都是正數
居然會為負
最近又有一個話題火了起來，從 1 到正無窮的正整數之和是否等於 -1/12 ？相信大部分人看到這裡都會覺得“怎麼可能，答案應該是正無窮吧，咋還來了個負數”。
超模君我邪魅一笑（自以為很帥）。作為一個專做數學科普的十八線小網紅，今天我就來給大家講講這個知識點。
驚人的等式
第一期告訴我們格蘭迪(Grandi)級數等於1/2。
第二期的結論似乎更驚悚，全體自然數之和等於-1/12！
相信看完視頻很多人的第一反應一定是：怎麼可能？That is impossible！
視頻中甚至拿出了Joseph Polchinski所著的《STRING THEORY》一書為證，用來告訴我們這個式子的結論著實廣泛應用於物理相關領域。
同時這本書看上去不太像是一個民間科學家自己在家倒騰然後所著的，那麼姑且可以把我們的態度從不屑一顧上升到將信將疑吧。
現在，不妨從頭梳理一遍，讓我們看一看，這期間究竟隱藏著怎樣的數學內幕。
看似簡潔易懂的推導
首先是格蘭迪級數S1：
過程一目瞭然。接下來是全體自然數之和，可能稍微麻煩一點：
證明分為兩個步驟，第一步先求了一箇中間級數S2的值。
第二步便是我們需要的結果：
簡直是無懈可擊！
非民科們的抨擊
超模君表示：雖然這是一個小學生都能看的懂的證明，一箇中學文化水平的人就已經能察覺到充斥在證明過程中的彆扭感了。如果是一個大學生，並且在微積分的課堂上還算聽過課，那麼一定能一針見血的指出視頻中這些證明的一個巨大的bug：
在無窮級數中，只有絕對收斂的無窮級數才可以重新排列各項而不改變收斂值。也就是說，對於非絕對收斂的無窮級數，不能任意更改求和次序！這也就是黎曼(Riemann)級數定理，也叫黎曼重排定理。
視頻中的證明過程充斥著民科的味道。從S1=1/2的證明開始，無時不刻不在肆意改變著級數求和的次序，用一些看起來精巧的“移項變號”、“錯位相減”的手法，得到了一個似乎正確的讓人信服的結果。
可惜的是，從嚴謹的數學角度上看，上面所有的證明過程，完全不成立。
確實，各種論壇裡最常見的對待該問題的論調大致到此為止：格蘭迪級數是一個發散的級數，不能求和，從S1=1/2開始，所有的論證都是錯的，後面的沒必要看了。
看上去好像是一群國外的深井冰在試圖糊弄著愚笨的歐洲人民，可惜流傳到中國，中國學生的數學底蘊遠遠超乎那群英國佬的想象，一眼看破真相。民科再一次被火眼金睛的我們所識破，一切都是一個笑話罷了。
然而，真的到此為止了嗎？這群英國佬當真只是無聊深井冰？貌似視頻裡的那個Tony還是諾丁漢大學的物理學家。啊呀呀，這麼大的來頭只是為了開個大眾玩笑麼？如果是錯的，為什麼這個式子會在物理學上有著深刻的影響與應用？
我們應該更冷靜的思考一下，這式子的背後究竟是什麼。
我們在求什麼
事實上，就像在中學時，老師為了向學生們說明為什麼圓錐的體積是同底等高圓柱體積的三分之一時，只是用一個圓錐型容器裝了三次水然後正好倒滿一個同底等高的圓柱型容器一樣。中學老師不會真正給你講述重積分的計算，Tony也不會真正告訴你全體自然數求和的數學背景。這些看上去是充滿漏洞，其實只是為了給你演示這個結論的存在，而非嚴格意義上的證明。
為了追根溯源，我們應當先理解一個本質上的問題：我們在求什麼？
看上去又是一個咬文嚼字的問題，但如果只是玩文字遊戲扣定義細節，那我也沒有寫這些的必要了。
沒錯，我們是在求“和”，這個答案顯而易見。然而，“和”的概念是怎樣而來的呢？
對於有窮個數的相加，“和”的確定是無可爭議的——加起來得到什麼就是什麼。
然而一旦被加數的項數變成了無窮大，我們就很難直接把我們要求的這個“和”給立馬拎出來，而是需要用到極限的思想，去對我們的“和”進行一個逼近。
在大多數人接觸到的傳統的數學中，無窮級數的和是由這個級數前n項和來逼近的。換句話說，對於一個級數：
我們對它的前n項進行求和，得到一個數列{An}，其中：
是這個級數的前n項和，如果數列{An}收斂於A。
則我們說該級數和為A。
以上，我們嚴格的給出了一個級數求和的方式：用級數的前n項和去逼近其真實的值。按這種方式，我們得到的和是所謂的柯西(Cauchy)和。
我們有理由相信按照柯西和的方式求得的“和”是正確且嚴謹的，但是，我們有什麼理由相信，就不存在其它的同樣正確而嚴謹的途徑，來求得無窮級數的“和”呢？
意大利數學家切薩羅(Cesàro)，就提出了另一種方式去讓我們求得無窮級數的“和”，同樣利用極限去逼近，但切薩羅卻是利用前n項的部分和的平均來完成這件事。切薩羅定義了一個新的數列{Cn}，其中：
是這個級數的前n項部分和的平均，如果數列{Cn}收斂於C。
則我們說該級數的和為C。
