视角决定视野,思路决定出路,方法决定效率,过程决定结果。
比如下面的图形,你可以看成是静止的、孤立的:
也可以换个角度,看成是运动的、联系的:
换个角度有什么不一样呢?
当然大不一样,比如辅助线的构造,如果从孤立静止的角度看有成千上万种构造方法,但如果从运动变换的角度来看,只有平移、旋转、翻折、缩放等有限的几种方式。
如此,我们就可以把各种方法概括归一,再一以贯之解决问题。
例如中点的处理方法,不管是以何种方式倍长中线、构造中位线或者作平行线,都可以归结为两种变换方式:
(1)以中点为中心旋转180°,
(2)以端点为中心1:2缩放。
如何以此法作辅助线呢?请看例题。
例1.ΔABC中,D是BC的中点,E是AD的中点,延长BE交AC于F点,求证:AF=1/3AC.
法1:ΔACD绕点D旋转180度。
法2:ΔABD绕点D旋转180度。
法3:ΔBDE绕点E旋转180度。
法4:ΔAEF绕点E旋转180度。
法5:ΔBCF以点C为中心2:1缩放。
法6:ΔBDE以点D为中心1:2缩放。
法7:ΔACD以点C为中心1:2缩放。
法8:ΔBDE以点B为中心1:2缩放。
上述各种构造方法实质是一致的,即以中点为依托对其中任意一个相关三角形进行运动变换。
抓住根本规律,一以贯之,一生二,二生三,运用自如,变化无穷……
例2.已知点A(3, 1),∠AOB=45°,OB=OA, 求点B的坐标.
从运动变换的角度来看图形,OA旋转45度得OB,所以把OA所在的已知三角形旋转45度就是构造辅助线的方法。
再依“化斜为直”的策略求“横纵距离”即可,其中ΔODE、ΔBEF都是等腰直角三角形。
可见,用运动变换的角度构造辅助图形,站位更高,视野更阔,更能把握全局看见本质,高效解决问题。