原文：plus.maths.org/content/os/issue29/features/quadratic
译者：
道可道 翻译小组成员校对：Panlan，N.Z.Vilenia
在上一次《二次方程的101个应用：第一部分》中，我们见识了二次方程奥妙，并了解了它们隐藏在各种简单问题之中。在第二个部分，我们将继续探索旅程，我们将看到这些普通的二次函数怎样出现在众多与我们生活息息相关的重要应用当中。
让我们从上次见过的圆、椭圆、双曲线和抛物线等二次曲线开始。人们对从古希腊时期就已熟知了这些二次曲线，并从未停止过对它们的研究，但除了圆之外，其他曲线似乎并没有什么实际应用。但是，到了16世纪的时候，它们改变了这个世界！
图片由NASA提供
二次方程不仅能描述行星围绕太阳运行的轨道，而且给出了更细致观察它们的方法。望远镜的发明进一步促进了天文学的发展。伽利略使用望远镜观察了木星的卫星和金星的相位，这两者的结果都进一步验证了哥白尼理论的正确性。随后，大型反射式望远镜登场，继续探索宇宙奥秘。近年来，我们使用巨型射电望远镜来收听和发送可能被潜在的外星人所接受的讯息。伽利略望远镜使用的镜头形状是由两条相交的双曲线构成。由牛顿发明的反射望远镜（见后面）有一个镜面，它的每个截面都呈抛物线形状！巨型射电望远镜和剃须镜的碗状部分，卫星天线的铁盘，它们都是抛物线形状。毫无疑问，二次方程是现代通讯的核心。
二次方程对于理解加速度是必需的
伽利略，为何二次方程能拯救你的生命
由二次方程所描述的椭圆和自然界间的契合在当时看起来非常不同寻常。这就好像大自然在说：“这是一条大家都认识的曲线，让我们来用它做些什么吧。” 这些曲线是否正确，在伽利略和牛顿未出现之前，人们一直在等待答案。答案也许是二次方程之所以如此重要的一个最重要原因：它是二次方程和加速度间联系。伽利略在17世纪初首次发现了这种联系。
很多人都听说过伽利略，他是比萨大学一个多才多艺的数学教授。他在职业生涯的最后阶段，一直专注于与西班牙宗教法庭展开的一场史诗般的决斗——关于哥白尼太阳系理论的正确性。然而，在此之前，他把大部分时间用于研究物体是如何运动的。早在伽利略之前，古希腊科学家亚里士多德就已经指出，物体在自然状态是静止的，且较重的物体比较轻的物体下落速度更快。伽利略对这两个已被公认的观点提出了质疑，他研究工作的核心是动力学，而动力学与很多重要的活动存在巨大的关联性，比如知道何时（及怎样）停车和怎样踢反弹射门球。
其核心是理解加速度的概念以及二次方程在里面如何发挥的作用。
如果一个物体沿着某个方向运动，那么，在不受外力的情况下，它将沿此方向继续做匀速运动。我们称这个速度为 v。现在，假设质点从x=0 处以这种方式运动了时间 t，那么它现在的位置可由 x=vt 算出。通常情况下，质点都会受到外力作用，如橄榄球会受到重力作用，刹车时会受到摩擦力作用。聚焦到牛顿定律，我们知道质点在恒力的作用下产生恒定的加速度 a。假设初始速度是 u ，那么经过时间 t 后，速度 v 可由 v=u+at 算出。伽利略意识到我们可以用这个表达式算出质点的位置。特别是，当质点的起始位置是 x=0 时，那么，在 t 时刻质点的位移 s 可由一下公式算出：
这是一个联结了 t 和 s 两个变量的一元二次方程，对我们来说具有许多重要的含义。比如，假设我们知道施加到一辆车上的制动力：由这公式我们可以算出在时间 t 行驶了多远，或相反的，算出 t 来，汽车行驶了给定距离究竟花了多长时间。
这个结果对我们所有人都很重要，原因在于它揭示了制动距离是初始刹车速度的平方，而非只是翻一番。在这个一元二次方程式里，我们得出明确的证据，为什么在城市我们应该慢速行驶，因为开得稍微慢一点就会导致刹车距离大幅度的缩短。正确地解出并理解这个方程式，某种意义上，能够拯救你或某人的生命！
这个把时间和距离联系到一起的简单的一元二次方程也是弹道学的基础，弹道学研究物体在重力下运动的方式。在这种情形下，一个物体以不变的加速度 g 沿着 y 方向下落。与此对应的，它以匀速（不考虑空气阻力因素）水平地沿着 x 方向运动。如果它以速度 u 沿着 x 方向和速度 v 向上在位置 x=y=0 开始，伽利略能够给出时间 t 时的位置：
换个形式，我们得出
另外表示形式的一元二次方程，这次把 x 和 y 联系到一起。让人惊叹的是轨道的最终形状，理所当然的是抛物线。
假设你在橄榄球比赛的最后一刻，你必须踢出一个完美的反弹射门球。你必须以正确的角度和速度踢球，从而球空中飞行一个距离x到达球门时，它才能有恰当的高度 y 去越过球门柱。为了达成这个目的，你必须解好一个一元二次方程式。当然在比赛中极度亢奋状态下你可能无暇思考计算，那就靠平日的练习在发挥重要作用了。更确切地说，粒子轨道的抛物线方程---需要考虑到空气阻力，抛物体的旋转和地球自转等因素进行修正-这些都是火炮发射计算的基础，所以说这个军事上的应用都是在遵循伽利略发现。
