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20世紀最傑出的大科學家愛因斯坦，對歐幾里得推崇備至：“一個人當他最初接觸幾何學時，如果不曾為它的明晰性和可靠性所感動，那麼他是不會成為一個科學家的。”

兩千多年來，幾何學的研究主要集中在歐幾里得幾何上。正因如此，歐式幾何中由直線或曲線、平面或曲面、平直體或曲體所構成的各種幾何形狀，一直是人類認識自然物體形狀的有力工具，還是各種學科理論的基礎。以致於物理大佬伽利略斷言：“大自然的語言是數學，它的標誌是三角形、圓和其他幾何圖形”。

《幾何原本》是古希臘數學發展的頂峰。公元前3世紀，歐幾里得將公元前七世紀以來希臘幾何積累起來的豐富成果，整理在嚴密的邏輯系統運算之中，使幾何學成為一門獨立的、演繹的科學。

在其公理體系中，最重要的是平行公理，由於對這一公理的不同認識，導致非歐幾何的產生。按所討論的圖形在平面上或空間中，分別稱為“平面幾何”與“立體幾何”。

幾何之父--歐幾里得，幾何學的奠基人

歐幾里得是第一個把幾何學系統化、條理化、科學化的人。歐幾里得是希臘亞歷山大大學的數學教授。著名的古希臘學者阿基米德，是他“學生的學生”——卡農是阿基米德的老師，而歐幾里得是卡農的老師。

關於歐幾里得的生平，沒有詳細的記載。然而，卻流傳著許多關於他的有趣的故事……

那時候，人們建造了高大的金字塔，可是誰也不知道金字塔究竟有多高。有人這麼說：“要想測量金字塔有多高，比登天還難！”

這話傳到歐幾里得的耳朵裡。他笑著告訴別人：“這有什麼難的呢？當你的影子跟你的身體一樣長的時候，你去量一下金字塔的影子有多長，那長度便等於金字塔的高度！”

歐幾里得的名聲越來越大，以至連亞歷山大國王多祿米(又譯托勒密Ptolemy)也想趕時髦，學點幾何學。於是，國王便把歐幾里得請進王宮，講授幾何學。誰知剛學了一點，國王就顯得很不耐煩，覺得太吃力了。國王問歐幾里得：“學習幾何學，有沒有便當一點的途徑，一學就會？”

歐幾里得笑道：“陛下，很抱歉，在學習科學的時候，國王與普通百姓是一樣的。科學上沒有專供國王行走的捷徑。學習幾何，人人都要獨立思考。就像種莊稼一樣，不耕耘，就不會有收穫的。”

前來拜歐幾里得為師，學習幾何的人，越來越多。有的人是來湊熱鬧的，看到別人學幾何，他也學幾何。一位學生曾這樣問歐幾里得：“老師，學習幾何會使我得到什麼好處？”歐幾里得思索了一下，請僕人拿點錢給這位學生，冷冷地說道：“看來，你拿不到錢，是不肯學習幾何學的！”

歐幾里得沉醉於他的幾何學。他對做官、賺錢之類事情，沒有多大興趣。他認為，科學與權勢、金錢無緣。正因為這樣，他把畢生的精力獻給了幾何學。如今，人們還把他所研究的幾何學稱為“歐氏幾何”，它是現代幾何學的一門學科。

《幾何原本》，一部劃時代的集大成的著作,傳奇教材,數學中的《聖經》

《幾何原本》大概是亞歷山大(Alexandria)大學(有人評其為世界上第一所大學，歐幾里得在此當數學教授)的課本。亞歷山大大學是希臘文化最後集中的地方，亞歷山大大帝自己到過亞歷山大，建立了當時北非的大城，靠在地中海。但是他遠征到亞洲之後，很快就死了。之後，他的大將托勒密管理當時的埃及區域。托勒密很重視學問，就成立了一個大學，就在他的王宮旁邊。

