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2018年12月20日中午12時，
被譽為當代中國數學教育三座學術高峰之一的張奠宙教授在上海市第六人民醫院逝世，享年85歲。1951年他參加高考，被大連理工學院錄取，一年之後因院系調整而到東北師範大學數學系就讀，從那時起，他的人生開始和數學結下了不解之緣。
畢業之後，他開始在華東師範大學數學系函數論教研室當教師，在歷經了“紅與白”的文革時期，在重新回到數學系之後，他覺得有必要投入到當代數學史的研究，瞭解一下20世紀數學發展的道路，不能再盲人騎瞎馬亂跑了，接著他的《20世紀數學史話》問世，並且驚動了楊振寧和陳省身兩位大師，從此他踏入了數學史、數學教育這個領域裡。
在他的記憶裡，中國數學教育都是向外國學習的，上初中時使用的教材有《3S平面幾何》，高中則有《範氏大代數》、《斯蓋尼解析幾何》，幾乎全是歐美教材的中譯本。1949年之後，則學習蘇聯數學教材，接受凱洛夫的《教育學》理論。至於中國本土的數學教育理論，除了國家歷年公佈的《數學教學大綱》之外，很少有系統的總結，聽來聽去，也就是“數學是思想的體操”，“數學教學主要是培養邏輯思維能力”等等的箴言。
在歷經了半個世紀之後，
中國式的數學教育模式也在逐漸形成，以解題訓練為核心的數學教學目標，五環節的數學教學過程，“高密度、大容量、快節奏”的數學演練，熟能生巧、反覆操演的“數學雙基”要求，在嚴厲的高考指揮下，鑄成了舉世無雙的“解題”數學教學模式，
但是在這條道路上也碰到了諸多的問題，應試教育功利性帶來的危害，學生主體創新精神的不足，數學英才教育的缺失，數學學科教育得不到足夠的重視，去數學化的趨勢愈演愈烈，缺乏全國性的數學調查，平面幾何的削弱等，
張奠宙教授曾寫過一篇名為《千千萬萬數學教師肩負著國際聲譽》的文章，他說中國數學教育在國際上取得的每一個成就，都是在千千萬萬對數學事業執著的教師肩膀上建立起來的，
而在這條屬於中國數學教育的道路上，遇到的問題也值得千千萬萬的數學教師去了解，去探索，去改革，因為你們，中國數學教育才有未來的希望.
（今年10月17日，楊振寧先生看望正在住院的張奠宙教授）
本文節選自張奠宙、于波兩位教授
所著的《數學教育的中國道路》一書中的第十五章
第一節 數學教育改革依然是主旋律
面對日益激烈的國際競爭，世界各國的基礎教育，包括數學教育，始終處在改革的漩渦之中，中國自然也不例外。中國的數學教育，面臨著三大挑戰。這就是：應試教育帶來的教育功利主義的侵蝕，學生主體創新精神的不足以及數學英才教育的嚴重缺失。
1. 改革“應試教育”
應試教育帶來的巨大危害，正以難以阻擋之勢不斷地蔓延，功利主義的學習觀，侵蝕著數學教育的健康肌體。這是東亞各國共同存在的問題。由於中國以往封建社會的科舉意識仍有不少擁護者，社會轉型時期帶來的拜金主義傾向，考試改革舉步維艱，“應試教育”尤其突出。
“素質教育轟轟烈烈，應試教育紮紮實實”，是學校教育真實而尷尬的局面。要改變這一狀況，不是數學教育一科能夠做到的。那是一項巨大的社會系統工程。我們不在這裡詳細討論。我們能夠做的是，在現有的考試體制內，儘量避免“數學高考八股化”。現今的數學高考，越來越嚴重地走向八股化。全國和各省的數學試卷，不約而同地走向同一個模式。那是20世紀80年代引進標準化考試的結果。120分鐘完成的數學試卷，必須有22道題，題量之大，連年紀稍大的高三數學老師都來不及做完。試卷的題型完全固定，甚至到了各個題的次序都不得改變的地步。我們曾經建議，減少考題數量和延長數學高考答題時間，讓考生不必去“快速反應”，熟練地做到“一看就會，一做就對”。如果考試能夠檢測學生的積極思考水平，而不是熟練反應，就會抑制日常教學中的“題海戰術”及大運動量訓練的頑疾。
