中考總複習：圓綜合複習—鞏固練習（提高）
【鞏固練習】
一、選擇題
1．已知兩圓的半徑分別是4和6，圓心距為7，則這兩圓的位置關係是( )
A．相交 B．外切 C．外離 D．內含
2．如圖，等腰梯形ABCD內接於半圓D，且AB＝1，BC＝2，則OA＝( )
A． B． C． D．
3．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝4 cm，以點C為圓心，以2 cm的長為半徑作圓，則⊙C與AB的位置關係是( )
A．相離 B．相切 C．相交 D．相切或相交
第2題 第3題 第5題
4．已知圓O1、圓O2的半徑不相等，圓O1的半徑長為3，若圓O2上的點A滿足AO1＝3，則圓O1與圓O2的位置關係是( )
A．相交或相切 B．相切或相離 C．相交或內含 D．相切或內含
5．如圖所示，在圓O內有折線OABC，其中OA＝8，AB＝2，∠A＝∠B＝60°，則BC的長為( )
A．19 B．16 C．18 D．20
6．如圖，MN是半徑為0.5的⊙O的直徑，點A在⊙O上，∠AMN＝30°，B為AN弧的中點，P是直徑MN上一動點，則PA+PB的最小值為( )
A． B． C．1 D．2
二、填空題
7．如圖，分別以A，B為圓心，線段AB的長為半徑的兩個圓相交於C，D兩點，則∠CAD的度數為_______．
8．如圖，現有圓心角為90°的一個扇形紙片，該扇形的半徑是50cm．小紅同學為了在聖誕節聯歡晚會上表演節目，她打算剪去部分扇形紙片後，利用剩下的紙片製作成一個底面半徑為10cm的圓錐形紙帽(接縫處不重疊)，那麼被剪去的扇形紙片的圓心角應該是________度．
第7題 第8題 第9題
9．如圖，AB⊥BC，AB＝BC＝2 cm，與關於點O中心對稱，則AB、BC、、所圍成的面積是________cm2．
10．如圖，以O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB是小圓的切線，C為切點，若兩圓的半徑分別為3 cm和5 cm，則AB的長為________cm．
11．將半徑為4 cm的半圓圍成一個圓錐，在圓錐內接一個圓柱(如圖所示)，當圓柱的側面的面積最大時，圓柱的底面半徑是________cm．
第10題 第11題 第12題
12．如圖，已知A、B兩點的座標分別為、(0，2)，P是△AOB外接圓上的一點，且∠AOP＝45°，則點P的座標為________．
三、解答題
13．已知：如圖，在△ABC中，D是AB邊上一點，圓O過D、B、C三點，∠DOC＝2∠ACD＝90°．
(1)求證：直線AC是圓O的切線；
(2)如果ÐACB＝75°，圓O的半徑為2，求BD的長．
14．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，斜邊AC的垂直平分線交BC於點D，交AC於點E，連接BE．
(1)若BE是△DEC外接圓的切線，求∠C的大小；
(2)當AB＝1，BC＝2時，求△DEC外接圓的半徑．
15．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，FH是⊙O的切線，切點為F，FH∥BC，連接AF交BC於E，∠ABC的平分線BD交AF於D，連接BF．
(1)證明：AF平分∠BAC；
(2)證明：BF＝FD；
(3)若EF＝4，DE＝3，求AD的長．
16. 如圖，已知：AC是⊙O的直徑，PA⊥AC，連接OP，弦CB∥OP，直線PB交直線AC於D，BD＝2PA．
(1)證明：直線PB是⊙O的切線；
(2)探究線段PO與線段BC之間的數量關係，並加以證明；
(3)求sin∠OPA的值．
【答案與解析】
一、選擇題
1.【答案】A ；
【解析】因為6-4＜7＜6+4，所以兩圓相交．
2.【答案】A ；
【解析】作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分別是E，F，連接BD，
則AE＝DF，∠ABD＝90°，EF＝BC＝2，
設AE＝x，則AD＝2+2x．
由△ABE∽△ADB可得，
即，解得．
∴ AD＝2+2x＝1+，則．
3.【答案】B ；
【解析】如圖，過C作CD⊥AB於D，
在Rt△CBD中，BC＝4cm，∠B＝30°，
∴ CD＝BC＝(cm)．
又⊙C的半徑為2cm，
∴ d＝r．
∴ 直線AB與⊙C相似．
4.【答案】A ；