不少人稱《幾何原本》為數學工作者的“聖經”，在數學史乃至人類思想史上有著無比崇高的地位。著作分13卷，包含了5條“公理”、5條“公設”、23個定義和467個（也有說465個）命題。內容安排上，由淺到深，從簡至繁，先後論述了直邊形、圓、比例論、相似形、數、立體幾何以及窮竭法等內容。有關窮竭法的討論，成為近代微積分思想的來源。有八卷講述幾何學，包含了現今中學所學平面幾何和立體幾何。《幾何原本》的意義不限於其內容的重要，或其對定理的出色證明。真正重要的是歐幾里得在書中創造的公理化方法。

證明幾何命題時，一個命題總是從再前一個命題推導出來的，而前一個命題又是從再前一個命題推導出來的。我們不能這樣無限地推導下去，應有一些命題作為起點。這些作為論證起點，具有自明性並被公認下來的命題稱為公理，如“兩點確定一條直線”。同樣對於概念來講也有些不加定義的原始概念，如點、線等。在一個數學理論系統中，我們儘可能少地先取原始概念和不加證明的若干公理，以此為出發點，利用純邏輯推理的方法，把該系統建立成一個演繹系統，這樣的方法就是公理化方法。

歐幾里得正是先擺出公理、公設、定義作為已知要素，再由簡單到複雜地證明一系列命題。論證之精彩，邏輯之周密，令人歎為觀止。歐幾里得被認為是成功而系統地應用公理化方法的第一人。

兩千多年來，《幾何原本》一直是學習幾何的主要教材。哥白尼、伽利略、笛卡爾、牛頓等許多偉大的學者都曾學習過《幾何原本》，從中吸取了豐富的營養，從而作出了許多偉大的成就。包括中國在內的許多國家仍以它為基礎作為幾何教材。

當時的托勒密國王專門出資供養30～50位學者（其中也包括歐幾里得），讓他們在亞歷山大圖書館潛心研究學問。亞歷山大圖書館館藏各類書籍手稿逾50萬卷，並積累了大量幾何學原始文獻，歐幾里得盡其所能地收集了前人的數學專著與手稿，將這些原本散亂的、缺乏內在聯繫而又未能形成系統證明的定理加以梳理整合，使之結構精密嚴謹、環環相扣，歷經數年終於創立出一部《幾何原本》（13卷）。

歐幾里得的《幾何原本》是一部劃時代的著作。其偉大的歷史意義在於它是用公理法建立起演繹體系的最早典範。過去所積累下來的數學知識，是零碎的、片斷的，可以比作磚瓦木石；只有藉助於邏輯方法，把這些知識組織起來，加以分類、比較，揭露彼此間的內在聯繫，整理在一個嚴密的系統之中，才能建成宏偉的大廈。

對人類文明而言，最具重要意義的恰恰是歐幾里得在《幾何原本》中所創造的“公理化方法”。其論證之精彩，邏輯之周密，結構之嚴謹，令人歎為觀止。歐幾里得被認為是全面而系統地應用公理化方法的第一人，零散的數學理論被他成功地創建為一個從基本假定到複雜結論，猶如金字塔般嚴整的系統化整體。他的工作被認為是“最早運用公理法建立數學演繹體系的典範”，這一方法在此後的物理學等其他科學領域中都得到了廣泛的應用。兩千多年前寫就的《幾何原本》已被翻譯成各種文字，它的印刷量僅次於《聖經》，故人們將《幾何原本》奉為數學界的“聖經”。

《幾何原本》的公理化描述,展現數學邏輯與推演的本質

《幾何原本》首先遴選出一些現實世界並不真正存在的、抽象的點、線、面、圓，列出了三個基本對象（點、直線、平面）；提出了三個基本關係（結合關係——點在直線上、點在平面上；順序關係——一點在另兩點之間；合同關係——兩線段合同、兩角合同）；規定了五組公理（結合公理、順序公理、合同公理、平行公理和連續公理，共20條）。基本對象與基本關係統稱為基本概念，它們是不加定義的，只受5組公理的制約。