高考數學試題如何檢測被試的創新能力？能否用開放題等多樣化的試題形式增加試題的正確導向？克服越來越嚴重的八股化趨勢，是數學教育改革的當務之急。
2. 擴大學生主體活動的空間，包括創新和認真執著
鑑於中國以往封建教育的影響很深，在數學教育實踐中，重教輕學，重講授輕探索的情形依然存在。“以學生的發展為本”的宗旨尚未完全實現。因此，數學新課程改革倡導的“自主、合作。探究”的教學理念，尚須進一步落實和加強。在新的十年裡。需要由下而上地總結經驗，積累優秀的教學案例，發揚優秀的傳統理念，創建適合新形勢的教學新風。《義務教育數學課程標準（2011年版）》中的許多重要理念，需要將許多新的理念落實到課堂上。“一個深刻的改革，一定不會把原來好的經驗放棄，肯定是從原有的經驗中啟程。好的改革不是另起爐灶。從零開始這不可能，也很不實事求是。”這意味著，要把教學改革和總結本土經驗有機地結合起來。
比較重要的有以下幾個方面：（1）如何理解從“雙基”發展為“四基”，怎樣進行“四基”教學？（2）什麼是基本數學活動經驗？如何進行數學思想方法的教學？（3）如何建立初中階段演繹性的“平面幾何教學”中國模式？（4）統計和概率的教學如何切合學生的認知發展水平？（5）如何培養學生提出問題和解決問題的能力（6）數學問題解決需要獨立的思考，如何在獨立思考的基礎上進行合作學習？
數學課堂教學固然要培育學生的創新精神，但是數學教學更重要的也許是培養學生認真執著的科學品格。
數學是講究嚴謹的科學。在語文教學中，學生憑藉想象、天空行空地編造故事，就可以算作創新。然而，數學的創造，需要有嚴謹的證明為支撐。因此，對於中小學生來說，要學生做出真正意義上的數學創新，可以說勉為其難。然而，要做到讓學生“認真執著”，數學教學倒是可以大有作為的。
把數學創新和數學嚴謹結合起來，將是未來數學教學改革的一個重點。
3. 大力彌補數學英才教育的缺失
數學英才教育的缺失，是當今中國數學教育的重大隱憂。與發達國家的數學教育相比，我們約95％，即多數的學生取得了舉世公認的數學好成績，但是在5%的數學英才培養上，已經落後一個世紀。北京師範大學張英伯教授為數學英才的培養大聲疾呼，發人深省。
當今，激烈的高考競爭導致了英才教育的“異化”，數學競賽越來越多的功利性使我們偏離了英才教育，過度統一的標準和教材使我們難以實現英才教育。
美國普通學校的數學教育很不成功，但是對5%優秀學生的英才教育非常成功。這成功的5%支撐了美國在經濟、科學領域長盛不衰的人才基礎。從體制上看，美國有如下措施：
（1）美國教育部設有天才教育處（2）美國國會通過“天才兒童教育法”（3）美國國會通過“傑維斯優異學生教育法案”，每年特別撥款。（4）成立美國國家英才教育中心
相比之下，我國還沒有任何有關天才兒童的法律規定，也沒有任何相關的常設機構，更沒有單獨的撥款。
美國的各州都設立了一些“數學和科學高中”。多數學生的數學課程包括多元微積分。少數主攻數學的高中生可以選讀《數理方程》、《拓撲學》、《博弈論》等課程。丘成桐先生曾說，哈佛大學數學系的本科畢業生的論文可以發表在國際一流雜誌上，原因就在於在高中階段已經讀了許多大學的數學課程。
我國的數學英才教育，早年通過“奧林匹克數學競賽”進行培養和選拔，也頗有成績。但是，奧林匹克競賽的題目有很大侷限，基本不涉及微積分、抽象代數等現代數學基礎，加之，目前我國的奧林匹克數學競賽也蒙上濃烈的功利色彩，獲得競賽獎成為進入國內一流大學的敲門磚。選手的數學視野不開闊，後勁不大。近兩屆的菲爾茲獎獲得者，如澳大利亞的陶哲軒、越南的吳寶珠，雖然都是奧賽獲獎者，但是並沒有停留在奧賽數學上，而是大踏步向前，遠遠超出了奧賽題目的範圍。奧賽只是他們前進道路上的花絮，並非終極目標。
除了美國之外，歐洲各國本來就有悠久的英才教育歷史，英國的伊頓公學、法國的路易大帝高中、俄羅斯的寄宿制高中，都是超常人才的培養高地。
我們需要做些什麼呢?
