连续复利法错误漫谈十八篇(续四)---数学概念滞后于实际需要的一个例子
数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学，数学源于生活实际，服务于生活实际。数学知识如滞后于需要，在其它领域的应用中就有可能产生一些不必要的困惑和错误，现试举一例。
1 三个数学表达式
我们在中小学就会学到复利公式
A(t)= A。(1+ R)^t (1)
进而会知道，在数学计算上 ”细菌繁殖细菌”与”利生利”是同一问题，学了导数知识会知道，细菌繁殖、细胞分裂、化学反应、镭的衰变以及不少经济的量的变化都可用指数函数 A(t)= A。e^(rt) (2)描述, 当r=ln(1+R)时，(1)式与(2)等价，它们都可用来进行连续计算，也可用来进行离散计算，当时间变量取连续实数时，(1)和(2)式与(dA(t)/dt)/A(t)=r, A(0)=A。 (3)等价。
2 关于常数(dA(t)/dt)/A(t)=r使用中的问题
上述公式(1)(2)(3)表达了自然和社会中许多事物的变化规律，其中A。为初值，1和无理数e是常数， t为时间变量，问题的全部就由一个参数r=ln(1+R), R=e^r-1决定。
在计算资金利息方面，(1)式中的R称为利息率，在计算人口增长、国民经济增长、细胞繁殖、树木增长方面，R被成为增长率，增长率是人们生活中高频率使用的概念，也是各领域中的通用概念。
而对于(3)式中的r，有很少数学书中称为“”连续增长率“”，有的书中在讲到这一等式时称为”比例常数”，但都没有对(3)式中这r能做进一步解释或说明，就是说，对(3)式中的r没有形成比较通用的数学概念，或说(dA(t)/dt)/A(t)没有引起数学工作者充分的注意。
但是(2)式或(3)式中的r又是一个有特别意义的参数，在不同领域都显现出重要的应用，于是在其它领域就有了各种相应的概念，有的概念解释不清，在应用上甚至产生错误，看几个例子。
例1 连续复利率
在经济数学、金融学、货币银行学、工程经济学、公司理财、衍生工具等课程中讲所谓连续复利率来源于连续复利模型: 根据复利公式A。(1+r)^t ，将一年分成m期计算，就得A。(1+r/m)^(mt) ，再令m趋于无穷大，得连续复利公式A。e^(rt) .于是称A。e^(rt)中的r为连续复利率。
下面《百度百科图》为通常的解释。
这解释是按这种连续复利模型的应用解释的(前面第三至八篇从六个方面分析了这种连续复利模型的错误)，这解释自然也是错误的，下面以年利率为100%为例说明其错误或含糊的应用。
多数书中的错误应用是，根据这种连续复利模型的推导，把A。(1+100%)^t 中的100%直接拿到A。e^(rt) 中应用，成为A。e^(tx100%)=A。(1+171.28%)^t ,就是根据100%得到了171.28%，这当然是错误的。
少数书中的糊涂应用是，如英国人编写的《核心金融概念：100条金融术语解读与应用》前面讲这种错误的连续复利推导，计算时用的是
A。(1+100%)^t=A。e^(txln(1+100%))
=A。e^(0.693t)，在某些应用中，为了和其它量应用一致，必须转换成以无理数e为底的函数，其实际数值与A。(1+100%)^t计算结果还是一致的。就是说把年利率100%转换成了所谓的连续复利率成0.693 .一方面这种应用用的是连续复利模型产生的概念“连续复利率”，好似用到了连续复利模型；另一方面，这种用法实际与连续复利模型无关(不讲连续复利模型，这恒等式成立)，这种用法的糊涂是，前面讲用不到的连续复利模型，后边的正确计算中又否定了这种连续复利模型。
例2 连续复利收益率
