作者 | [英]尤金妮婭•程
翻譯 | 杜娟
來源 | 《超越無窮大》，中信出版社
☞前篇回顧
如果旅館不止一層呢？
現在讓我們假設我們的旅館有兩層，每一層都有無窮多個房間（見圖2–5）。 1樓有房間1、2、3、4……，2樓也有房間1、2、3、4……（更常見的編號方式是 1 樓有房間 101、102、103、104……，2 樓有房間 201、202、203、204……，但是現在我們先不考慮這個問題）。
如果這個旅館起火了呢？現在，我們需要把所有的客人都轉移到馬路對面的只有一層的希爾伯特旅館（這個旅館剛好完全是空的）。 這也不是什麼難題。我們可以讓原本住在1 樓的客人把自己的房間號乘以二然後減去一，這樣這些客人就分別去了1 號房間、3 號房間、 5 號房間、7 號房間……，就像上一個例子中講的新到的客人一樣。 接下來，我們會讓原本住在2 樓的客人都把自己原本的房間號乘以二，就像上一個例子裡面原本就已經在店裡入住了的客人一樣。這些客人會住進 2 號房間、 4 號房間、 6 號房間、 8 號房間……（見圖 2–6）。
從某種程度上講，我們已經把“無窮×2”位客人裝進了“無窮”個房間裡。從數學上看，這和把新到達的無窮個客人安排進已經住滿了的無窮多個房間的旅館是一樣的。
這個原則也可以應用到起了火的三層希爾伯特旅館。唯一的不同就是，這次我們需要把“無窮×3”位客人安排進“無窮”個房間。 所以我們需要把原本的房間號乘以三（見圖2–7）。
☼ 原本住在 1 樓的客人需要把自己的房間號乘以三，然後減去二。那麼他們就會住到1 號房間、4 號房間、7 號房間、10 號房間……
☼ 原本住在 2 樓的客人需要把自己的房間號乘以三，然後減去一。那麼他們就會住到2 號房間、5 號房間、8 號房間、11 號房間……
☼ 原本住在 3 樓的客人需要把自己的房間號乘以三。那麼他們就會住到 3 號房間、6 號房間、9 號房間、12 號房間……
你可以想象一下，所有的客人按照他們原本的樓層排成了3 列長隊。然後你按照他們排隊的次序安排房間，依次安排每個隊伍的第一個人入住新房間。這裡，你必須注意留好同一層客人入住房間的號碼間隔，稍有不慎，你就沒有足夠的房間安排所有人了。
像前面說的一樣，我們可以為此寫一個指導手冊。正確的寫作方式應該是下面這樣的：
☼ 原本住在1 樓的客人：如果你的房間號是n，那麼請搬 到 3n – 2 號房間。
☼ 原本住在2 樓的客人：如果你的房間號是n，那麼請搬 到 3n – 1 號房間。
☼ 原本住在3 樓的客人：如果你的房間號是n，那麼請搬到 3n 號房間。
如果我們先安排所有原本住在1 樓的客人的話，我們就會說：
☼原本住在1樓的客人：如果你的房間號是n，那麼請搬到 n 號房間。
但是這樣一來，我們是不是就沒有房間安排原本住在 2 樓 和 3 樓的客人了？
是的，已經沒有了。因為每一個房間n 都已經被原本住在1樓n號房間的客人佔據了。這就是為什麼我們要麼得按照樓層順序輪換安排客人，要麼得在安排1樓的客人的時候給2樓和3樓的客人預留下房間，而不能先把 1 樓的客人按照原本的房間號安排進旅館。
我希望你能夠按照這個邏輯處理更多樓層的情況（見圖 2–8）。
但是如果有無窮層樓呢？現在，我們把希爾伯特旅館想象成一座摩天大樓，樓層有第1層、第2層、第3層、第4層……，每個樓層都有1號房間、2號房間、3 號房間、4號房間……。我們可以把這個建築想象成“無窮乘以無窮”（見圖 2–9）。
如果這一回是這座摩天大樓起火，我們是不是就無計可施了呢？我們能不能把這棟摩天大樓裡的客人轉移到只有一層的希爾伯特旅館呢？也許在現在的情況下，只有一層的希爾伯特旅館看起來已經成了一個相當普通的概念。當我們一次又一次地鍛鍊我們的頭腦的時候，就會出現這樣的情況：
原本非常令人詫異的事情變成了普普通通的事情。這標誌著我們已經更加聰明瞭。回到正題，你可能覺得這次的情況有點兒無望了，因為我們不能讓每一個人都“把自己的房間號乘以無窮”，然後再減去點兒什麼東西。我們也不能依次安排每一列樓層隊列的第一個人了，因為如果我們這樣做，就會發生下面的情況：
☼ 原本住在 1 樓 1 號房間的客人搬到 1 號房間
☼ 原本住在 2 樓 1 號房間的客人搬到 2 號房間
☼ 原本住在 3 樓 1 號房間的客人搬到 3 號房間
☼ ……
☼ 原本住在 n 樓 1 號房間的客人搬到 n 號房間