【解析】因為AO1＝3，所以點A在圓O1上，又因為點A在圓O2上，
所以圓O1與圓O2的位置關係是相交或相切．
5.【答案】D ；
【解析】延長AO交BC於D點，過O作OE⊥BD於E．
∵ ∠A＝∠B＝60°，∴ ∠ADB＝60°．
∴ △DAB是等邊三角形，BD＝AB＝12．
在Rt△ODE中，OD＝12-8＝4，∠ODE＝60°，
∴ DE＝OD·cos 60°＝，∴ BE＝10，故BC＝2BE＝2×10＝20．
6.【答案】A；
【解析】過B作BB′⊥MN交⊙O於B′，連接AB′交MN於P，此時PA+PB＝AB′最小．
連AO並延長交⊙O於C，連接CB′，在Rt△ACB′中，AC＝1，∠C＝，
∴ ．
二、填空題
7．【答案】120°；
【解析】連接BC，BD，則△ABC與△ABD都是等邊三角形，故∠CAB＝∠DAB＝60°，
所以∠CAD＝60°+60°＝120°．
8．【答案】18 ；
【解析】設被剪去的扇形紙片的圓心角為θ度，
則由題意．
∴ θ＝18．
9．【答案】2 ；
【解析】連接AC，因為與關於點O中心對稱，所以A，O，C三點共線，，
所以所求圓形的面積＝△ABC的面積(cm2)．
10．【答案】8 ；
【解析】連接OC，OA，則OC垂直平分AB，由勾股定理知，
所以AB＝2AC＝8．
11．【答案】1 ；
【解析】如圖是幾何體的軸截面，由題意得OD＝OA＝4，2πCD＝4π，
∴ CD＝2．
則．
設EF＝x，EC＝y，由△OEF∽△OCD得，
∴ ．
∴ ．
∴ 當x＝1時，S有最大值．
12．【答案】；
【解析】在Rt△OAB中，．
∴ ∠ABO＝60°．
連接AP，如圖．則∠APO＝∠ABO＝60°．
過A作AC⊥OP，如圖．在Rt△AOC中，由，
∠AOC＝45°，可求出OC＝AC＝，在Rt△ACP中求出PC＝．
∴ ．
過P作PE⊥OA，在Rt△OPE中求出，
∴ ．
三、解答題
13.【答案與解析】
(1)證明：∵ OD＝OC，∠DOC＝90°，
∴ ∠ODC＝∠OCD＝45°．
∵ ∠DOC＝2∠ACD＝90°，
∴ ∠ACD＝45°．
∴ ∠ACD+∠OCD＝∠OCA＝90°．
∵ 點C在⊙O上，
∴ 直線AC是⊙O的切線．
(2)解：∵ OD＝OC＝2，∠DOC＝90°，
∴ ．
∵ ∠ACB＝75°，∠ACD＝45°，
∴ ∠BCD＝30°．
作DE⊥BC於點E，如圖．
∴ ∠DEC＝90°，
∴ ．
∵ ∠B＝∠ACO＝45°，∴ DB＝DE＝2．
14.【答案與解析】
(1)∵ DE垂直平分AC，∴ ∠DEC＝90°．
∴ DC為△DEC外接圓的直徑．
∴ DC的中點O即為圓心．
連接OE，又知BE是⊙O的切線，
∴ ∠EBO+∠BOE＝90°．
在Rt△ABC中，E是斜邊AC的中點，
∴ BE＝EC．
∴ ∠EBC＝∠C．
又∵ ∠BOE＝2∠C，∴ ∠C+2∠C＝90°．
∴ ∠C＝30°．
(2)在Rt△ABC中，，
∴ ．
∵ ∠ABC＝∠DEC＝90°，∴ △ABC∽△DEC．
∴ ．∴ ．
∴ △DEC外接圓的半徑為．
15.【答案與解析】
(1)證明：連接OF ．
∵ FH是⊙O的切線，
∴ OF⊥FH．
∵ FH∥BC，
∴ OF垂直平分BC．
∴ ．
∴ AF平分∠BAC．
(2)證明：由(1)及題設條件可知
∠1＝∠2，∠4＝∠3，∠5＝∠2，
∴ ∠1+∠4＝∠2+∠3．
∴ ∠1+∠4＝∠5+∠3，即∠FDB＝FBD．
∴ BF＝FD．
(3)解：在△BFE和△AFB中，
∵ ∠5＝∠2＝∠1，∠F＝∠F，
∴ △BFE∽△AFB．
∴ ，
∴ ，
∴ ．
16.【答案與解析】
(1)證明：連接OB．
∵ BC∥OP，
∴ ∠BCO＝∠POA，∠CBO＝∠POB．
又∵ OC＝OB，∴ ∠BCO＝∠CBO．
∴ ∠POB＝∠POA．
又∵ PO＝PO，OB＝OA，
∴ △POB≌△POA．
∴ ∠PBO＝∠PAO＝90°．
∴ PB是⊙O的切線．
(2)解：2PO＝3BC．(寫PO＝BC亦可)
證明：∵ △POB≌△POA，∴ PB＝PA．
∵ BD＝2PA，∴ BD＝2PB．
∵ BC∥PO，∴ △DBC∽△DPO．
∴ ，
∴ 2PO＝3BC．
(3)解：∵ △DBC∽△DPO，
∴ ，即，
∴ DC＝2OC．
設OA＝x，PA＝y，則OD＝3x，OB＝x，BD＝2y．
在Rt△OBD中，由勾股定理，得(3x)2＝x2+(2y)2，即2x2＝y2．
∵ x＞0，y＞0，
∴ ，．
∴ ．