歐幾里得平面幾何的五條公理（公設）是：

從一點向另一點可以引一條直線。

任意線段能無限延伸成一條直線。

給定任意線段，可以以其一個端點作為圓心，該線段作為半徑作一個圓。

所有直角都相等。

若兩條直線都與第三條直線相交，並且在同一邊的內角之和小於兩個直角，則這兩條直線在這一邊必定相交。

第五條公理稱為平行公理（平行公設），可以導出下述命題：

通過一個不在直線上的點，有且僅有一條不與該直線相交的直線。

平行公理並不像其他公理那麼顯然。許多幾何學家嘗試用其他公理來證明這條公理，但都沒有成功。19世紀，通過構造非歐幾里得幾何，說明平行公理是不能被證明的（若從上述公理體系中去掉平行公理，則可以得到更一般的幾何，即絕對幾何）。

從另一方面講，歐幾里得幾何的五條公理（公設）並不完備。例如，該幾何中的定理：在任意直線段上可作一等邊三角形。他用通常的方法進行構造：以線段為半徑，分別以線段的兩個端點為圓心作圓，將兩個圓的交點作為三角形的第三個頂點。然而，他的公理並不保證這兩個圓必定相交。因此，許多公理系統的修訂版本被提出，其中有希爾伯特公理系統。

歐幾里得還提出了五個“一般概念”，也可以作為公理。可以說最早的數學公理了，當然，之後他還使用量的其他性質。

1、與同一事物相等的事物相等。

2、相等的事物加上相等的事物仍然相等。

3、相等的事物減去相等的事物仍然相等。

4、一個事物與另一事物重合，則它們相等。

5、整體大於局部。

《原本》的最大貢獻在於，它建立了一個由定義、公設、公理，以及所有定理組成的邏輯體系；對每一定理不僅僅作出了證明，更重要的，它是在這種邏輯體系中作出的證明。這種編寫方式具有十分明顯的優越性，每一個定理都與前一個定理有著十分清晰而明確的聯繫，可以避免循環論證。

《原本》13卷中，第5，7，8，9，10卷主要講述比例和算術理論，其餘各卷都是講述幾何內容的。

《原本》集當時希臘數學之大成，開公理化方法之先河，在數學發展史上具有劃時代的意義；同時，它開啟了人類思維的一場革命，是科學思想史上的一個里程碑；它對數學及其他科學乃至人類的思想所產生的巨大推動作用是其他著作無法取代的。

《原本》問世後，各種文字的手抄本流傳了1700多年；以後又以印刷本的形式出了1000多版。

1607年，明代數學家徐光啟（1562—1633）與意大利傳教士利瑪竇合作，將德國人克里斯托弗·克拉維烏斯校訂增補的拉丁文本《歐幾里得原本》（15卷，1574）前6卷譯成中文出版，並定名為《幾何原本》，幾何的中文名稱即由此而來。1857年，中國科學家李善蘭與英國人偉烈亞力根據《原本》的另一種英文版本將後9卷合譯出版。

由於時代的侷限性，歐幾里得的《原本》也存在很多缺陷。為此，很多數學家對它進行了不懈的研究。1899年，德國數學家希爾伯特（David Hilbert，1862—1943）的《幾何基礎》出版，書中第一次給出了完備的歐幾里得幾何的公理系統。

從此，人們把以歐幾里得平行公理為基礎的幾何學稱為“歐幾里得幾何學”（Euclidean geometry），簡稱“

我國初中數學中的幾何與歐氏幾何的關係

作為現代中學數學課程的一部分，我國的中學平面幾何課程內容主要脫胎於歐幾里得《幾何原本》中的平面幾何部分。例如，從20世紀30年代直到50年代初，我國很多中學使用的譯自國外的3S平面幾何教材，就是《幾何原本》中平面幾何部分的改寫本；人民教育出版社成立初期出版的自己編寫的平面幾何教材，內容也是類比著《幾何原本》。

現行的初中平面幾何課程內容是由教育部制定的《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《課程標準（2011年版）》）規定的。具體來說，《課程標準（2011年版）》在其第三學段（7~9年級）的“圖形與幾何”部分，列出以下9條基本事實，作為義務教育階段圖形性質證明的出發點：