这一名词构成是基于错误的连续复利模型，其解释很自然地就陷入这种连续复利思维中去了，仅就本人见到的，其定义又分两种:
《百度百科》上用的是数学恒等式A。(1+ R)^t (1)=A。e^(rt)， (r=ln(1+R))，解释中用的是连续复利模型的思维，见下面截图中绿线划出的一句。
有的书定义连续复利收益率为
ln(A(1)/A(0))(也称对数差分收益率)。这两种定义方式等价，实际有一个共同点是，连续复利收益率这两种定义方式只用到事物的初值与终值，不考虑其它时刻的瞬时变化，这两种定义方式都与连续复利模型构成无关。
例3 利息力，又称利息强度
金融数学、利息理论中用dA(t)/dt)/A(t)=r定义利息力。见下面《百度百科》上的截图
这里存在问题，一是解释为“是衡量在某个确切时点上利率水平的指标”，“是时刻t时瞬时获取利息的能力“，这解释近乎没有解释；连续复利计算本身是错误的，这样越解释越糊涂；二是，《百度百科》中用数学式子解释利息力，截图中绿线划出的两个式子是多余的，前边一个是错误的；三是，有些书，例如Kellison,S.G.著作《利息理论》解释说，”它还可在实际中被用作那种转换非常频繁(例如按日计)的利息的近似”，这还是错误的连续复利模型的思维。
整体反映的是，解释者没有搞懂利息力的确切含义。
例4 瞬时增长率
生物学中有瞬时增长率概念，见下面截图。
瞬时增长率的构成是“瞬时”+“增长率”，这解释还是“瞬时”+“增长率”。人们熟知的增长率是时间段上的概念，“瞬时”是时刻概念，这两个概念组成一个新概念，而且没有进一步新的解释就让人很不好理解。
年增长率为100%时，月增长率就为
(1+100)^(1/12)-1=5.95%，日增长率为
(1+100)^(1/365)-1=0.19%，可以推证，时间段越小，其增长率越小，其极限值是0，就是说，瞬时增长率的构成是“瞬时”+“增长率”，但这“增长率”还不是通常的增长率含义，又没有其它说明，这就让读者很不好理解了，乃至2006年有专篇文章《瞬时增长率的概念及应用》解释这一概念，实际还是没有解释明白，根源当是没有相应的数学概念支持。
例5 连续增长率
有的数学教材在从数学角度上称(dA(t)/dt)/A(t)=r为连续增长率，就是“连续”+“增长率”，这“连续”二字好理解，这里用到了导数。这“增长率”二字就不好理解了，如前面所说，在一时刻点函数的增长量是0，增长率也就是0。对于“连续增长率”没有进一步的解释，“连续增长率”也还是处于与利息力、瞬时增长率同样的模糊理解上。
3 单位变化率及其应用
由前面两段可以看到(dA(t)/dt)/A(t)是个很重要的式子，(dA(t)/dt)/A(t)=r为常数时反映了自然和社会中许多量的变化规律。
函数A(t)的导数也称为函数的变化率，函数的导数dA(t)/dt除以这个函数(dA(t)/dt)/A(t)就是数量1的变化率，可称为单位变化率(见《连续复利法的辨证与应用》)，(dA(t)/dt)/A(t)=r为任意时刻数量1的变化率(变化速度)。
有这一数学解释，就很容易理解如上的各概念。
单位变化率用于瞬时意义，“连续复利率”、“利息力”就是任意时刻t时任意1单位资金的增值速度，“瞬时增长率”表达的是任意时刻t任意1单位生物的生长或繁殖速度。
关于连续复利收益率上边已经说明，本人见到的两种定义都与连续复利模型无关，但这定义前面却用了“连续复利”作限定词，这就很容易给人形成错误的认识。
总之，在其它领域的应用中形成了一些错误和模糊概念，并形成一些错误计算，原因是作为工具的数学概念滞后于其它领域的实际需要，应用单位变化率解释其它领域中相应的这几个概念，问题就清楚多了，而且不易产生计算方法上的错误。
