一苑花開
今天超模君就帶大家來見識一下“老二”，至於老大嘛，大Boss總是最後登場的。那麼，現在請以熱烈的掌聲歡迎我們的“老二”——
拉格朗日中值定理（也叫拉氏定理）！什麼！拉格朗是誰？中值又是誰？
如果你有上述奇怪想法，那就不得了了，以後絕對能夠幹大事，不信你看：
數學分析下冊：拉格朗日乘數法
抽象代數：拉格朗日定理
數論：拉格朗日四平方和定理
數值分析：拉格朗日插值公式
力學：拉格朗日方程
……
好了，“老二”被黑得好慘，我們暫時放過他，進入正題，開始介紹一下這個定理。相信大家對拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange，1736~1813）並不陌生，拉格朗日在數學、力學和天文學三個學科領域中都有劃時代意義的貢獻，拿破崙稱他為“數學科學高聳的金字塔”，是18世紀歐洲最偉大的數學家。
拉格朗日的沉默
但是拉格朗日中值定理是怎麼發現的呢？課本上似乎並沒有提及。現在的高數教材，一本比一本薄，內容越改越少，刪去了很多趣味性的故事和幫助理解的圖片，只因這些不出現在考試中。有一段話說得很好：
美國人寫教材：你看數學多簡單，我們聊著聊著就學會了。
中國人寫教材：定義xxx，可以推導出yyy，此外zzz是更加弱的結論，本書不予證明。
俄羅斯人寫教材：就你這智商還想學數學？趕緊轉文科吧！
古希臘時代，數學家阿基米德就利用了一個結論（拉格朗日中值定理的特殊情況）：過拋物線弓形的頂點的切線必平行於拋物線弓形的底，巧妙地計算出拋物弓形的面積。
後來，意大利卡瓦列裡在著作《不可分量幾何學》中給出一個有趣的引理：曲線段上必有一點的切線平行於曲線的弦。事實上，這不是別的，正好是拉格朗日中值定理的幾何意義，它還被稱為卡瓦列裡定理。
m為切線斜率
跑得太快了，只好手動拖移
受前人的啟發，拉格朗日在《解析函數論》一書中提出拉格朗日中值定理的代數版本，但是證明並不嚴格。最終由大數學家柯西給出嚴格證明並推廣成為柯西中值定理，法國數學家博（O.Bonnet）也給出了現代形式的拉格朗日中值定理。
知道了“老二”的來源，我們可以來認識一下他的內在了。簡單而言，拉格朗日中值定理就是下圖：
注意橋上標語
這座橋大概是想告訴我們，如果一輛車從橋頭行駛到橋尾，用了時間T，那麼在時間T內一定有某一時刻，它的速度正好等於平均速度。
下面給出拉格朗日中值定理的完整形式：
在圖像上表示：
用通俗的語言解釋就是，
這一定理有著廣泛的應用，第一是用來證明等式、不等式與恆等式。第二是證明有關中值問題的結論，第三是研究導數和函數的性質，第四是證明方程根的存在性和利用中值定理求極限。這些應用對於數學研究有重要的作用。
我們來舉一個簡單的栗子看看是怎麼千呼萬喚“老二”出來解題的。
方法一：由圖可知，顯然易得a>1。（作死法）
方法二：
其實，這是一道高考題，拉格朗日中值定理可是有一段“秒殺壓軸大題”的傳說
拉格朗日中值定理讓函數不再“囧”！
用拉格朗日中值定理破解高考數學函數與導數壓軸題！
洛必達法則，真能“下嫁”導數壓軸題！（洛必達也出來打醬油了）
四招高等數學，秒殺高考數學壓軸題！
當然，為了謹慎起見，模擬題中用來玩一下是可以的，高考中就不要亂用了，因為可能會被扣分。
超級數學建模
一·問題簡述：
拉格朗日中值定理是微分學中的一個重要定理，是微分中值定理的核心，其他中值定理是拉格朗日中值定理的特殊情況和推廣，它是微分學的橋樑，在理論和實際中具有很高的研究價值。
拉格朗日中值定理反映了可導函數在閉區間上的整體平均變化率與區間內某點的局部變化率的關係，拉格朗日中值定理是羅爾中值定理的推廣，是柯西中值定理的特殊情況，同時也是泰勒公式的一階情形。
1797年，法國數學家拉格朗日在《解析函數論》一書中給出了拉格朗日定理，並給出了最初的證明，但其證明並不嚴格，給的條件也比現在的條件更強。後來柯西給出了拉格朗日中值定理的嚴格證明，並由此推廣為柯西中值定理。
二·拉格朗日中值定理：
1.拉格朗日中值定理：
2·拉格朗日中值定理的幾何意義：
3·拉格朗日中值定理的推論：
三·拉格朗日中值定理的應用：
1·求極限：
2·證明不等式：
3·證明方程存在根：
值得說明的是，拉格朗日中值定理還有許多其他作用，諸如證明函數的單調性、證明恆等式、研究函數在閉區間上的性質、估值問題、判斷級數收斂等。感興趣的可自行查閱相關資料，在此不作贅述。
以上，祝你好運。
笛卡爾的叨
人家問這個定理是什麼，有些人在那裡說那些有的沒的東西，什麼泰勒展開什麼的，那都是拉格朗日中值定理後面一節的課程，更加本質化的內容。
就拉格朗日中值定理內容來說，可以簡單理解為：一段連續函數，卡著兩端拉一條線段，構成一個弓形，拉格朗日中值定理說的就是：這個弦的斜率等於這個弓上某一點的切線斜率。
