微積分是近代數學中最偉大的成就,對它的重要性無論做怎樣的估計都不會過分.
—— 馮. 諾伊曼
數學中研究導數、微分及其應用的部分稱為微分學，研究不定積分、定積分及其應用的部分稱為積分學.微分學與積分學統稱為微積分學.
微積分學是高等數學最基本、最重要的組成部分，是現代數學許多分支的基礎，是人類認識客觀世界、探索宇宙奧秘乃至人類自身的典型數學模型之一.恩格斯（1820-1895）曾指出：“在一切理論成就中，未必再有什麼像17世紀下半葉微積分的發明那樣被看作人類精神的最高勝利了”. 微積分的發展歷史曲折跌宕，撼人心靈，是培養人們正確世界觀、科學方法論和對人們進行文化薰陶的極好素材.
微積分中重要的思想和方法：
1．“極限”方法，它是貫穿整個《微積分》始終。導數是一種特殊的函數極限；定積分是一種特殊和式的極限；級數歸結為數列的極限；廣義積分定義為常義積分的極限；各種重積分、曲線積分、曲面積分都分別是某種和式的極限。所以，極限理論是整個《微積分》的基礎。儘管上述各種概念都是某種形式的極限，但是它們都有各自獨特和十分豐富深刻的內容，這是《微積分》最有魅力的地方之一。
2．“逼近”思想，它在《微積分》處處體現。在近似計算中，用容易求的割線代替切線，用若干個小矩形面積之和代替所求曲邊梯形面積；用折線段的長代替所求曲線的長；用多項式代替連續函數等。這種逼近思想在理論和實際中大量運用。
3．“求極限、求導數和求積分”是最基本的方法。熟練掌握求極限、求導數和求積分的方法，學習《微積分》就不會遇到太多困難，甚至能做到得心應手。
4．“特色定理”是《微積分》的支柱。夾逼定理、中值定理、微積分基本定理等是《微積分》中最深刻、最基本、最能體現《微積分》特色的定理，支撐起《微積分》的大廈。
5．“綜合運用能力”是《微積分》學習的出發點和歸宿。充分注重綜合運用極限概念與方法的能力、綜合運用導數與積分相結合的各種方法的能力、綜合運用定積分思想方法解決問題的能力、綜合運用一元和多元相結合方法的能力、綜合運用各種方法解決實際問題的能力。
函數、極限和連續
函數是現代數學的基本概念之一，是高等數學的主要研究對象. 極限概念是微積分的理論基礎，極限方法是微積分的基本分析方法，因此，掌握、運用好極限方法是學好微積分的關鍵. 連續是函數的一個重要性態.
極限思想是由於求某些實際問題的精確解答而產生的. 例如，我國古代數學家劉徽（公元3世紀）利用圓內接正多邊形來推算圓面積的方法----割圓術, 就是極限思想在幾何學上的應用. 又如，春秋戰國時期的哲學家莊子（公元4世紀）在《莊子.天下篇》一書中對“截丈問題”（參看光盤演示）有一段名言：“一尺之棰, 日截其半, 萬世不竭”，其中也隱含了深刻的極限思想.
極限是研究變量的變化趨勢的基本工具，高等數學中許多基本概念，例如連續、導數、定積分、無窮級數等都是建立在極限的基礎上. 極限方法又是研究函數的一種最基本的方法.
客觀世界的許多現象和事物不僅是運動變化的，而且其運動變化的過程往往是連綿不斷的，比如日月行空、歲月流逝、植物生長、物種變化等，這些連綿不斷髮展變化的事物在量的方面的反映就是函數的連續性. 連續函數就是刻畫變量連續變化的數學模型.
16、17世紀微積分的醞釀和產生，直接肇始於對物體的連續運動的研究. 例如伽利略所研究的自由落體運動等都是連續變化的量. 但直到19世紀以前，數學家們對連續變量的研究仍停留在幾何直觀的層面上，即把能一筆畫成的曲線所對應的函數稱為連續函數. 19世紀中葉，在柯西等數學家建立起嚴格的極限理論之後，才對連續函數作出了嚴格的數學表述.
連續函數不僅是微積分的研究對象，而且微積分中的主要概念、定理、公式法則等，往往都要求函數具有連續性.
我們將以極限為基礎，介紹連續函數的概念、連續函數的運算及連續函數的一些性質.
微分學
從15世紀初文藝復興時期起，歐洲的工業、農業、航海事業與商貿得到大規模的發展，形成了一個新的經濟時代。而16世紀的的歐洲，正處在資本主義的萌芽時期，生產力得到了很大的發展，生產實踐的發展對自然科學提出了新的課題，迫切要求力學、天文學等基礎科學的發展，而這些學科都是深刻依賴於數學的，因而也推動了數學的發展。在各類學科對數學提出的種種要求下，下列三類問題導致了微分學的產生：
（1）求變速運動的*時速度；
（2）求曲線上一點處的切線；
（3）求最大值和最小值。
這三類實際問題的現實原型在數學上都可歸納為函數相對於自變量變化而變化的快慢程度，即所謂函數的變化率問題。牛頓從第一個問題出發，萊布尼茲從第二個問題出發，分別給出了導數的概念。
在理論研究和實際應用中，常常又會遇到這樣的問題：當自變量有微小變化時，求函數的微小改變量
這個問題初看起來似乎只要做減法運算就可以了，然而，對於較複雜的函數，差值卻是一個更復雜的表達式，不易求出其值。一個想法是：我們設法將表示成的線性函數，即線性化，從而把複雜問題化為簡單問題。微分就是實現這種線性化的一種數學模型。
積分學
數學中的轉折點是笛卡爾的變數. 有了變數，運動進入了數學；有了變數，辯證法進入了數學；有了變數，微分和積分也就立刻成為必要的了，而它們也就立刻產生，並且是有由牛頓和萊布尼茨大體上完成的，但不是由他們發明的.
-------恩格斯
數學發展的動力主要來源於社會發展的環境力量. 17世紀，微積分的創立首先是為了解決當時數學面臨的四類核心問題中的第四類問題，即求曲線的長度、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積、物體的重心和引力等等. 此類問題的研究具有久遠的歷史，例如，古希臘人曾用窮竭法求出了某些圖形的面積和體積，我國南北朝時期的祖沖之、祖恆也曾推導出某些圖形的面積和體積，而在歐洲，對此類問題的研究興起於17世紀，先是窮竭法被逐漸修改，後來由於微積分的創立徹底改變了解決這一大類問題的方法.
由求運動速度、曲線的切線和極值等問題產生了導數和微分，構成了微積分學的微分學部分；同時由已知速度求路程、已知切線求曲線以及上述求面積與體積等問題，產生了不定積分和定積分，構成了微積分學的積分學部分.
微分方程
向量代數與空間解析幾何
多元微分學
多元積分學
無窮級數
