沈嶽夫(浙江省紹興市柯橋區平水鎮中學)
摘要：對試題的研究是教師在教學和複習中經常做的一件事.通過研究把蘊涵在其中的數學思想方法揭示出來，挖掘出隱含的問題的本質屬性，不但可以提高學生的空間想象能力、邏輯思維能力、分析和解決問題的思維技能，還可以優化學生的數學思維品質。筆者通過對一道中考填空題的方法探究，總結出七類常見方法，並且對各種方法進行梳理、比較，目的是能將疑難問題簡單化，複雜問題簡潔化，陌生問題熟悉化．
關鍵詞：中考試題；一題多解；思維突破
對試題的研究是教師在教學和複習中經常做的一件事，通過研究把蘊涵在其中的數學思想方法揭示出來，挖掘出隱含的問題的本質屬性．不但可以提高學生的空間想象能力、邏輯思維能力、分析和解決問題的思維技能，優化數學的思維品質，還可以培養學生探索創新的能力．現以2014年重慶市的一道中考填空題為例，對其方法進行探究，願與大家共同分享．
一、試題呈現
題目：如圖1，正方形ABCD的邊長為6，點O是對角線AC，BD的交點，點E在CD上，且DE=2CE，過點C作CF⊥BE，垂足為點F，連接OF，則OF的長為_____．
【說明】方法1，方法2是藉助圖2的模型構造出三角形全等，其實質就是通過公共端點O，構造出兩個“共點等腰直角三角形”（指在同一個平面幾何圖形中具有一個公共頂點的兩個不同的等腰直角三角形）的基本圖形．也就是說，當題目或結論中出現等邊三角形、等腰直角三角形（或正方形）的條件時，可將圖形繞一個端點作旋轉
的全等變換，構造出全等三角形，從而將條件和結論結合在一起．這種解題思路是幾何證明中的一種常用方法，應當予以重視．
2.從構造以“OF為斜邊”的直角三角形入手
【說明】此方法的思路來源於圖7的模型，通過添加輔助線，得到兩個基本圖形，即“8字型”和“A字型”相似．因此，對於求線段的值（或比值）問題，當條件過於分散，不好直接利用時，可以根據題中所涉及的圖形的性質（如垂直或平行），設法對其進行適當的添線，把題中某些關係通過相似進行轉化，這樣就可以解決問題了．
面積這一工具，也是一種有效解決問題的方法．
5.從“四點共圓”的角度入手
思路5：想到“四點共圓”——運用“四點共圓”，巧構等腰三角形，運用相似解決問題．
（方法6）如圖9，過點B作BH⊥FO，交FO的延長線於點H，
因為∠BOC=∠BFC=90°，
相應的代數問題，然後用代數知識進行演算、論證，最後把所得的結果翻譯成幾何圖形的性質，以達到證明幾何問題的目的．方法7主要是根據條件中有些特殊的點（如中點）或特殊的圖形時（如圓），通過建立適當的直接座標系，可以將某些幾何求值問題、證明問題全部轉化或部分轉化為代數問題加以解決（有時較之其他的方法更為簡潔）．
7.從運用托勒密定理入手
思路7：巧用定理——運用托勒密（Ptolemy)定理求線段長度．
（方法8）因為∠BOC=∠BFC=90°，
所以B，O，F，C四點共圓（如圖11）．
由托勒密（Ptolemy)定理知．
【說明】此方法是通過托勒密（Ptolemy)定理的中介作用，揭示了命題中條件與隱含條件、結論的內在聯繫，為尋求解題途徑指明瞭方向，使問題的方法簡單流暢、別具一格，達到了化繁為簡、化難為易的目的，而且還可以開拓學生的思路、提高解題能力，對學生的學習興趣培養也大有裨益．
前面梳理了八種解題方法，實際上此題的解題方法還不只這些．當學生對某些知識點、某些基本圖形理解的較為深入時，首先就會考慮到較簡潔的方法．例如，當對全等三角形知識理解較為深入時，會想到以OF為邊構造全等三角形，這樣就會選取方法1，方法2；對相似三角形的理解較為深入時，就會選取方法3，方法4等；若對面積問題較為靈活運用時，就會選擇方法5；若想到數形結合思想，運用座標法，就會選取方法7；若能用課外的知識來解決問題，可以選取方法6，方法8．
可見，在平時的教學中，教師若能選取類似本文提到的這樣的試題，留給學生足夠的時間思考，提供學生展示自己想法的機會，並組織學生對不同思路進行適當的比較和討論，學生就能自然地把題目涉及到的基本圖形的基本性質等相關知識加以聯繫，構建成一個整體，達到靈活應用數學知識的程度．這樣做，會比機械地重複大量的訓練題目的效果要好得多．進行類似於此題的一題多解的教學，不僅有利於學生掌握基礎知識，提高解題能力，而且也有利於開闊學生的視野，有效地培養學生思維的廣闊性和靈活性，提高學生的綜合應用水平．
參考文獻：
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