1977年，當羅伯特·錦穆爾（Robert Zimmer）前往芝加哥大學任教時，他繼續著自己在哈佛大學讀研究所時所開始的工作。他的研究包括了動力學（研究重複變換）和李理論（研究對稱性的數學領域）之間的關係。
作為芝加哥大學的一名數學教授，錦穆爾完善了他的研究，其中也包括遍歷理論和微分幾何，並最終在1980年代初概要了今天被稱為錦穆爾綱領（Zimmer program）的工作，包括了錦穆爾猜想。
自2006年起，錦穆爾開始擔任芝加哥大學校長，之後他因獲得了九位數的捐款，以及為捍衛校園言論自由撰寫專欄文章，而登上了新聞頭條。在他把嚴肅的研究拋諸身後很久之後，他啟動的研究計劃終於得到了回報。
一年前，三位數學家解決了錦穆爾猜想，這個猜想與幾何空間呈現某種類型對稱的環境有關。他們的證明是近年來最大的數學成就之一。錦穆爾說：“有五年的時間，我每天晚上睡覺的時候都在思考這個問題，它讓我著迷，能看到人們解決這個問題真是太好了。“
○ 如今是芝加哥大學校長的錦穆爾，在近40年前提出了錦穆爾猜想。| 圖片來源：University of Chicago
一般來說，一個幾何空間的維度越多，它就具有更多的對稱性。例如，比較二維平面上的圓和延伸到三維方向的球可以發現：相比於旋轉一個圓，旋轉一個球的方式更多。球的額外維度創造了額外的對稱。
錦穆爾猜想涉及到被稱為”高階晶格（higher-rank lattice）“的特殊對稱，它追問的是，幾何空間的維度是不是會限制這些對稱類型是否適用。這次證明錦穆爾猜想的作者是芝加哥大學的Aaron Brown、Sebastian Hurtado-Salazar和印第安納大學的David Fisher，他們證明，一旦低於某個特定的維度，將無法找到這種特殊的對稱。也就是說，他們證實了錦穆爾猜想。
他們的工作解決了一個長期存在的重要問題，為研究其他許多問題開闢了道路，並揭示了幾何空間一些深刻的內在本質。對稱是理解這種空間最基本的特性之一。這項新研究以精確的方式表明：這些對稱可以存在於一種空間，卻不能存在於另一種空間。在此之前，這一猜想的進展已經停滯了幾十年。
芝加哥大學的數學家Amie Wilkinson在今年初組織了一場關於這個新證明的會議。他說：“他們以相對簡單的方式攻克了這個問題。“
對稱性
對稱性是小孩子在數學中最先遇到的幾何概念之一。通過動手操作，他們發現可以旋轉、翻轉、四處移動形狀，最終重新得到初始時的形狀。變化中的物體保持著不變的特性，這暗示宇宙中存在深刻的秩序。
數學家有自己的正式語言來研究對稱。這種語言為他們提供了一種簡潔的方式來思考所有適用於給定幾何空間的不同對稱。例如，正方形有八種對稱——可以通過八種方式翻轉或旋轉來得到一個正方形。相比之下，圓可以在旋轉任意角度之後仍然是圓，它有無限的對稱性。數學家將給定幾何對象或空間的所有對稱性打包成一個“群（group）”。
群本身也是研究的對象。群通常出現在研究特定幾何空間的時候，但也出現在完全非幾何的語境中，例如，數的集合可以構成群。錦穆爾說：“原則上，群可以作為各種事物的對稱出現。”
除了我們在小學學到的各種對稱，對稱還有更多奇異形式。例如，可以考慮晶格的對稱。最簡單的晶格是一個二維網格。在平面上，你可以把晶格向上、向下、向左、向右移動任意數量的方格，最終得到的晶格和開始時一模一樣。你也可以將晶格映射到網格中任意一個方格上。具有晶格的空間有無數不同的晶格對稱。
○ 二維晶格的對稱。| 圖片來源：Lucy Reading-Ikkanda/Quanta Magazine
晶格可以存在於任意維數的空間中。在三維空間，晶格可以由立方體而不是正方形構成。在四維或更高維空間中，我們無法描繪出晶格，但工作原理是相同的，數學家可以精確地描述它。
錦穆爾猜想研究的群是那些涉及特殊的“高階”晶格的，這些晶格存在於特定的高維空間。Hurtado-Salazar說：“如果能夠看到這種奇怪的網格，就會發現它們非常美，雖然我看不見，但是我猜想那一定很好看。”
在整個20世紀，數學家們發現群不僅僅出現在幾何中，還出現在數論、邏輯和計算機科學。當新的群被發現時，人們自然會問：什麼樣的空間會呈現出這些特定的對稱集合？