首先，要為英才教育正名。把英才教育提到國家戰略的高度來認識。其次，各省市要設立幾所“數學和理科高級中學”，全國總數要有近百所。這些高中設置單獨的課程標準，內容相當於大學預科。畢業時由國家統一進行嚴格的畢業考試，內容當然遠超過普通高考。考試成績可供自主招生的學校參考，也可以用一定的方法折算為普通高考考分，參與錄取。
再次，要制定相應的方案。設立必要的研究中心，以及日常的辦事機構。英才教育，事關國家未來國際競爭中“國家隊”的建設。總有一天會將至提到緊迫的議事日程上來。我們時刻準備著。
最後，要為數學奧林匹克競賽正本清源，弘揚數學競賽的精英教育的本義，去除“奧數教育”的功利色彩。
（1991年，在美國數學科學研究所，張奠宙與陳省身兩位教授的合影）
第二節 發展獨立的數學學科教育
中國的教育改革，經過21世紀頭十年的努力，改革的大方向經過適度的調整已經確定。在大政方針確定之後的下一步，學科教育勢將成為我國教育發展的戰略重點。
學科教育，是整個教育理論的一部分。如果說，一般教育學相當於自然科學中的“基礎理論”，那麼學科教育就是一種致力於學科教學實踐的“工程性”研究學科。眾所周知，自然科學技術有兩個部分：基礎理論研究（如物理學）—科學院的的研究任務，以及工程實踐研究（如航天工程）—工程院的研究任務。嫦娥奔月工程固然要運用物理學的原理，但是物理學研究不能代替航天工程。航天工程有自己的技術設計理論和施工規範。
與此相似，一般教育學的規律固然能夠指導學科教育，卻不能代替學科教育，學科教育的主要內容是根據一般教育原理，尋求本學科教學的規律，進行教學設計，進而提出可以操作的、直接可用於課堂教學實踐的工作方案，這就相當於完成一項具體任務的工程研究和施工方案。現在寫入課程標準的許多理念，都是一種“明文知識”。然而，學科教育是一種技術性很強的工程性學科，因而必然涉及很多具體的實踐性認識，那是一般教育學規律所無法包含的。
一個不爭的事實是，學科的發展總是在“細分-整合-細分”這樣的過程中發展的。當年物理、化學、生物學等科學從哲學中獨立出來，在繼續接受哲學的指導的同時，獨立進行科學研究，於是又反過來推動哲學的發展，出現了科學哲學這樣的新學科。因此，數學教育、科學教育、人文教育、藝術教育等學科教育學，必然會從一般教育學中分離出來。這是一個自然發展趨勢。我們希望看到，一般教育理論研究能夠和學科教育研究密切結合，在用一般理論指導學科教學的同時，也能從各個學科教育的創造性實踐中豐富自身。
學科教育的研究工作，當然要運用一般教育學的原理。但是，學科教育研究不能簡單地“自上而下”地從一般教育學“演繹”出來，不能滿足於“一般教育學+學科例子”的模式，而必須植根於學科本身，深入地研究學科本質對學生思維發展的影響，揭示各門學科教於學的“個性”，發現和提煉各個學科教育的特定規律，乃至“自下而上”豐富一般教育學理論。
目前中小學學科教育中存在的現實並不是不知道什麼是先進的教育理念，什麼是有效的教法，而是不知道如何深刻理解和把握學科知識內容，以及如何具體地將這些理念落實到課堂上。以為教學方法可以有某種“理念”產生，從某一文件的規定空降到課堂，那是神話。如果教師教育不落實到學科教育上，教師連某一門課都教不好，那麼教師教育就失去了重心。
國外的教學內容知識（PCK）研究、數學教學知識（MKT）研究等，正在大力發展，然而，這些動向尚未引起主管部門和教育界的關注。
直到今天，中國的學科教育依然得不到足夠的重視。去數學化的趨勢尚未得到遏制。學科教育研究的立項，遠未達到應有的規模。大量的教育研究，停留在空洞口號的層面。為此，我們只有堅守數學教育的家園，等待歷史來做最後的裁決。
