二次函数综合题

题目：

已知：二次函数y=（n﹣1）x²+2mx+1图象的顶点在x轴上．

（1）请写出m与n的关系式，并判断已知中函数图象的开口方向；

（2）是否存在整数m，n的值，使函数图象的对称轴与x轴的交点横坐标为整数？若存在，请求出m，n的值；若不存在，请说明理由；

（3）若y关于x的函数关系式为y=nx²﹣m²x﹣2n﹣2

①当n≠0时，求该函数必过的定点坐标；

②探索这个函数图象与坐标轴有两个交点时n的值．

考点：抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．

分析：

（1）根据二次函数y=（n﹣1）x²+2mx+1图象的顶点在x轴上，根据△=0，求出m和n的关系，进一步得出二次函数的开口方向；

（2）首先求出二次函数图象的对称轴，根据函数图象的对称轴与x轴的交点横坐标为整数讨论存在n的值即可；

（3）①y=nx²﹣（n﹣1）x﹣2n﹣2可得y=n（x²﹣x﹣2）+x﹣2，令x²﹣x﹣2=0，求出x的值，即可求出顶点坐标；

②分别讨论n=0和n≠0的情况，结合抛物线与x轴交点数量关系即可求出n的值．

解答：

点评：

本题主要考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质和二次函数图象上坐标特征的知识，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的顶点坐标，对称轴以及开口方向等知识，第（3）需要对n进行分类讨论，此题有一定的难度．

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關鍵字: 教育 函数 图象