（1）兩點確定一條直線。

（2）兩點之間線段最短。

（3）過一點有且只有一條直線與這條直線垂直。

（4）兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那麼兩直線平行。

（5）過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行。

（6）兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等（SAS）。

（7）兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等（ASA）。

（8）三邊分別相等的兩個三角形全等（SSS）。

（9）兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例。

從這9條基本事實出發，證明有關相交線與平行線、三角形、平行四邊形、圓的幾十個定理。

《課程標準（2011年版）》把上述9條稱為“基本事實”，而不稱為“公理”，其主要原因是其中大多數都是歐氏幾何中的定理，而且它們也不具有公理體系所應有的獨立性和完備性。

我國目前各版本的初中數學教材都是依據《課程標準（2011年版）》進行編寫的。對平面幾何內容的處理，也都毫無例外地以上述9條基本事實作為相關幾何證明的出發點。

1578年，意大利傳教士利瑪竇（Matteo Ricci，1552~1610）梯航東來，於1582年到達澳門，由此掀開了西學東漸的歷史大幕。經過19年在華的苦心經營，他採取的“學術傳教”策略獲得成功，在明萬曆二十九年（1601）獲准留居京師，他與徐光啟（1562~1633）合作翻譯《幾何原本》.徐光啟對《幾何原本》的翻譯，確定了研究圖形這一學科的中文名稱為“幾何”。“幾何”的原文是“geometria”，徐光啟和利瑪竇在翻譯時，取“geo”的音為“幾何”，而“幾何”二字中文原意又有“衡量大小”的意思。這種譯法，音義兼顧，確是神來之筆。幾何學中最基本的一些術語，如點、線、直線、平行線、角、三角形和四邊形等中文譯名，都是這個譯本確定下來的。這些譯名一直流傳到今天，並且東渡日本等國，影響深遠。

反思與感慨

中學時代（包括小學）是每個人汲取人類從古代直到18世紀之前、幾乎囊括人類全部科學成就的黃金時期。幸運的中學生本該成為能夠全景式欣賞人類早期智慧的清純族群！可嘆當年稚氣十足，閱歷清淺，一抹“童心”冥頑不靈。如今五十而知天命，如同老牛反芻，仔細咀嚼回味少年所學之科學經典，反而能從根底上深深服膺古代哲人那種絕頂高超的純邏輯思考，歎賞人類文明之初的“哲科思維”使“狹義哲學”與“科學體系”互為提升，登臨智慧巔峰。以此老眼閱世，品味人類全部文明那種“遠近高低各不同”而又各逞其趣的“廬山真面目”，真是悠然快哉。

參考文獻：王永會，初中幾何與歐氏幾何

中學數學深度研究

我們都知道數學中有定理和公理。其中公理由符號和推論規則組成。定理是根據公理的推論規則推導出來的規則。所以題主的問題可以理解為公理是怎麼證明出來的。

剛開始接觸證明題的時侯，我們被灌輸了公理是不需要證明的思想。其實這個思想是有條件的，在用公理建立起來的推論體系中，公理無需證明。但這樣的體系還是需要證明的。比如，幾何的公理象兩點決定一條直線啦，平行線永不相交等等，在平面幾何的體系裡面是不需要證明的，但是平面幾何的體系本身還是需要證明的。下面就說說一個公理體系需要證明些什麼。

首先，公理體系需要符合形式邏輯的三大規律：同一律、排中律、矛盾律。

• 同一律要求公理的推論結果是公理體系中的元素。比如，自然數公理（也叫皮亞諾公理）中，無論對一個自然數做多少次計算，算出來的結果還是自然數。同一律要求公理系統必須是封閉的。
• 排中律要求公理之間不能相互證明。這就是我們通常說的公理無需證明。公理必須是相互獨立的。
• 矛盾律要求所有公理的推論結果必須是一致的，不能相互矛盾。如果某一規則說1+1=2，但別的規則又能證明1+1!=2，這樣的公理體系就是矛盾的。

