表示形式，它標識F(x)的導數等於2x。那麼能想象一下F(x)等於多少嗎？
逆微分運算
這並不會難倒我們：
(2)
沒錯這很簡單，而且再仔細思考我們還會發現在(2)式右面加個常數似乎也並不會改變它對應導數的值：
然後我們更進一步把那些看似隨意的常數改寫為：
（3）
c是個任意的值,(3)的導數同樣是等於2x的，因為常數的導數為0。這樣我們便總結出了下面一個定理：
如果F(x)和G(x)在同一個區間上具有相同的導數，那麼F(x)和G(x)便會相差一個常數，也就是說存在一個常數c使得任意x在這個區間上具有如下性質：
(4)
那麼怎麼證明這個說法是正確的呢？我們可以從導數的運算法則去考慮這個問題：
也就是說G(x)-F(x)應該是一個常數，以此來滿足導數為0的結果。因此可驗證這個定理的正確性。
不定積分有多少
由上面所敘述的情況，我們可以知道，如果F(x)和f(x)給定，並且：
（5）
那麼我們說F(x)是f(x)的一個不定積分，並且這個找出不定積分的過程叫做
積分運算，而且我們也意識到f(x)的不定積分應該有無窮多個，他們之間相差一個常數，我們可以統統表示為：
第一個不定積分
在歷史上，萊布尼茨把(5)中f(x)的不定積分表示為：
它讀作f(x)dx的不定積分，這是不定積分的標準表達式，而且我們注意到f(x)dx是F(x)的微分形式的一部分，我們在後面將會認識到微分表示形式將會給積分計算帶來無以言表的便利。
既然知道積分和導數是相互反向的運算，我們可以在沒有積分計算法則的條件下嘗試一下冪函數不定積分公式的推導：
這樣最後這個公式就符合我們追求完美的變態態度了，給定一個冪函數，我們就可以找出它對應的所有不定積分。
我們是模擬萊布尼茨當時研究微積分時的角度去對知識做嘗試性的探索和發現的，這樣比較符合人類認識和理解事物的特徵，留下的印象也會比較深刻，一旦將來有所遺忘，也能順著這個思路自己把知識推導出來。
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