數學培優——完全平方公式
完全平方公式指的是乘法公式(a±b)2=a2±2ab+b2，該公式除了用於計算多項式乘法運算外，還應注意瞭解它在其他方面的運用，尤其是公式的逆向運用(因式分解）及變形運用.
（一）逆向運用：a2±2ab+b2=(a±b)2；
（二）公式的變形：
1.a2+b2=(a+b)2-2ab；
2.a2+b2=(a-b)2+2ab；
3.(a+b)2=(a-b)2+4ab；
4.(a-b)2=(a+b)2-4ab；
5.(a+b)2-(a-b)2=4ab或4ab=(a+b)2-(a-b)2.
例1 已知a+b=3，ab=1，求下列各式的值.
（1）(a+1)(b+1)；
（2）a2+b2；
（3）a-b.
解：（1）原式=ab+(a+b)+1
=1+3+1=5；
（2）由變形1，得：
a2+b2=(a+b)2-2ab
=32-2×1=7；
（3）由變形4，得：
(a-b)2=(a+b)2-4ab
=32-4×1=5，
所以a-b=±√5.
例2 計算:(3x+2y)2-(3x-2y)2.
解：由變形5，得：
原式=4∙3x∙2y=24xy.
例3 已知x2-4xy+5y2+6y+9=0，求x，y的值.
解：已知等式化為：
(x2-4xy+4y2)+(y2+6y+9)=0，
所以(x-2y)2+(y+3)2=0，
所以x-2y=0且y+3=0，
解得：x=-6，y=-3.
例4 已知x2+x-2=2，求x+x-1的值.
解：設x+x-1=y，
y2=(x+x-1)2=x2+x-2+2x∙x-1
=2+2=4，
所以y=±2，
所以x+x-1的值為2或-2.
例5 設x>y>0，且x2+y2=13，xy=6，求x，y的值.
解：因為(x+y)2=x2+y2+2xy=13+12=25，
又因為x>y>0，
所以x+y=5；
因為(x-y)2=x2+y2-2xy=13-12=1，
又因為x>y>0，
所以x-y=1；
聯立x+y=5和x-y=1，解得x=3，y=2.
例6 已知a√(1-b2)+b√(1-a2)=1，
求證：a2+b2=1.
證明：由變形2，得
[a-√(1-b2)]2=a2+1-b2-2a√(1-b2)，
[b-√(1-a2)]2=b2+1-a2-2b√(1-a2)，
兩式相加，得
[a-√(1-b2)]2+[b-√(1-a2)]2=a2+1-b2-2a√(1-b2)+b2+1-a2-2b√(1-a2)
=2-2[a√(1-b2)+b√(1-a2)]，
因為a√(1-b2)+b√(1-a2)=1，
所以[a-√(1-b2)]2+[b-√(1-a2)]2=2-2×1=0，
所以[a-√(1-b2)]2=0，且[b-√(1-a2)]2=0，
所以a=√(1-b2)，
兩邊平方，整理，得：a2+b2=1.
