盈虧問題
最近我把網友們的資料整理了一下，分享分享。
簡析：
盈虧問題又叫盈不足問題，是指把一定數量的物品平均分給固定的對象，如果按某種標準分，則分配後會有剩餘（盈）；按另一種標準分，分配後又會有不足（虧），球物品的數量和分配對象的數量。例如：把一袋餅乾分給一班的小朋友，每人分三塊，多12塊；如果每人分4塊，少8塊。小朋友有多少人？餅乾有多少塊？這種一盈一虧得情況，就是我們通常說的標準的盈虧問題。
盈虧問題的基本數量關係是：（盈+虧）÷兩次所分之差=人數；（記公式真沒勁，好好理解一下公式的意義吧）
例題：
總份數=總差÷個差
(1)一盈一虧:總差=盈+虧
(2)兩盈:總差=大盈-小盈
(3)兩虧:總差=大虧-小虧
(4)一盈一正好:總差=盈
(5)一虧一正好:總差=虧
環保小組的同學上山植樹，如果每人種3棵，則還剩3棵；如果每人種4棵，則還差2棵。環保小組有多少人？一共植樹多少棵？ 分析與解：這是一道典型的盈虧應用題。盈，就是多餘；虧，就是不足、少的意思。比較兩種植樹方式，第一種多了3棵，第二種少了2棵，一多一少共相差3＋2=5（棵）。顯然，相差5棵的原因是第二種植樹方式每人種的棵數比第一種多了4-3=1（棵）。根據“相差的總數÷相差的每份數＝份數”得出，環保小組的人數是5÷1=5（人），一共植樹3×5＋3=18（棵），或4×5-2＝18（棵）。
從中得出：解盈虧問題，要先比較“盈”與“虧”兩種情況，求出兩種情況下總數之間的差，像上題是一盈一虧，差＝盈＋虧；再找出出現這個差的原因是每份數不同，求出兩個每份數之間的差；最後根據“差——差”對應求出份數以及總數。
盈虧問題還有另外兩種情況：兩盈與兩不足。有些題還要通過轉化，先找出“盈虧”數。
例1.工程隊修一條路，如果每天修150米，則可以提前2天完成任務；如果每天修180米，則可以提前5天完成任務。這條路全長多少米？
分析與解：這道題沒有直接給出“盈虧”數，但由題意可知，第一種情況如果再修2天，還可以修150×2＝300（米）；第二種情況如果再修5天，還可以修180×5＝900（米）。這300米與900米就是兩個“盈”數。因此，可以把條件轉化為：如果每天修150米，可以多修300米；如果每天修180米，可以多修900米。顯然，這道題是“兩盈”類盈虧問題，相差的總數是（900-300）米，相差的每份數是（180-150）米，所以計劃修的天數是（）（900-300）÷（180-150）＝20（天），這條路全長150×（20-2）＝2700（米），或180×（20-5）＝2700（米）。
分析與解：由題意可知，第一種行走方式還差60×5＝300（米），第二種行走方式可以多走75×2＝150（米），所以小強去學校要走（300＋150）÷（75-60）＝30（分鐘），小強家距離學校有60×（30＋5）＝2100（米）。
例3.有紅、白球若干個。若每次拿出1個紅球和1個白球，拿到沒有紅球時，還剩下50個白球；若每次拿走1個紅球和3個白球，則拿到沒有白球時，紅球還剩下50個。那麼這堆紅球、白球共有__________個。（2000年小學數學奧林匹克競賽預賽試題。A卷）
分析與解：從第二種拿球方式得知，若每次拿走1個紅球和3個白球，到紅球拿完時，白球缺3×50＝150（個）。這樣，就把“盈虧”數統一到了白球上。根據“一盈一虧”問題的解法得，拿球的次數是（50＋150）÷（3-1）＝100（次），即紅球的個數為100個，所以這堆紅球、白球共有100×（1＋1）＋50＝250（個）。
人們在分東西的時候，經常會遇到剩餘（盈）或不足（虧），根據分東西過程中的盈或虧所編成的應用題叫做盈虧問題。
