今天的文章聊聊高等數學當中的極限，我們跳過極限定義以及一些常用極限計算的部分。我想對於一些比較常用的函數以及數列的極限，大家應該都非常熟悉。
大部分比較簡單的函數或者數列，我們可以很直觀地看出來它們的極限。比如1/n，當n趨向於無窮大的時候，1/n 的極限是0，再比如當n趨向於無窮大的時候，n的平方的極限也是無窮大，等等。
但是對於一些相對比較複雜的函數，我們一時之間可能很難直觀地看出極限，因此需要比較方便計算極限的方法，今天的文章介紹的正是這樣的方法——夾逼法和換元法。
夾逼法在數學領域其實非常常用，在中學的競賽當中經常出現。夾逼法的原理非常簡單：
對於某一個函數f(x)，我們知道它的表達式，但是很難確定它的範圍。我們可以先找到另外兩個範圍比較容易確定的函數g(x)和h(x)，然後證明:
通過h(x)和g(x)的範圍來夾逼f(x)的範圍。
說白了，就是直接求解不方便的函數，我們通過用其他容易計算的函數來替代的方法來間接求解，類似於“曲線救國”。
明白了夾逼法的概念之後，我們再來看一下它在數列極限當中的應用。
假設當下存在數列 {xn} 我們需要確定它的極限，我們找到了另外兩個數列 {yn} 和 {zn}。如果它們滿足以下兩個條件：
那麼，數列 {xn} 的極限存在，並且:
從直覺上來看，上面的式子應該非常直觀，但是我們還是試著從數學的角度來證明一下，順便回顧一下極限的定義。
證明過程如下：
根據極限的定義，對於數列 {xn} 而言，對於任意ϵ都存在 n0 > 0，使得對於任意：n > n0，都有:
那麼就稱數列 {xn} 的極限是a。
由於數列 {yn} 的極限是a，所以存在 n1 使得 n > n1 時:
同理，存在 n2 使得 n > n2時:
那麼對於 n > max(n1, n2) 顯然應該有：
並且
我們將絕對值展開，可以得到：
根據極限的定義，顯然可以得到數列 {xn} 的極限也是a。
我們利用這個方法來看一個書上的例子：
我們都知道當x趨向於0的時候，x和sinx都趨向於0，但是 sinx/x 的極限是多少呢？如果猜測一下，兩個無窮趨向於0的極限的比值應該是1才對，但是這個只是我們的直觀猜測，想要嚴格證明，還需要使用數學方法。
這個證明就用到了我們剛才說的夾逼法，並且非常巧妙，讓我們來看一張下面這張圖。
我們假設夾角∠AOB=x，這裡採用弧度制。我們令圓心OB的長度等於1，那麼BC=sinx，OC=cosx，AD=tanx。我們下面要用這張圖裡的三角形面積關係，顯然：
三角形AOB的面積等於 1/2 * OA * BC = 1/2 sinx，三角形AOD的面積等於 1/2 * OA * AD = 1/2 tanx。
這兩個都很容易得出，直接套用三角形面積公式即可。扇形的面積看起來麻煩一些，但其實也很簡單，在幾何當中，扇形可以看成是特殊的三角形。我們把弧長看成是底面，半徑可以看成是高，那麼扇形的面積等於 1/2*弧長*半徑 。所以扇形AOB的面積等於 1/2 * x * 1 = x/2 。
我們列出來，可以得到：
即：
其中
所以我們可以不等號兩邊同時除以sinx，得到：
由於當x趨向於0的時候sinx, cosx都大於0，所以我們可以對不等式互換分子分母，得到：
到這裡已經結束了，因為我們根據餘弦的函數圖像可以很容易看出來，當x趨向於0的時候，cosx趨向於1.但為了嚴謹起見，我們當做不知道這點，繼續用數學的方法證明：
我們來計算當x趨向於0的時候，1−cosx的取值範圍，當x趨向於0的時候cosx<1，所以1−cosx>0。我們再對1−cosx變形，這裡要引入
三角函數當中的和差化積公式：
由於cos0=1，帶入和差化積可以得到：
我們之前通過面積表示的方法已經證明了當x趨向於0的時候sinx 當x趨向於0的時候，顯然x^2也趨向於0，所以我們可以證明 cosx 的極限是1。 我們接著來看 
並且
並且在x趨向於x0時，有g(x)≠u0，那麼：
我們使用極限的定義同樣可以很方便地證明它的正確性，這裡就不證明了，感興趣的同學可以試著證明一下。
瞭解了符合函數的極限運算法則之後，我們再來看一個例子鞏固一下。
和上面的例子類似，我們這次求一下:
和上面那題一樣，我們先使用和差化積對極限的分子進行變換，可以得到：
如果通過極限本身的定義來計算這個式子還是蠻複雜的，很難直觀地獲得答案。這個時候就需要用上換元法了，那麼這個極限就可以轉化成複合函數極限了。我們令 u = x/2 ，f(u) = sinu/u。因為當x趨向於0的時候，u也趨向於0，當u趨向於0的時候，f(u) 趨向於1，所以最終的極限就是1。
通過夾逼法和換元法，我們可以很方便地求解一些看起來比較棘手的極限。這也是我們求極限的過程當中使用非常頻繁的方法。雖然上文當中的公式看起來有些比較麻煩，但是方法本身並不難，只要沉下心來，一定可以看明白的。
原創不易，希望我的文章可以給你帶來收穫。喜歡的話，請順手點個關注或者轉發吧，你們的支持是我最大的動力。
"同濟大學《高等數學》第六版
程序員的數學
閱讀更多 樑唐晉漢周MOUT 的文章
