麥考利久期是由F.R.Macaulay在1938年提出的。他用現金流的平均迴流時間來衡量債券風險，並將它定義為久期。
一般來說，Duration(久期)與Maturity(到期時間)呈正相關，到期時間越長，久期越大。但是，實證研究發現，Mac.D隨著時間變化的圖形是不連續的，在圖形上呈現出一種“鋸齒形”。
（Coupon rate=8%, YTM=7%, 半年付息一次）
我們可能會對這個圖像的成因產生一些疑問：
1. 為什麼付息日會發生突變？
2. 在突變點之間，Mac.D與Maturity是否為線性關係？
3. 久期突變的幅度受到哪些因素的影響？
1
為什麼付息日Mac.D會發生突變？
假設目前t=0；債券的付息頻率是τ（如果每年付息一次，τ=1；如果每半年付息一次，τ=1/2；如果每季度付息一次，τ=1/4）；距離到期還有n次付息，最後一期歸還本金；每一期的現金流為CFi（i=1,2,3……,n）。
在已經購買債券一段時間，但是第一期現金流還未支付時（t=0時刻），現金流量圖如下：
令Mac.D = f(t)，可得：
在已經支付第一期現金流，但第二期現金流還未支付時（t=0時刻），現金流量圖如下：
令Mac.D = f(t)，得到，
同理，我們可以整理出Mac.D-Maturity圖像的完整數學表達式：
從表達式可以看出，久期和到期期限的函數是一個分段函數，而且分段點正好是付息日。這個分段函數在每一個分段點是不連續的，我們來對他進行數學上的證明。
分(n-1)τ
證明：
當(n-1)τ
得：
當(n-2)τ
得：
我們將間斷點左右兩邊的值相減，如果A-B等於0，就表示該點不間斷；如果A-B不等於0，則該點就是一個間斷點。
我們算出：
最後一步的判斷，除了數學的方法，我們還可以用更形象的方法去解釋。把減式的左邊想象成一杯糖水，所以減式的右邊等價於從左邊這杯糖水中抽去一份糖水（上下同時減去一個數）。由於(n-1)τ【分子上減去的數值的係數】>(n-i)τ【減式左邊分子的係數】，分子更大，說明抽去的這份糖水濃度更高。由於抽去了一份濃度更高的糖水，所以減式右邊必定小於減式左邊，A-B>0。
函數在t=(n-1)τ這點上的左極限不等於右極限，函數在這一點不連續不可導。同理可以證明在每一個分段點函數都不連續。
在每一個債券付息日，債券久期都會突然變大使得債券久期與到期函數在表現形式上不連續。
2
突變點之間，Mac.D與Maturity是否為線性關係？
對於每一段分段函數，以下式為例。
可得
。所以在每兩次突變發生中間，Mac.D與到期時間呈現的是一種完全正相關關係，在圖形上表現為一條斜率為1的直線。
3
久期突變的幅度受到哪些因素的影響？
突變量並不是相等的，突變量的大小受到現金流（CFi），息票率（影響現金流），利率（y），到期時間（n），付息頻率（τ）等的影響。
令突變大小為Δλi(i=1,2,3…,n-1)。以第一次突變為例，由上面的證明可以得到，
1. n和τ與Δλ1成正相關。從抽掉的濃糖水的角度：抽掉的糖水越濃，糖水濃度下降越大，Δλ1越大。也就是說，(n-1)τ越大，Δλ1越大。
2. 息票率和y與Δλ1成正相關。從原來糖水的角度：原來的糖水越淡，抽掉一份相同濃糖水後糖水濃度變化越大，Δλ1越大。也就是說，一切使久期變小的因素都會使突變量變大。
3. 在其他條件保持不變的基礎上，突變量會隨著到期時間的增加而增加。從圖像看，鋸齒突出的部分隨著到期時間的增加而變大。
從糖水的角度，第一次抽掉的糖水濃度為(n-1)τ，第二次為(n-2)τ，……，最後一次為τ，可以發現每次收取的濃度遞減，但是由於整體糖水的濃度也在減少，所以無法判斷突變量的絕對值（Δλ1）隨到期時間的變化情況。
從數學證明的角度，由於Δλi在表達形式上的齊次性，只需證明Δλ1>Δλ2即可，在這裡就不再做贅述。
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