其次，公理體系需要具備完備性，也就是說體系中的公理涵蓋了所有的元素，不存在遺漏。這是公理體系證明中最困難的部分，甚至有人為此獻出了生命。就拿數學中的實數公理系來說，最初的公理系是說所有的數都可以用四則運算計算出來，也就是數都是有理數。可是很快有人就發現正方形的斜邊長度無法用四則運算。這個公理體系就崩塌了。這個藐視權威的人被扔到海里淹死了，成了捍衛真理的英雄。後來人們完善了實數公理體系，建立了由三大公理群組成的複雜體系：

• 域公理 就是交換律、結合律什麼的
• 序公理 A>B，B>C則A>C（傳遞性）之類
• 連續性公理 這是最複雜的部分高等數學中的連續、收斂、有界什麼的都是從這兒來的

說到完備性，就不得不說說不完備性定理了。其實前面所說的邏輯三大規律本身就是公理。1931年數學家哥德爾提出了不完備性定理，證明了形式邏輯體系也就是上面所說的同一律、矛盾律、排中律本身存在矛盾。這個定理振動了整個數學界，如果不解決上面振振有詞解釋的所有東西就都成了謬論。但不幸的是直到今天人們還是沒有找到解決的辦法。

公理的證明方法有邏輯關係上的證明，也有通過實踐進行證明的。我再舉個例子，牛頓三大力學定律就是一個力學的公理體系。簡單地說，就是慣性、加速度、作用力和反作用力。人們在研究光的運動規律時，發現光並不符合這個公理系的規則，牛頓力學公理系被推翻了。愛因斯坦這個牛人把光速恆定當成公理，又加上了相對平權的公理，建立了相對論公理體系，解決了這個問題。愛因斯坦之所以牛，就在於他不僅提出了相對論的體系，還證明了這個體系在邏輯上是嚴密的。

我說了這麼多無非是想說公理也需要證明。公理的證明不僅需要嚴密的邏輯推理，還需要實踐的佐證，它是最前沿的學術研究。每一個公理的證明都是人類智慧的結晶。

日衝信息 黃

1.定理是經過受邏輯限制的證明為真的陳述。定理並不是我們所想的那樣高大上，你可以指著一塊石頭說：“這是一塊石頭。”這是一個事實，而且受到邏輯限制，這就可以是一條定理。所以歷史上最早的定理無從考究。但一般來說，在數學中只有重要或有趣的陳述才叫定理。

2.證明題中的定律，必須要建立在公理和條件的基礎上，通過嚴格的推理和證明得到，不能存在邏輯矛盾。和定理不同，公里是依據人類理性而成的基本事實。它經過人類長期反覆時間的考驗，已經不需要再證明。公理是所有定理的基礎和前提。

科學a宇宙

定理其實也不一定對，但是看起來對就行，或者假設它就是對的！就像人為什麼會動，這是常識，不需要證明

jasmine5050

根據想象和猜測。然後後人不斷去證偽，如果所有人都不能推翻這個猜測，那麼他就作為公理存在了下來。

Chemlover

定理都是已經證明過的了。否則不能稱為定理，只能稱為猜想。只有公理不需要證明。因為嚴格來說公理是規則。如果連規則都不確定，就沒法玩了。

莊惠松

定理由公理推導得來，而公理是不證自明的。

中宮格甘

定理區別於定律，是客觀存在的，最早的定理是由前輩學者在科學研究期間發現並總結整理的

普物推薦

首先是用公理，公理就是所有人都承認的道理。而定理是根據公理推出來的一些道理，雖然不像公理那樣被所有人承認，但在推算的過程中，是嚴格遵循科學道理的。

瀝瀝在心1

其實簡單來說，一個定理可能是用其它幾個定理來證明出來的。也有可能是公理來證明的。那有人會問公理是怎麼證明出來的，其實公理是不需要證明的。公理是人類理性的不證自明的基本事實，經過人類長期反覆實踐的考驗，不需要再加證明的基本命題。

關鍵字: 定理 歐幾里得 科學