有時，一些群不能應用於一個空間是很明顯的。例如，只需要片刻就會意識到，圓的對稱群不能應用於正方形——將一個正方形旋轉10度，不會得到初始的那個正方形。但是，一個具有無限對稱性的群和一個具有許多維度的空間的組合，會使得確定這個群是否適用於這個空間變得非常困難。錦穆爾說：“對於處於更高維度的更復雜的群，這些問題會變得複雜得多。”
鬆散的聯繫
當我們想到對稱的時候，我們想象的是一個整體形狀被旋轉，比如說一個順時針旋轉90度的正方形。不過，在細微的層級，對稱實際上是關於點的移動。通過對稱來變換空間意味著，取空間中的每個點，將其移動到空間中的另一個點。在這種情況下，將一個正方形順時針旋轉90度事實上意味著：取正方形上的每個點，將其順時針旋轉90度，最終這些點出現在與初始位置不同的位置上。
或多或少，我們能夠以剛性的方式移動這些點。最常見的對稱變換——沿著對角線上對一個正方形做鏡像變換，或者將正方形旋轉90度——都是非常剛性的。這種變換是剛性的，因為它們不會把點打亂。在鏡像變換前是頂點的點，在變換後仍然是頂點，只不過是不同的頂點；在鏡像變換前構成邊的點，在變換後仍然構成邊，只不過是不同的邊罷了。
不過，對稱變換有更鬆散、更靈活的類型，而且這些才是錦穆爾猜想研究的對象。在這些變換中，點被更徹底地重組，在應用變換之後，點不一定會保持先前彼此間的關係。
例如，可以將正方形上每一個點沿著周長移動三個單位——這滿足對稱變換的基本要求，只是將空間中的每一個點移動到某個新的位置。這次證明錦穆爾猜想的作者之一Aaron Brown描述了對於一個球體，這種更鬆散的變換會是什麼樣子：“你可以將球的南北兩極向相反方向拉扯，球上的點和距離會被拉開。”
對於網格，不僅可以在平面上移動網格，還可以扭曲網格，或者在某些地方拉伸，在另一些地方壓縮，這樣變換後的網格與初始網格不再完美重疊。這種類型的變換不那麼剛性，被稱為微分同胚（diffeomorphism）。
○ 剛性變換和非剛性變換。| 圖片來源：Lucy Reading-Ikkanda/Quanta Magazine
在錦穆爾猜想中使用這種更鬆散的對稱形式是有充分理由的。上世紀60年代，格里戈裡·馬爾古利斯 （Grigory Margulis）首次研究了齊默猜想中涉及到的特殊的高階晶格，他因這項研究成果獲得了菲爾茲獎。對於在只允許剛性轉換時，哪些類型的空間可以通過這些高階晶格轉換而來，馬古利斯給出了一個完整的描述。
錦穆爾猜想是馬爾古利斯工作的自然延續。它始於高階晶格可以作用的一系列空間——馬爾古利斯發現的一系列空間——然後追問，如果允許晶格以不那麼剛性的方式運作，那麼這個空間的系列會不會擴展。
在新的研究中，三位數學家證明，當應用高階晶格對稱時，擴展對稱的定義實際上不會改變什麼。即使允許晶格以非常不規則的方式變換空間——通過剪切、彎曲、拉伸——晶格仍然被嚴格限制在它們可以作用的空間。
Fisher說：“因為在問題上增加了很多靈活性，直接的直覺當然是這些晶格可以起作用。但令人驚訝的是，答案是否定的，在某些情況下，它們不能。“
○ David Fisher，證明錦穆爾猜想的三位數學家之一。| 圖片來源：Eric Rudd, Indiana University
數學家在空間維度和可充當空間對稱性的晶格維度（或秩）之間建立了確定的關係。一般來說，他們證明了晶格的秩越高，一個空間就需要越高的維度來適應它。即使在如何變換空間方面有相當大的靈活性，高階晶格變換仍然僅限於高維空間。
錦穆爾猜想只是一個更大綱領的第一步。通過解答這個猜想，這項新研究的合作者對高階晶格能夠作用的空間進行了粗略的限制。接下來更有野心的階段是專注於晶格確實出現的那些空間，然後，對那些晶格變換空間的所有不同方式進行分類。
錦穆爾說：”最終，這個綱領應能夠對所有的方式進行分類。你所看到的是晶格在某些特定的地方不能作用，但有趣的問題卻遠遠超出了這些。“
參考鏈接：
https://www.quantamagazine.org/a-proof-about-where-symmetries-cant-exist-20181023/
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