☼ ……
把每個樓層1號房間的人安排完之後，一層的希爾伯特旅館就客滿 了。因為每一個n號房間都已經被原本住在n樓1號房間的客人佔據了。
然而，我們並非完全沒有辦法。我們需要變得更聰明一點兒。問題的關鍵還是讓大家排起隊來。但是，這次我們讓所有的客人按照對 角線的方式排隊（見圖 2–10）。
如果我們從左下角開始，按照對角線的方式排隊，我們還是能夠把每一個客人都安排到新的房間。這次的安排方式無法像前幾次那樣用一個簡單的公式總結，我們用一個圖形來表示（見圖 2–11）。
一個指導每位客人應該去哪個房間的指導手冊的文字描述需要像下面這樣寫：原本住在k樓n房間的客人搬到……房間。你可能可以根據上面的圖總結出一個公式來，但是我覺得在這次的情況下，用圖來表示會更加清晰一些。
順帶一提，我們關於希爾伯特旅館的討論包含了下面這個奇怪的事實：偶數的個數和所有數的個數一樣多。因為當你讓每一位客人都把自己的房間號乘以2的時候，你就用偶數房間號的房間安排下了所有的客人。而我們將一整層的客人安排到奇數房間號的房間的事實也說明奇數的個數和所有數字的個數一樣多。按照這個邏輯，如果我們有無窮多的錢的話，我們能表現得極為博愛——我們可以把無窮多的錢捐給慈善機構而自己仍然剩下無窮多的錢。我們需要做的就是把銀行裡的每一塊錢中的偶數號捐給慈善機構，自己留下奇數號。但是這顯然不太現實，因為銀行裡的錢並沒有編號，有的只是一個總數。但是我們可以轉一塊錢到慈善賬戶，再轉一塊錢到自己的個人賬戶，然後再轉一塊錢到慈善賬戶，再轉一塊錢到自己的個人賬戶。這做起來有點兒慢。所以你也可以一次轉一億元到慈善賬戶，再轉一億元到自己的個人賬戶，以此類推。但是，你需要一直不停地這麼做下去。
受到成功完成這個幾乎不可能完成的任務的鼓舞，你可能會覺得你現在可以把任何旅館的全部客人轉移到僅有一層無窮多房間的希爾伯特旅館裡了。然而，事實並非如此。如果你有另外一個更加瘋狂的旅館，旅館的房間編號包括所有的有理數和所有的無理數（“你好，我在π 房間”），那麼我們可能就真的被打敗了。所以，事情的關鍵在於“可數性”。我們接下來就會開始接觸這個概念。在第6 章，我們會看到一個令人腦洞大開的事實，即，有一些無窮比另外一些無窮要大。
無窮令人著迷的一點就是你總會在無意間撞見這個概念，而且總會無意間撞見圍繞著這個概念發生的神奇的事情，但是要搞清楚這些事情背後的原因則非常困難。我們現在知道，一個有無窮多的房間的旅館和“常規”的旅館非常不一樣。我們還知道，我們不能像處理“常規”的等式那樣處理涉及無窮的等式。看起來，無窮好像不是一個“常規”的數字，那麼它到底是什麼？數字看起來是數學的基石，但是數字到底是什麼？有很多的道理我們認為是理所當然的，但是我們從來沒有思考過它們的本質是什麼，數字就是其中之一。如果我們想要宣稱無窮不是一個數字的話，我們最好先搞清楚數字是什麼。你可能會很詫異地發現數學家竟然花了如此長的時間來搞懂數字的本質。人類雖然並不清楚數字是什麼，卻還是毫無障礙地使用了它上千年的時間，你可能也是如此。有鑑於此，你可能會覺得弄清楚數字的本質是一件毫無意義的事情。那麼，難道說數學家在做這件事情的時候是非理性的嗎？
事情是這樣的。常規的整數是不難理解的。即便你將常規的數字擴展到負數和分數的領域，也不是什麼大問題。問題出現在分數與分數之間這個領域，也就是無理數，此時事情就開始變得難以捉摸起來。不明白整數是什麼不是什麼大問題，但是不明白無理數是什麼就成了問題。在移除這個障礙的過程中，微積分出現了，而微積分極大提升了過去兩個世紀里科學、醫藥學和工程學領域的精確度和人們對其的理解。而為了更好地理解這些無理數，我們需要更好地理解所有的數字，包括最基本的數字。我們需要將地基打好，如此才能在其上構建堅固的建築。如果地基不穩，那麼除了回頭去重新打好基礎之外，我們別無他法。
* 內容節選自《超越無窮大：一次跨越數學邊界的冒險之旅》，本書入圍英國皇家學會科學圖書獎短名單，獲得包括《魔鬼數學》作者喬丹•艾倫伯格在內的多位數學界大佬聯袂推介。
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尤金妮婭·程 著
《超越無窮大》
定價：49.00元
出版社：中信出版集團
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