岁月是把杀猪刀,也是一把猪饲料。历史长河,几千年不过是弹指一挥间;而几千年时间却足以留给世人无尽的财富和数不清的谜团。
古埃及文明可以追溯至公元前6000年,但他们的足迹大部分在历史中湮灭了,现存的诸多辉煌中,最让我们震撼的莫过于“世界八大奇迹之一”的金字塔。金字塔有着许多的未解之谜,它在结构上的惊人设计、及多种测量数据的巧合,更为其增添了几分神秘色彩。
金字塔
我们都知道,金字塔的底部多为正方形,而且角度误差极小,古埃及人在科技落后的情况下,是如何保证边之间的垂直关系的呢?要知道金字塔的底长在200米左右,稍微的误差都会让金字塔“变形”。有一个合理的解释是,古埃及人早已掌握了“勾股定理”,并能将其运用于生活:
如上图,准备一根长绳,然后在每个12等分点处打结,并以3:4:5的关系拉紧成三角形,这样长边所对的角即为直角。是不是很巧妙,古埃及人利用3:4:5的边长关系,成功构造出了直角三角形。什么原理呢?勾股定理能出合理解释。
勾股定理:直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。反之,如果一个三角形,其中两条边的平方和等于另一边的平方,那么,这个三角形是直角三角形。
从古至今,没有一个数学定理像“勾股定理”这样受到人们的特别关注和热爱。 普林顿(Plinpton)322 泥板显示,古巴比伦人至少在公元前1600年就已知晓这个定理。我国古代数学名著《周髀算经》也明确有“勾广三,股修四,经隅五”的特例记载,这也是‘勾股定理’一词的来源。
在欧洲,古希腊数学家毕达哥拉斯最早发现了“勾股定理”,据说为此该学派还杀了一百头牛来庆贺,故在西方,“勾股定理”除了叫“毕达哥拉斯定理(Pythagoras theorem)”外,又名“百牛定理”。其他的古代文明,如古印度、古阿拉伯也都有勾股定理的记载。
勾股定理被发现以后,证明方法就层出不穷——如欧几里得证法、“赵爽弦图”证法、总统证法等,据统计,到现在已有500多种。对
勾股定理的“实验验证”
那勾股定理到底有多重要呢? 我们不妨做一个假设:如果“勾股定理”至今都未被发现,数学将会怎样呢?
一、数系扩充受阻
数系从易于感知的自然数开始,经过不断的扩充,到今天才达到完备的状态。零、负数、虚数的发现都有其独特的历史印记,而无理数的发现尤为人们津津乐道。
公元前500年,毕达哥拉斯学派的希伯索斯(Hippasus)在研究“勾股定理”时,无意间发现了一个惊人的事实:一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的——即,边长为1的正方形的对角线长不能用整数或分数表示。
这是对毕达哥拉斯学派所崇尚的“万物皆数”理论的致命一击,由此带来的“第一次数学危机”更是许久未平。当然,数学发展史上的每一次挫折都是一场革命,随着危机的解决,数学研究中新的血液也会随之输入。这一次,数系中加入了一位新成员——“无理数”。
尽管√2不是被发现第一位无理数——因为关于圆周率π的发现也许更早,但古人在实际应用中只考虑π的近似值,并没有认识到它的“无理性”。是√2迫使人们去思考还存在着与“整数和分数”不一样的数,进而想办法扩充数系,解决矛盾。所以,√2的发现大大促使了数学家发现无理数的进程,而√2的发现无疑是依赖“勾股定理”的。
难以想象,如果没有“勾股定理”,我们现在的”数系”会是怎样?会不会人们至今仍然不去考虑圆周率π的无理性,更不会思考自然常数e与分数有何不同?