可以證明，如果級數在柯西和下求得結果為α，那麼在切薩羅和下結果與柯西保持一致，也為α。
關於切薩羅和與柯西和的比較，我們暫且繞開計算複雜度不表，僅僅從數學的嚴謹性上來看，我們完全找不到一個理由去說：柯西和優於切薩羅和。我們應該認為，這兩種求和的方式，起碼在數學地位上是平等的。瞭解更多數學故事，推薦閱讀《數學和數學家的故事》
無獨有偶，對於無窮級數“和”的定義，除了切薩羅和外，還有阿貝爾(Abel)和、拉瑪努金(Ramanujan)和等等，切薩羅還對上述求和進行推廣，給出了廣義切薩羅求和的概念。我們不應該在我們僅僅瞭解柯西和的情況下去否認這些各式各樣的“和”的正確性。
但似乎切薩羅這群數學家們在幹一件費力不討好的事情，柯西和的定義不僅直觀而且便於計算，得到的結果也不算糟糕，那麼，剛剛說到的這些人們，是不是隻是在做無用功呢？
一二三四，再來一次
瞭解了我們在求什麼，我們重新回到最開始的問題上。這次我們用理性的，科學的方式重新對剛剛那幾個級數求一次和。
首先是格蘭迪級數S1：
顯然，柯西和似乎在這裡並不適用了，格蘭迪級數的前n項和An是在1、0之間擺動的一個數列，並沒有收斂於某個數。如果我們手頭只有柯西和這個工具，那麼我們也只能對這個看似簡單的級數束手無策，悻悻作罷。
這個時候，如果用切薩羅的方法求和又會怎樣呢？
我們來分別計算一下{An}與{Cn}，看看能得到怎樣的結果：
可以看到，雖然柯西和不存在，但是切薩羅平均得到的數列卻擁有極限1/2。所以，我們可以說，格蘭迪級數具有切薩羅和為1/2。
我們發現，切薩羅求和比柯西和不僅是相容的（即柯西和若存在，則切薩羅和存在且與柯西和相同），而且在柯西和無法解決的發散級數中，切薩羅和也有著用武之地。
不僅僅是切薩羅和，前文提到的阿貝爾和、拉瑪努金和等等求和，都可以處理格蘭迪級數，並且得到一致的結果為1/2。
就好像無理數將有理數域擴充為實數域，虛數將實數域擴充為複數域。各式各樣新的求和方式讓我們對級數的本質有了更深刻的認識，對於發散級數那無窮個加號背後蘊含的東西，我們終於可以去進行理論計算，而非望洋興嘆。
現在，我們再來看看S2：
這個呈增幅趨勢正負擺動的級數是不是又像視頻中所說，等於1/4呢？
如果你拿出紙筆計算一下，你會遺憾的發現，級數S2做切薩羅平均後得到的數列{Cn}並不收斂。我們似乎又碰到了麻煩。難道S2就真的無法求和了嗎？
廣義切薩羅求和再一次幫助我們解決了這個問題。這次我們是用前n項的部分和的平均的平均來逼近數列的和。
在二階切薩羅平均數列的逼近下，我們的的確確的求得了一個極限1/4，這個和正是視頻中給出的答案。同樣，阿貝爾和拉瑪努金和也均一致得到這個正確的結論。
最後，就到了最讓人不能接受的那個等式——自然數之和等於-1/12。
如果你動手算了，你會沮喪的發現，無論是柯西和、切薩羅和、廣義切薩羅和（哪怕推廣到無窮階）還是阿貝爾和，對於全體自然數相加這個級數，居然都無能為力，似乎無論用什麼辦法去逼近這個和，得到的都是發散的結果。
然而拉瑪努金和，卻給出了這個正確的結果：-1/12。
-1/12這樣一個數字，並不是靠一個簡單的數學把戲憑空捏造的，這其中涉及到相當有趣且深奧的數學理論。
想更多一點
這篇小文章的最後，讓我們再想多一點點。在第一個視頻中，視頻的製作者留下了一個有趣的問題：
假設房間裡有一盞燈，一分鐘之後將它打開，30秒後關上，15秒再打開，以後每次操作時間減半，那麼2分鐘時，燈處於什麼狀態？
忽略普朗克時間等因素不做討論，我們從純思維上的去考慮這個問題，就會發現，格蘭迪級數的切薩羅和1/2反映的不正是反應了一個物理上的疊加態嗎？
又如視頻中所說，全體自然數之和等於-1/12，物理上確實已經有相應的實驗從統計量角度驗證了這個等式的成立，並且該結論被廣泛應用於弦論當中。另外關於這個等式，還有很多種證明，其中最簡明的應該是黎曼函數在-1處的解得延拓。
說到物理，有人說了這樣一段話：“物理總是通過一些方法使數學儘量滿足和服務於他，而數學應該是嚴謹的有理有據的吧。 ”我卻不能贊同這樣的說法。
我認為數學美於物理，不是因為數學比物理更嚴謹，而是數學比物理更清晰。數學建立於乾淨簡明的公理體系之上，而物理建立於突兀生硬的宇宙物理常數之上。我相信物理的世界同樣嚴謹而自洽。這就好像馬賽克鋪成的地板一樣無縫，但我更喜歡整塊的大理石瓷磚。
來源：知乎 作者：pineislet“超級數學建模”（微信號supermodeling），每天學一點小知識，輕鬆瞭解各種思維，做個好玩的理性派。60萬數學精英都在關注！
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