我们把钟摆原理的发现留给伽利略。大约在1600年，伽利略参加了在比萨的教堂礼拜仪式（他不得不参加）。在布道百无聊赖之际，他开始观察一个吊灯的来回摆动—并有了一个了不起的发现：吊灯摆动的时间和摆动幅度无关。这个发现导致了吊钟和钟表的发明，比如落地式大摆钟，但是在那时伽利略还不能科学地解释这个现象。为了解释这个现象，我们需要另外一个一元二次方程。
牛顿，一元二次方程和沐浴高歌
牛顿出生于伽利略去世的那一年，他彻底地改变了我们理解科学的方式，也改变了数学在科学可预见性中的作用。牛顿的灵感来自伽利略和开普勒的启发。这些科学巨人准确地描述了动力学和天体力学的现象，但都没有形成科学的解释。直到牛顿才给出了他们观测过的那些现象数学上的解释。
首先，他用公式阐述了力学三定律，这就能解释伽利略所观测的结果。第二，他描述了万有引力基本定律，即：两个彼此互相吸引的物体受到的万有引力与他们距离的平方成反比。通过几何式的论证，他能够证明，这个力学定律揭示了行星沿圆锥曲线绕着太阳运动。（当然，平方反比定律以周知的曲线形式导出行星运转轨道是一个巨大的巧合）。牛顿也在光学领域做出了贡献，他意识到伽利略曾使用的望远镜（基于透镜）存在对不同颜色光的折射情况并不同的问题，于是动手设计了一个基于反射镜的望远镜克服它。使各个角度的光线都汇聚到焦点的反射镜的最好形状，恰巧是抛物面，如此便产生了我们早期见过的反射式望远镜。
并且牛顿的贡献深入到我们生活的方方面面。当他用几何论证来给同时代的人解释问题时，他也（和莱布尼茨几乎同时，但各自独立地）创立了微积分。这是一个关于物体变化率的数学理论，将其运用在牛顿运动定律上便可完美地描述物体的相互作用。把微积分理论应用于现实世界的基本工具是微分方程。比方说，它可以把物体运动情况的变化与作用在物体上的力相联系。微分方程几乎在所有现代应用数学领域都处于核心地位。从金属棒中的热传导到动物皮毛的生长模式，微分方程的应用数不胜数，而且在现代科技中起到至关重要的作用。
当牛顿还在世的时，这一切都还是未来的事情！不过牛顿曾考虑过一个伽利略尤为感兴趣的钟摆问题。钟摆的运动可以用一个微分方程来描述，关于摆锤的小角度摆动情况，我们可以从这个方程求出摆动的时间。而解出这个微分方程只需要找到一个对应的一元二次方程的解。
如果 x 是钟摆摆动的角度,牛顿对钟摆长度，空气阻力和引力大小引入参数 a,b,c，则运动的方程可写为：
其中 t 是时间;
是摆的加速度;
是摆的速度;
这种类型的微分方程通过使用计算机求出数值解是完全没问题，而且在现代科技中常用这样手段解决很复杂的方程。然而，数学家莱昂哈德•欧拉提出了仅依靠解出某一元二次方程进而得到这类特殊方程解的方法，欧拉提出了这个解的形式：
这里
是自然对数的底数。这个函数的重要意义在于
替换进这个微分方程并且除以
，对于 w 给出下列方程
很熟悉吧？！所以要解出最初的那个微分方程，我们需要做的是，解出这个一元二次方程并 w 再替换回去。如此我们便能准确预测摆的运动。
有趣的是一元二次方程不同形式的解（这里在复数域考虑求解）导出了微分方程大相径庭的解。如果 b²>4ac,这个一元二次方程就有两个实数解。
相对应的微分方程有一个看上去像下图的解，在物理上，这个解对应于有摩擦阻力的阻尼摆（或钟摆在溶液，如水中的运动）。
相应地，如果 b²<4ac, 那相同的微分方程有振荡解，看上去像下图。那更像我们熟悉的钟摆运动。
这两个类型运动的差别是很大的，在第二种情形下，一元二次方程的解为带一个平方根 -1的复数解。一会儿我们将看到更多细节。
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这类能籍由一元二次方程而解出的微分方程（被称作二阶常系数方程）的发现具有重大意义。原因在于微分方程的广泛性及其对应一元二次方程的解告诉我们原微分方程的解是否可能增大，不变或减小。这对工程师很重要，工程师总是尽力设计安全的结构和机械。在这些结构里，小扰动的快速增长将导致结构故障（称为不稳定性）。类似的考虑也可用于电路中。实践上，通常是通过解出上面的一元二次方程并找到根 w 是否有某些特性进而设计一个安全的结构。有时不断增大的解可能是有用的，特别是联系到共鸣现象的时候。想象一下，你以频率f上下振动钟摆，f取某些值比它取其它值能产生更大的振幅。这就是共鸣。每一次你给收音机调频或边淋浴边唱歌的时候，你就会遇到共鸣。唱歌时，共振音符听起来最好听（最响亮）。而对于摆动的钟摆，共振频率由下式给出。（未完待续）
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