第一次數學危機是數學史上的一次重要事件，它發生於公元前400年的古希臘時期，以根號2的發現為起點，到公元前370年左右以無理數的定義出現而結束。
第一次數學危機的出現衝擊了一直以來在西方數學界佔據主導地位的畢達哥拉斯學派，同時標誌著西方世界關於無理數的研究的開始。畢達哥拉斯是古希臘的著名數學家與哲學家。他曾創立了一個合政治、學
畢達哥拉斯
術、宗教三位一體的神秘主義派別：畢達哥拉斯學派。畢達哥拉斯提出的著名命題“萬物皆數”是該學派的基石。不過畢達哥拉斯學派所說的數僅指整數。而“一切數均可表成整數或整數之比”則是這一學派的數學信仰。然而具有戲劇性的是由畢達哥拉斯建立的畢達哥拉斯定理（我們稱為勾股定理）卻成了畢達哥拉斯學派數學信仰的掘墓人。
畢達哥拉斯定理提出後，學派中一個成員希帕索斯考慮了一個問題：邊長為1的正方形其對角線長度是多少呢？他發現這一長度既不能用整數也不能用分數表示，而只能用一個新數來表示。這個發現導致了數學史上第一個無理數的誕生。根號2的出現，卻在當時的數學界掀起了一場巨大風暴。動搖了畢達哥拉斯學派的數學信仰，使畢達哥拉斯學派大為恐慌。這一發現不但是對畢達哥拉斯學派的致命打擊，對於當時所有古希臘人的觀念這都是一個極大的衝擊。這一結論的悖論性表現在它與人們常識的衝突上：我們日常的經驗認為，任何量都可以表示成有理數。這不但在希臘當時是人們普遍接受的信仰，就是在今天，測量技術已經高度發展時，這個斷言也毫無例外是正確的！可是為我們的經驗所確信的，完全符合常識的論斷居然被根號2 的發現而推翻了！這應該是多麼違反常識多麼荒謬的事，它把以前所知道的事情根本推翻了。更糟糕的是，面對這一危機人們竟然毫無辦法解決。這就在當時直接導致了人們認識上的危機，從而導致了西方數學史上一場大的風波，即第一次數學危機。
到了大約在公元前370年，柏拉圖的學生攸多克薩斯解決了關於無理數的問題，標誌著第一次數學危機的結束。他純粹用公理化方法創立了新的比例理論，微妙地處理了可公度和不可公度。他處理不可公度的辦法，被歐幾里得《幾何原本》第二卷收錄。
第一次數學危機表明，幾何學的某些真理與算術無關，幾何量不能完全由整數及其比來表示。反之，數卻可以由幾何量表示出來。整數的尊崇地位受到挑戰，古希臘的數學觀點受到極大衝擊。於是幾何學開始在希臘數學中佔有特殊地位。同時也反映出經驗不一定靠得住，推理證明才是可靠的。從此希臘人開始從公理出發，經過演繹推理，並由此建立幾何學體系。這是數學思想上的一次革命，是第一次數學危機的產物。
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