点动成线、线动成面、面动成体，点是构成图形的最基本元素.在几何中，把具有某性质的运动的点组成的集合叫做具有这种性质的点的轨迹.
运动轨迹为圆的模型常见情形
1．圆的定义（动点到定点的距离等于定长）
该类型定义很容易理解，但具体到题目中很多孩子经常忽略圆的存在，中考中常出现的背景为折叠问题．
2．定角对定弦型
如图1，当动点对某两定点的张角固定不变时，那么该动点的轨迹为以两定点为弦所对的圆弧．
如图2，该类题目解题的一般逻辑为：①观察以动点为顶点的角是否为定值；②找定角所对定线段；
③由定角找圆周角，从而得出弦所对圆心角；④由弦及圆心角构造出圆，出轨迹弧．
应用举例
1．（2019•自贡中考题）如图，已知A、B两点的坐标分别为（8，0）、（0，8），点C、F分别是直线x＝﹣5和x轴上的动点，CF＝10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当△ABE面积取得最小值时，tan∠BAD的值是（ ）
A．8/17 B．7/17 C．4/9 D．5/9
【解析】如图，设直线x＝﹣5交x轴于K．由题意KD＝1/2CF＝5，
∴点D的运动轨迹是以K为圆心，5为半径的圆，
∴当直线AD与⊙K相切时，△ABE的面积最小，
∵AD是切线，点D是切点，∴AD⊥KD，
∵AK＝13，DK＝5，∴AD＝12，
∵tan∠EAO＝OE/OA=DE/AD，∴OE/8=5/13，∴OE＝10/3，
2．（2019•十堰中考题）如图，正方形ABCD和Rt△AEF，AB＝5，AE＝AF＝4，连接BF，DE．若△AEF绕点A旋转，当∠ABF最大时，S△ADE＝______ ．
【解析】作DH⊥AE于H，如图，由于AF＝4，则△AEF绕点A旋转时，点F在以A为圆心，4为半径的圆上，当BF为此圆的切线时，∠ABF最大，即BF⊥AF，利用勾股定理计算出BF＝3，接着证明△ADH≌△ABF得到DH＝BF＝3，然后根据三角形面积公式求解．∴S△ADE＝1/2AE•DH＝1/2×3×4＝6．故答案为6．
3．（2019•通辽中考题）如图，在边长为3的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边上的一点，且AM＝1/3AD，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C．则A′C长度的最小值是______ ．
【解析】过点M作MH⊥CD交CD延长线于点H，连接CM，
∵AM＝1/3AD，AD＝CD＝3，∴AM＝1，MD＝2。
∵CD∥AB，∴∠HDM＝∠A＝60°。
∴HD＝1/2MD＝1，HM＝√3HD＝√3，∴CH＝4
∴由勾股定理可求得MC＝√19，
∵将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，∴AM＝A'M＝1，
∴点A'在以M为圆心，AM为半径的圆上，
∴当点A'在线段MC上时，A'C长度有最小值
∴A'C长度的最小值＝MC﹣MA'＝√19﹣1，故答案为：√19﹣1。
4．（2019•南充中考题）如图，矩形硬纸片ABCD的顶点A在y轴的正半轴及原点上滑动，顶点B在x轴的正半轴及原点上滑动，点E为AB的中点，AB＝24，BC＝5．给出下列结论：①点A从点O出发，到点B运动至点O为止，点E经过的路径长为12π；②△OAB的面积最大值为144；
【解析】：∵点E为AB的中点，AB＝24，∴OE＝1/2AB=12,，
∴AB的中点E的运动轨迹是以点O为圆心，12为半径的一段圆弧，
∵∠AOB＝90°，
∴点E经过的路径长为90×12×π/=6π1，故①错误；
当△OAB的面积最大时，因为AB＝24，
所以△OAB为等腰直角三角形，即OA＝OB，
∵E为AB的中点，
∴OE⊥AB，OE＝1/2AB=12,
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝90°，∴∠DFA＝∠AOB，∴∠DAF＝∠ABO，
5．（2019•淄博中考题）如图，顶点为M的抛物线y＝ax²+bx+3与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求这条抛物线对应的函数表达式；
（2）问在y轴上是否存在一点P，使得△PAM为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
（3）若在第一象限的抛物线下方有一动点D，满足DA＝OA，过D作DG⊥x轴于点G，设△ADG的内心为I，试求CI的最小值．
【解答】（1）∵抛物线y＝ax²+bx+3过点A（3，0），B（﹣1，0），
9a+3b+3=0,a-b+3=0,解得：a=-1,b=2.
∴这条抛物线对应的函数表达式为y＝﹣x²+2x+3
（2）在y轴上存在点P，使得△PAM为直角三角形．
∵y＝﹣x²+2x+3＝﹣（x﹣1）²+4
∴顶点M（1，4）
∴AM²＝（3﹣1）²+4²＝20
设点P坐标为（0，p）
∴AP²＝3²+p²＝9+p²，MP2＝12+（4﹣p）2＝17﹣8p+p2
①若∠PAM＝90°，则AM²+AP²＝MP²,∴20+9+p²＝17﹣8p+p²,
解得：p＝﹣3/2,∴P（0，﹣3/2）.
②若∠APM＝90°，则AP²+MP²＝AM²，
∴9+p²+17﹣8p+p²＝20,
解得：p₁＝1，p₂＝3,
∴P（0，1）或（0，3）.
③若∠AMP＝90°，则AM²+MP²＝AP²,∴20+17﹣8p+p²＝9+p².
解得：p＝7/2,∴P（0，7/2）.
综上所述，点P坐标为（0，﹣3/2）或（0，1）或（0，3）或（0，7/2）时，△PAM为直角三角形．
（3）如图，过点I作IE⊥x轴于点E，IF⊥AD于点F，IH⊥DG于点H.
∵DG⊥x轴于点G,∴∠HGE＝∠IEG＝∠IHG＝90°,∴四边形IEGH是矩形.
∵点I为△ADG的内心,∴IE＝IF＝IH，AE＝AF，DF＝DH，EG＝HG.
∴矩形IEGH是正方形,
设点I坐标为（m，n）,∴OE＝m，HG＝GE＝IE＝n.
∴AF＝AE＝OA﹣OE＝3﹣m,∴AG＝GE+AE＝n+3﹣m.
∵DA＝OA＝3,∴DH＝DF＝DA﹣AF＝3﹣（3﹣m）＝m,∴DG＝DH+HG＝m+n.
方法小结
对于变化万千的题目，如何抓住本质？一般来说，初中阶段的这类问题还是以定角为背景，我们可以一分为二来看．若边不变，则“定边对定角”，三角形外接圆是不变的，在这不变中，我们可以求定值，如弦长，运动的轨迹长．也可以寻找其中变化的量，来求线段的最值．若边在变化，则“动边对定角”，三角形外接圆处在变化中，我们要找其中的不变量或者变量之间的不等关系来建立不等式，从而求出最值．
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