（1998年，張奠宙教授當選歐亞國際科學院院士）
第三節 深入研究數學教育的優勢項目，形成鮮明的中國特色
1. 加強調查研究，積累原始資料
為了全面地瞭解自己，需要對我國的數學教育狀況進行有計劃的調查研究，積累原始資料。在20世紀末就有過全國性的調查。例如，田萬海主編的《全國初中數學教學調查與分析》，謝安邦，譚松華的《全國義務教育學生質量調查與研究》。
這些工作都十分有價值，具有歷史性的參考價值。但是進入21世紀以後，這樣的調查報告沒有繼續進行。有許多調查只圍繞某些改革的得失進行，也沒有公開出版。
我們希望，每十年能有一次全國範圍的數學教育情況調查，形成一種制度。
2. 弄清數學教育發展的歷史
歷史是一面鏡子。想要正確地認識中國數學教育，必須以廓清歷史事實，認識歷史規律為基礎。我們在建國初期曾經全面學習蘇聯，後來經過1958年的“教育革命”，以及1960年的冒進革新，乃至1963年制定的數學教學大綱，這些中國數學教育成長的關鍵時期。晚近以來，對於新中國成立到“文革”開始的那17年的數學教育，學界的認識差異很大。因此，必須經過認真的收集資料，經過分析討論，力求取得統一認識。
半個世紀過去了，經歷那段時期的數學教育工作者，多半已經謝世。碩果僅存的幾位，亟須用口述歷史等方式進行採訪，將他們的親身經歷搶救性地記錄下來。
3. 研究“教育數學”
張景中院士倡導的“教育數學”，其實就是學生容易接受的教育形態的數學。它和國外的PCK理論的理念有許多共同之處，值得進一步研究。
我們希望“數學教育”的建立，能夠密切地結合教學實際，對中國數學教育發揮更大的作用。在某種程度上，教育數學是過去的“數學教材教法”在新形勢下的發展。這就是說，我們要對基礎教育中的主要數學內容逐一地進行解剖，從內涵分析理解、學生認知特點、具體教學設計、評價建議等進行系統研究。
4. 研究現代教育技術在數學教學中的合理使用
現代教育技術為數學教學提供了直觀、簡便的工具，是改進數學教學的重要方面，張景中院士等創建的、具有獨立知識產權的《超級畫板》在智能性方面有很高的水平。經過十幾年的使用，廣受一線教師的歡迎，也希望在中小學生中加以使用。
對於計算機的使用，有教師擔心會降低學生的運算能力。在學生以及掌握算理並具有一定運算方法後，應該讓學生使用計算器，尤其在中學，這樣可以減輕學生的學習負擔。
現在的教師教學時喜歡用PPT，這樣做有利有弊。如何正確使用，值得研究。板書也是引導學生思維的有效方式。
5. 平面幾何教學研究
在20世紀60年代的新數學運動以後，大多數歐美國家的中小學基礎數學課程中就放棄了演繹式的平面幾何。此後很多國家仿效，數學課程不再有對頂角相等、平行公理、三角形內角和定理、中位線定理等內容及其證明。
21世紀的中國數學課程改革，曾經有意識地削弱這種演繹幾何，連“幾何”兩字都不見了蹤影。理由是，減輕學生負擔，大多數學生學不會，根本上是要同國際接軌。這一舉動引起了數學家的激烈反對，在全國人民代表大會上成為一項提案進行質詢。其結果是在《義務教育數學課程標準2011年版》裡大體上恢復了演繹體系。2012年去世的著名數學家谷超豪，曾對當前的數學教育表示憂慮。《文匯報》記者在報道中說：
這表明，爭論還沒有完全結束。
無論如何，中國的平面幾何教學，在世界上顯得非常突出。我們對此要有系統的研究，向世界數學教育提出一份科學的分析報告。事實上，從20世紀60年代開始，中國曾經有過相當深入而普遍的“平面幾何入門教學”研究。不過，在21世紀中國普及9年義務教育的社會環境下，如何進一步加以總結、提升和發展，使得大多數學生能夠從平面幾何學習中獲益，還需要深入研究。
