本文授權轉載自公眾號：中科院物理所（ID:cas-iop）丨作者：Patrick Honner丨翻譯：Nothing丨審校：Nuor
假設你聽到了一個有趣的謠言，你會忍不住把它告訴別人。但是由於你討厭造謠者，所以你只會告訴一個人，然後閉嘴。這沒什麼大不了的，對吧？畢竟，如果你告訴的人採取同樣的策略：只告訴另一個人然後閉嘴，流言蜚語就不會傳播太遠。如果每天都有一個新人聽到這個謠言，30天后，包括你在內謠言也只會傳播給31個人。
如果每個人告訴兩個人會是什麼情形？結果很糟糕。如果每個當天聽到謠言的人第二天都會告訴兩個新的人，那麼30天后，謠言受眾將達到世界人口的四分之一以上（確切地說，為2,147,483,647人）。這麼一個看似微不足道的改變——告訴兩個人而不是一個人——怎麼會引起這麼大的不同呢？答案在於變化的速度。
在第一種情況下，謠言每天都會傳遞給同樣數量的人。今天、明天、後天等等都是這樣，這意味著每天聽到謠言的新人數量是恆定的。在我們的例子中，這個數字是1。
但如果謠言每天新傳播到的人數是昨天的兩倍，那麼新的謠言接收者的數量就會呈現出指數式增長：第一天有兩個新的人聽到謠言，第二天就有四個新的人聽到謠言，第三天就有八個新的人聽到謠言，以此類推。在第30天，將有高達 2^30 名新人聽到這一謠言。
為什麼場景一和場景二之間有巨大的差異？這都與線性和指數函數有關。線性函數的特點是變化率恆定，就像每天有一個新人聽到謠言一樣。線性增長是緩慢而穩定的，每次增長的數量都一樣。另一方面，指數函數的特點是變化率急劇增加：兩個新的人聽到謠言，然後四個新的人，然後八，然後十六，等等。與線性增長不同，對於指數增長，它的速度也在加速——增長量本身也在持續增加。
這是30天后聽到謠言人數為31人和聽到謠言的人數為20億人之間的區別。而這個差別僅僅來自於每個聽到謠言的人把謠言傳播給一個人還是兩個人。
圖中顯示了每天知曉該謠言的人數。綠色（告訴一個人的）的線性函數幾乎是水平的，而藍色（兩個人的）的指數函數則垂直超過了20億。
這個基本的數學模型揭示了一種特殊增長類型的本質，這種增長對謠言的影響遠遠大於謠言的傳播。和所有的基本模型一樣，它忽略或簡化了許多複雜的因素，例如傳播的可能性和總人口的規模，但它是一個很好的出發點，我們可以從這個點開始探索思想是如何傳播的，人口是如何增長的，以及疾病是如何傳播的。
傳染病的傳播方式與謠言的傳播方式幾乎相同：有人感染它並把它傳給其他人。當然，兩者也是有區別的，但是基本數學模型在這兩種情況下都是適用的。在我們涉及謠言的簡單例子中，我們看到了謠言傳播率微小的差異如何在最終聽到謠言的人數中產生巨大的差異。在傳染病方面也是如此：把傳染病傳染給一個人和傳染給兩個人之間的差別，可能是個別人得病和大瘟疫之間的差別。
每種傳染病在一個區域的傳播速度取決於一組獨特的生物、環境和社會因素。流行病學家試圖總結所有這些因素在感染的“基本傳染數”中的影響，
基本傳染數是每個感染者預期會產生的新感染者的平均數，用R0表示。在我們上面的謠言例子中，基本傳染數是R0=1（每個人把謠言傳播給另外一個人）和R0=2（每個人把謠言傳播給另外兩個人）；“傳染期”是一天。下面是一些著名傳染病的基本傳染數：
注意，這些疾病的感染數都大於一。
這在一定程度上是造成這些疾病如此危險的原因：由於每個感染者平均會感染超過一個人，因此感染這種疾病的人數將呈指數增長。這可能會對人口造成毀滅性的影響。但是我們能把一種疾病的有效傳染數 R 降低到 1 嗎？*【注】在這裡區別兩個概念： 基本傳染數 R0 和 有效傳染數 R 。基本傳染數是每個感染者預期會產生的新感染者的平均數，有效傳染數是在基本傳染數的基礎上，考慮到防疫措施之後產生新感染者平均數的結果。在實際防疫過程之中，疫情是否可以得到控制，取決於有效傳染數是否可以持續小於 1。在這裡為了更好了解降低傳染病的方式，放在一起進行說明。
如果我們進一步瞭解哪些因素導致感染的 R ，我們就可以開始開發干預措施來阻斷傳播。傳染病在大城市地區爆發的頻率更高，因為居住在擁擠城市的個人有更多的機會傳播感染：他們只是接觸更多的人，遇到缺乏免疫力的人的可能性更高。
為了在流行病期間打破這一傳播鏈，衛生當局可以採取隔離（使受感染者遠離他人）甚至自我隔離（使接觸過感染者但自己尚未患病的個人遠離他人）等干預措施。
其他影響 R 的因素包括宿主和微生物。當感染者與易感者接觸時，微生物傳播的可能性有多大？通常，宿主可以通過他們的行為降低傳播的可能性：通過在咳嗽或打噴嚏時掩住口鼻來遏制通過飛沫等傳播的疾病，通過頻繁洗手遏制通過接觸傳播的疾病。