例1 小朋友分糖果，若每人分4粒則多9粒；若每人分5粒則少6粒。問：有多少個小朋友分多少粒糖？
分析：由題目條件可以知道，小朋友的人數與糖的粒數是不變的。比較兩種分配方案，第一種方案每人分4粒就多9粒，第二種方案每人分5粒就少6粒，兩種不同的方案一多一少相差9＋6＝15（粒）。相差的原因在於兩種方案的分配數不同，第一種方案每人分4粒，第二種方案每人分5粒，兩次分配數之差為5－4＝1（粒）。每人相差1粒，多少人相差15粒呢？由此求出小朋友的人數為15÷1＝15（人），糖果的粒數為
4×15＋9＝69（粒）。
解：（9＋6）÷（5-4）＝15（人），
4×15＋9＝69（粒）。
答：有15個小朋友，分69粒糖。
例2 小朋友分糖果，若每人分3粒則剩2粒；若每人分5粒則少6粒。問：有多少個小朋友？多少粒糖果？
分析：本題與例1基本相同，例1中兩次分配數之差是5-4=1（粒），本題中兩次分配數之差是5-3＝2（粒）。例1中，兩種分配方案的盈數與虧數之和為9＋6＝15（粒），本題中，兩種分配方案的盈數與虧數之和為2＋6=8（粒）。仿照例1的解法即可。
解：（6＋2）÷（4—2）＝4（人），
3×4＋2＝14（粒）。
答：有4個小朋友，14粒糖果。
由例1、例2看出，所謂盈虧問題，就是把一定數量的東西分給一定數量的人，由兩種分配方案產生不同的盈虧數，反過來求出分配的總人數與被分配東西的總數量。解題的關鍵在於確定兩次分配數之差與盈虧總額（盈數+虧數），由此得到求解盈虧問題的公式：
分配總人數=盈虧總額÷兩次分配數之差。
需要注意的是，兩種分配方案的結果不一定總是一“盈”一“虧”，也會出現兩“盈”、兩“虧”、一“不盈不虧”一“盈”或“虧”等情況。
例3 小朋友分糖果，每人分10粒，正好分完；若每人分16粒，則有3個小朋友分不到糖果。問：有多少粒糖果？
分析與解：第一種方案是不盈不虧，第二種方案是虧16×3＝48（粒），所以盈虧總額是0＋48=48（粒），而兩次分配數之差是16—10＝6（粒）。由盈虧問題的公式得
有小朋友（0＋16×3）÷（16—10）＝8（人），
有 糖10×8＝80（粒）。
下面的幾道例題是購物中的盈虧問題。
例4 一批小朋友去買東西，若每人出10元則多8元；若每人出7元則少4元。問：有多少個小朋友？東西的價格是多少？
分析與解：兩種購物方案的盈虧總額是8＋4＝12（元），兩次分配數之差是10—7＝3（元）。由公式得到
小朋友的人數（8＋4）÷（10—7）＝4（人），
東西的價格是10×4—8＝32（元）。
例5 顧老師到新華書店去買書，若買5本則多3元；若買7本則少1.8元。這本書的單價是多少？顧老師共帶了多少元錢？
分析與解：買5本多3元，買7本少1.8元。盈虧總額為3＋1.8=4.8（元），這4.8元剛好可以買7—5＝2（本）書，因此每本書4.8÷2=2.4（元），顧老師共帶錢
2.4×5＋3＝15（元）。
例6 王老師去買兒童小提琴，若買7把，則所帶的錢差110元；若買5把，則所帶的錢還差30元。問：兒童小提琴多少錢一把？王老師帶了多少錢？
分析：本題在購物的兩個方案中，每一個方案都出現錢不足的情況，買7把小提琴差110元，買5把小提琴差30元。從買7把變成買5把，少買了7—5=2（把）提琴，而錢的差額減少了110—30＝80（元），即80元錢可以買2把小提琴，可見小提琴的單價為每把40元錢。
解：（110—30）÷（7—5）＝40（元），
40×7—110＝170（元）。
答：小提琴40元一把，王老師帶了170元錢。
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