6. 中國式的解題研究，數學開放題教學研究
在數學教育領域，中國是解題大國。中國學生在國際奧賽、IAEP、PISA等國際測試中一直名列前茅，得益於數學解題方法論研究的深入，以及廣大數學教師的解題能力的提高。奧林匹克數學競賽、高考數學試題、初等數學研究，這三顧力量帶動了千千萬萬的數學教師，成為解題高手。一位數學教師在同行和學生中是不是有威信，往往以解題水平的高低為依舊。大面積的中小學數學教師所具備的高度解題能力，構成了中國數學教育的一大亮點，更是一筆巨大的財富。
中國的數學解題模式，深受波利亞《怎樣解題》等一系列的著作影響。但是，在長期的實踐過程中也有自己的創造，單墫的《解題研究》，羅增儒的《中學數學解題的理論與實踐》，在某種程度上有所跨越。20世紀80年代以來，西方推行問題解決的教學模式，出版了大量的理論研究著作，如美國數學家休恩菲爾德的《數學問題解決》相當有深度，我們還缺乏深入的研究，尤其是尚未和中國的數學解題理論進行必要的比較和嫁接，這需要繼續努力。
中國解題研究中的一個亮點是戴再平教授倡導的數學開放題教學。這一從日本引進的課題，在中國獲得了異常迅速的發展。尤其是，開放題與“雙基”互相嫁接，凸顯中國特色。開放題進入《國家數學課程標準》，進入教材，乃至進入高考和中考，直接影響第一線，並且成為數學教師平日備課中的一個選項。這是一個極有意義的創造。在林林總總的教學科研項目中，極少有像開放題的教學研究那樣，獲得如此豐富的成效。開放題及其教學的研究，研究有許多專著出版。
數學開放題的成功是中國數學教育吸收、消化、發展國外先進經驗的一個樣板，也可以作為中國數學教育走向世界的一個平臺。
7. 關於數學文化和數學史研究
21世紀初進行新課程改革以來，數學文化成為中國數學教育研究的一個熱點，文獻和著作大量產生。但是，數學文化的研究大多停留在理論闡述層面，對教學第一線的影響不大。現在需要做的事情，是將課程中每一個數學單元的文化點設計出來，為一線老師提供數學文化教學的範例。
一個比較常見的現象是將數學文化等同於數學史。似乎只要介紹一些歷史上的數學家，敘說他們的數學成就，就算數學文化教育了。
數學文化設計的層面要超過數學史的範圍，但是又和數學史緊密結合，數學史教學，以往僅僅強調中國古代的數學成就，藉以增強民族自豪感。例如，祖沖之的圓周率計算比外國早1100年，就是最常用的例子。這當然是必要的。但是也要注意不能走上狹隘的民粹主義道路。因為中國古代數學儘管有輝煌的成就，但是總體上比埃及、巴比倫和古希臘的數學要晚。數學史的德育功能，不能只是建築在“祖先的某項工作別別人早多少年”的基礎上，而要用歷史唯物主義的觀點，實事求是地分析，基點應當放在今天如何追趕世界先進水平的實際行動上。
第四節 逐步建設可以與國際對話的數學教育話語體系
中國數學教育正在逐步走向世界。與改革開放初期國內學術界亟須瞭解國際同行動態相比，現在中國學界缺乏的不再是外部信息，而是如何在眾多信息中鑑別取捨，繼而冷靜理性地沉澱思考的問題。
其中一個嚴重的問題是，如何構建自己的話語體系，獨立地探索研究自己的問題。如何走出從信息到信息的低層次與國際接軌的局面，擺脫不自信的心態，提升在紛紜繁複的信息中獨立求索的能力。
首先，我們要學習國際同行的數學教育話語，進而解讀自己的工作，增強與國際進行學術交流的水平。近幾年來，我們已經有過一些嘗試了。例如，鮑建生關於“中英初中數學課程綜合難度的比較研究”，定量地勾畫出兩個國家數學課程難度的差異，並且用一個圖形加以顯示，就能夠讓國外同行真切地瞭解中國數學課程的一個側面。同樣地，李士錡關於“孰能生巧”的系列文章，也用數學教育心理學的語言，進行解讀，取得了初步的成果。
