A.知识要点
一元二次方程、一元二次不等式和二次函数之间联系密切.二次函数的图像与x轴相交的"瞬间"就是一元二次方程,一元二次方程的根就是它对应的二次函数的图像与x轴交点的横坐标.二次函数图象的"片段"(在x轴上方或下方的部分)就是一元二次不等式,一元二次方程、一元二次不等式是二次函数的特殊情况.只有明确了三者之间的关系和区别,才能灵活运用.
1.一般地，如果抛物线y=ax²+bx+c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x=x时，函数值是0，因此x=x0是方程ax²+bx+c=0得出一个根。
二次函数y=ax²+bx+c的图像与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点。这对应着一元二次方程ax²+bx+c=0的根有三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根。
2. 利用函数图像求一元二次方程的根步骤：（1）作函数图像； （2）确定根所在的范围； （3）通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围，直至符合题目要求。
3.当a＞0时，不等式ax²＋bx＋c＞0的解集为x＞x₂,x＜x₁;
当a＜0时，不等式ax²＋bx＋c＞0的解集为x₁＜x＜x₂
归纳：(1)从“形”的方面看，二次函数y＝ax ²＋bx＋c在x轴上方的图象上的点的横坐标，即为一元二次不等式ax²＋bx＋c＞0的解；在x轴下方的图象上的点的横坐标，即为一元二次不等式ax²＋bx＋c＜0的解．
(2)从“数”的方面看，当二次函数y＝ax²＋bx＋c的函数值大于0时，相应的自变量的值即为一元二次不等式ax²＋bx＋c＞0的解；当二次函数y＝ax ²＋bx＋c的函数值小于0时，相应的自变量的值即为一元二次不等式ax²＋bx＋c＜0的解．这一结论反映了二次函数与一元二次不等式的关系．
B.典型问题
1．函数y＝kx²+（2k+1）x+1的图象与x轴的交点的个数是 ．
【分析】函数可能是二次函数，也可能不是，应分两种情况进行讨论；当是二次函数时，方程有两个不相等的实数根，二次函数的图象与x轴有两个交点；方程有两个相等的实数根，二次函数的图象与x轴有1个交点；方程没有实数根，二次函数的图象与x轴没有交点．
【解答】当k＝0时，函数是一次函数，函数是y＝3x+1，与x轴有一个交点；当k≠0时，因为△＝（2k+1）²﹣4k＝4k2+1＞0，故方程kx²+（2k+1）x+1＝0有两个不等的实数根，所以函数图象与x轴有2个交点，若k为0，一次函数与x轴有一个交点；故答案是：1或2．
2（2019•朝阳区模拟）二次函数y＝ax²+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，则关于x的方程ax²+bx+c＝0（a≠0）的解为 ．
【解答】抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），所以抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），即x＝1或﹣3时，函数值y＝0，所以关于x的方程ax²+bx+c＝0（a≠0）的解为x₁＝﹣3，x₂＝1．故答案为x₁＝﹣3，x₂＝1．
3．（2018秋•滨海县期末）已知二次函数y＝ax²+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程ax²+bx+c＝0的一个解的范围是（ ）
A．﹣0.01＜x＜0.02 B．6.17＜x＜6.18
C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.20
【分析】观察表格可知，y随x的值逐渐增大，ax²+bx+c的值在6.18～6.19之间由负到正，故可判断ax²+bx+c＝0时，对应的x的值在6.18～6.19之间．
【解答】由表格中的数据看出﹣0.01和0.02更接近于0，故x应取对应的范围．故选：C．
【点评】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y由正变为负时，自变量的取值即可．
4（2019•汉阳区校级模拟）已知二次函数y＝3x²+2x+n，当自变量x的取值在﹣1≤x≤1的范围内时，函数与x轴有且只有一个公共点，则n的取值范围是_______ ．
【分析】先确定抛物线的对称轴为直线x＝﹣1/3，讨论：若抛物线与x轴有两个交点，利用函数图象，当x＝﹣1，y＜0且x＝1，y≥0时，在﹣1≤x≤1的范围内时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，即3﹣2+n＜0且3+2+n≥0；若抛物线与x轴有两个交点，则△＝22﹣4×3n＝0，在﹣1≤x≤1的范围内时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，然后分别解不等式组或方程即可．
【解答】抛物线的对称轴为直线x＝﹣1/3，
若抛物线与x轴有两个交点，则当x＝﹣1，y＜0且x＝1，y≥0时，在﹣1≤x≤1的范围内时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，即3﹣2+n＜0且3+2+n≥0，解得﹣5≤n＜﹣1；
若抛物线与x轴有两个交点，则△＝2²﹣4×3n＝0，在﹣1≤x≤1的范围内时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，即n＝1/3，
综上所述，n的取值范围是﹣5≤n＜﹣1或n＝1/3．
故答案为﹣5≤n＜﹣1或n＝1/3．
5．（2019•平谷区一模）如图，二次函数y＝ax²+bx+c（a≠0）的图象经过点A，B，C．现有下面四个推断：①抛物线开口向下；②当x＝﹣2时，y取最大值；③当m＜4时，关于x的一元二次方程ax²+bx+c＝m必有两个不相等的实数根；④直线y＝kx+c（k≠0）经过点A，C，当kx+c＞ax²+bx+c时，x的取值范围是﹣4＜x＜0；其中推断正确的是（ ）
A．①②B．①③C．①③④D．②③④
【分析】结合函数图象，利用二次函数的对称性，恰当使用排除法，以及根据函数图象与不等式的关系可以得出正确答案．
【解答】①由图象可知，抛物线开口向下，所以①正确；
②若当x＝﹣2时，y取最大值，则由于点A和点B到x＝﹣2的距离相等，这两点的纵坐标应该相等，但是图中点A和点B的纵坐标显然不相等，所以②错误，从而排除掉A和D；剩下的选项中都有③，所以③是正确的；
易知直线y＝kx+c（k≠0）经过点A，C，当kx+c＞ax²+bx+c时，x的取值范围是x＜﹣4或x＞0，从而④错误．故选：B．
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