我們還可以通過醫療手段降低 R ，這就是疫苗發揮作用的地方。當接種疫苗時，個體會對疾病產生抵抗力：疫苗抵抗疾病成功率各不相同，但為了簡單起見，我們假設接種疫苗能提供對疾病的完全免疫。接種疫苗直接有利於接種了疫苗的個人，但也間接有利於更廣泛的人口。如果一個社區的許多人接種了疫苗預防某種疾病，這種疾病就不會傳播得那麼快。
實際上，廣泛接種疫苗有助於減少疾病的有效傳染數。如果有足夠的人接種疫苗，有效傳染數實際上可以減少到一，確保疾病只會以線性速度傳播。那麼，有多少人需要接種疫苗才能使一種疾病的有效傳染數（只考慮到接種疫苗的情況下）降到 1 ？
讓我們想想有效傳染數到底告訴了我們什麼。考慮R0=2的流感流行。這意味著一個感染者平均會感染兩個新人。這個數字R0=2為我們提供了很多信息：
疾病傳播的難易程度、感染期的長短以及在給定時間段內與被傳染者接觸的平均人數。通過解析這個數字，我們可以很容易地看到疫苗是如何降低R的。假設一個感染了R0=2的流感病毒的人在感染時會遇到另外10個人。我們可以把它描繪成一個圖表，中間是綠色的感染者，箭頭指向每一個遇到的人。
每個接觸過的人都有機會感染流感，R0=2意味著，平均來說，這10個人中有2個人會感染流感。
一般來說，我們可以說每個人都有 2/10 的概率感染，即20%的機會感染這種疾病。
但假設這10個人中有兩個接種了流感疫苗。假設疫苗能完全抵抗這種病毒，這意味著感染不能傳染給他們。但剩下的8個人中，每一個人仍有20%的機會被感染。這意味著，10個人中平均有0.2×8，即1.6人會被感染。
因此，如果每10人中有2人接種了疫苗，那麼平均每一個患者只能感染這十人中的1.6人。該疫苗有效地將該病的有效傳染數從R=2減少到R=1.6。那麼，我們如何將有效傳染數降到1，以避免指數增長呢？
再一次，我們假設我們最初的感染者在感染期內接觸到10個人，並且每個未接種疫苗的人有20%的機會被感染。現在，假設這10個人中有Ｖ個人接種了疫苗。我們預計，平均而言，10-V未接種疫苗的個人中有20%將受到感染。為了使增長呈線性而不是指數增長，我們需要新感染的平均數為1。因此，我們需要解方程：0.2×（10-V）=1。
運算表明V=5是方程的解。所以讓我們看看當10個接觸的人中有5個接種了疫苗時會發生什麼；我們將在下面的圖表中將他們塗成藍色。
疫苗把這五個人從圖中去掉，因為疾病不能傳染給他們。
現在剩下的五個人中的每一個人仍然有20%的機會被感染，所以平均來說他們中的一個人會感染這種疾病。這意味著在最初接觸的10人中，只有一人感染：因此，通過每10人接種5人疫苗，我們有效地將這種疾病的R降低到1。
這個過程可以推廣到任何有效感染數R。如果我們假設每個感染者在每個感染期接觸N個新的人，那麼我們可以平均預期這些人中的R0/N會被感染。但如果V是接觸的N個接種者的數量，那麼
代表新增感染數，我們想讓其等於1，因此有
解決 V/N 得多少的問題是有意義的，因為 V/N 代表人口中接種疫苗的個人的總百分比，每N個人中就有 V 接種疫苗。計算可得：
這意味著，如果接種疫苗的人在普通人群中的比例為1-1/R0，那麼，平均而言，每個感染者只會感染一個新的人。因此，1-1/R0是導致疾病線性而非指數增長的百分比。
在這一接種比例上，即接種疫苗的人在普通人群中的比例為1-1/R0，
一個群體對一種疾病實現了一種集體免疫：不是對被感染的個人的免疫，而是對疾病以指數速度在人群中傳播的免疫。這一特性被稱為“群體免疫”。群體中實現群體免疫所需的疫苗接種百分比被稱為“群體免疫閾值”（HIT）。以下是一些針對各種疾病的ＨＩＴ。
顯然，接種疫苗預防疾病不僅對接種疫苗的個人，而且對社區都有潛在的好處。 當達到群體免疫的閾值時，疾病在人群中傳播的速度保持在足夠低的水平，這樣可以避免潛在的災難。廣泛的疫苗接種將一個類似於左邊的模式，其中有許多疾病在人群中傳播的潛在途徑，變成更類似於右邊的模式，較少的途徑會導致增長放緩，並減少爆發流行病的機會。
群體免疫的一個重要特點是，它同樣有利於群體中未接種疫苗的個體。由於這種疾病不太可能廣泛傳播，每個人的風險都較低，包括那些未接種疫苗的人。這對於那些嬰兒、老人和體弱的人尤為重要。雖然我們假設接種疫苗是100%有效的，但即使沒有，群體免疫的好處也可以實現：即使接種效果不到100%，廣泛接種仍然會減少每個感染者新感染的平均數量，從而降低疾病的有效傳染數。
我們已經看到線性增長和指數增長之間的巨大差異。當涉及到疾病傳播時，它實際上是一個生死攸關的問題。人群隔離，疫苗接種和群體免疫很重要，所以快告訴你的朋友，當然，最好告訴兩個。
閱讀更多 康途健康管理諮詢 的文章