其次，則是應當大力建設自己的話語體系。實事求是地說，西方在數學教育方面的學術成就儘管相當深奧，卻也不必過於仰視，以至迷信。西方的數學教育理論，往往離開教學實踐很遠。理論脫離實際的情況相當嚴重。如果我們的研究工作建立在我國數學教學實踐的基礎上，並努力提升為理論形態，是可以和國際上同行平等地交流。事實上，想“變式”這樣的教學實踐，研究具備了一定的理論形態。至於導入教學、嘗試教學、師班互動、數學思想方法教學、“雙基”教學等，只要認真執著地進行研究，也可以逐步呈現為某種學術形態。但是如果自己輕視自己，不正視自己，就很難談什麼自己的話語權了。
我國的數學教育有許多小型的精品，值得向國外介紹。傳統的問題，如雞兔同籠，就是為國外所熟悉的。今人也有一些很好的創造。例如，上海的陳振宣老師講述的三根導線的故事，就是在表面上看不見的地方發現數學，從而體現出數學思想方法的深刻意義。
故事情境如下：
陳老師的一個學生畢業後在和平飯店做電工。工作中發現在地下室控制10層以上房間空調的溫度不準。分析之後，原來是使用三相電時，連接地下室和高樓上的空調器的三根電線的電阻呢？用電工萬用表無法量這樣長的電線的電阻。於是這位電工想到了數學。他想：一根一根測很難，但是把三根導線在高樓上兩兩相連接，然後在地下室測量“兩根電線”的電阻是很容易的。如圖，設三根導線電阻是x，y，z。於是，他列出一下的三元一次方程組。
解以上方程組，得出x，y，z即得三根導線的電阻。
這樣的方程誰都會解。但是，能夠想到在這裡用方程，才是真正的創造。 清代學者袁枚曾說：“學如箭鏃，才如弓弩，識以領之，方能中鵠”。有知識，沒有能力，就像只有箭，沒有弓，射不出去，但是有了箭和弓，還要有見識，找到目標，才能打中。
解這樣的方程組，知識和能力都不成問題，難的是要具有方程組的意識和眼光。這樣精彩的列子具有普遍的價值，值得向國外推介。
21世紀以來，中國數學教育發生了深刻的變化，
但是揮之不去的應試教育，落後一個世紀的英才教育，缺乏活力的數學教學模式，都是張奠宙教授一直在深深憂慮和思考的問題，在《千千萬萬的數學教師肩負著國際聲譽》一文中，
他寫了十個樂意看到的中國數學課堂教學的新面貌：（1）以新的格局保存注重“雙基”、“解題”的優良傳統（2）計算機以及網絡技術進入數學課堂教學的研究領域（3）“去兩頭，只燒中段”數學教學得到一定程度的抵制（4）讓學生“做學問”，不要只是做“學答”（5）讓學生會“反思”，咀嚼和體會數學之美
（6）讓“練習、練習、再練習”到“思考、思考、再思考”（7）數學課堂從此不再“乾癟”，體現數學文化之深邃與博大（8）讓中國的孩子喜歡數學，不再為“數學難”而不學輟學（9）數學後進生也有數學思維，希望有人喝彩（10）希望“百花齊放”，不再一窩蜂，喊一樣的時髦口號，
2000年，張奠宙教授參與了國家高中數學課程的研製，和嚴士建教授一起擔任組長，他因為冠心病，在2002年開始不得不住院治療，在那一年，他看到了國際數學家大會在北京召開，
也是在那一天，他堅信著中國數學一定會有著美好的明天，而這一天在千千萬萬的數學教師和所有默默為中國數學教育奉獻著的人們的努力下，已經離我們越來越來近了，
有人問小數君如何評價張奠宙教授的一生，
小數君沒有資格評價，但十分想用這樣一句話來形容和作為結尾：“他就像一個雨點匯入了世紀之交的數學教育改革長河中，但是在湧動的江潮中捲起了一片又一片的浪花”.
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