有些幾何最值問題，幾何變量關係不明顯，需要挖掘變量之間關係，通過恰當設取恰當未知數，讓學生求出變量間的函數表達式，然後再讓學生求變量的最值，這類問題需要用函數模型解決，但是也有很多幾何最值問題並沒有給出求函數表達式的指令，所以很多學生想不到，對於此類問題，更多學生往往不知道應該選擇何種模型，所以應當重視這類問題。
解題策略
建立函數模型求最值一般需要以下幾個步驟：
（1）選擇自變量，確定自變量的取值範圍；
（2）求得函數解析式；
（3）在自變量取值範圍內利用配方或函數圖象的最高點（或最低點），二次函數需結合頂點公式，求得函數的最大值（或最小值）.
經典考題
1．（2019秋•嘉興期末）一副三角板（△ABC與△DEF）如圖放置，點D在AB邊上滑動，DE交AC於點G，DF交BC於點H，且在滑動過程中始終保持DG＝DH，若AC＝2，則△BDH面積的最大值是（ ）
A．3 B．3√3 C．3/2 D．3√3/2
【解析】：本題考查了二次函數的性質，解直角三角形，三角形全等的判定和性質以及三角形面積，得到關於x的二次函數是解題的關鍵．
如圖，作HM⊥AB於M，∵AC＝2，∠B＝30°，∴AB＝2√3，
∵∠EDF＝90°，∴∠ADG+∠MDH＝90°，
∵∠ADG+∠AGD＝90°，∴∠AGD＝∠MDH，
∵DG＝DH，∠A＝∠DMH＝90°，
∴△ADG≌△MHD（AAS），∴AD＝HM，
2．（2019秋•松滋市期中）如圖，四邊形ABCD的兩條對角線互相垂直，AC+BD＝16，則四邊形ABCD的面積最大值是（ ）
A．16 B．32 C．36 D．64
【解析】：設AC＝x，四邊形ABCD面積為S，則BD＝16﹣x，
當x＝8時，S最大＝32；
所以AC＝BD＝8時，四邊形ABCD的面積最大，故選：B．
變式．（2019•無錫模擬）四邊形的兩條對角線AC、BD所成的銳角為45°，當AC+BD＝9時，四邊形ABCD的面積最大值是（ ）
A．75√2/4 B．81√2/16 C．19√2 D．21√2
【解析】：過點B作BF⊥AC，與CA延長線交於點F，過點D作DE⊥AC於點E，∵AC與BD所成的銳角為45°，∴BF＝OBsin45°，DE＝ODsin45°，
∴四邊形ABCD的面積S＝
3.（2019•順慶區校級自主招生）如圖，已知AB＝8，P為線段AB上一個動點，分別以A、B為邊在AB的同側作菱形APCD和菱形PBFE，點P、C、E在同一直線上，∠DAP＝60°，M、N分別是對角線AC、BE的中點．當點P在線段AB上移動時，線段MN的最小值是_____．
【解析】連接PM、PN．首先證明∠MPN＝90°設PA＝2a，則PB＝8﹣2a，PM＝a，PN＝√3（4﹣a），構建二次函數，利用二次函數的性質即可解決問題；連接PM、PN．
∵四邊形APCD，四邊形PBFE是菱形，∠DAP＝60°，
∴∠APC＝120°，∠EPB＝60°，
∵M，N分別是對角線AC，BE的中點，
∴∠CPM＝1/2∠APC＝60°，∠EPN＝1/2∠EPB＝30°，
∴∠MPN＝60°+30°＝90°，
4．（2019春•雁塔區校級期末）如圖，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，F是AB邊上的中點，點D、B分別在AC、BC邊上運動，且保持AD＝CE，連接DE、DF、EF，則△CDE面積的最大值為______．
【解析】設AD＝x，則CE＝AD＝x，CD＝8﹣x，根據三角形面積公式列式，由二次函數配方可得最大值．
∵﹣1/2＜0，∴當x＝4，即AD＝4時，△CDE面積有最大值是8，
故答案為：8．
5．（2019•晉江市一模）如圖，點P為線段AB（不含端點A、B）上的動點，分別以AP、PB為斜邊在AB的同側作Rt△AEP與Rt△PFB，∠AEP＝∠EPF＝∠PFB＝90°，若AE+PF＝8，EP+FB＝6，則線段EF的取值範圍是_______．
【解析】本題考查二次函數最值，三角形相似，勾股定理，平行線的判定，是綜合性很強的一道題；能夠通過平行得到三角形相似，能夠通過相似得到邊的關係，利用勾股定理得到二次函數的解析式，再由二次函數的值的範圍求解，因此熟練掌握相似、平行、二次函數最值的求法是解題的關鍵．
解一（函數思想）：設AE＝x，PE＝y，則PF＝8﹣x，BF＝6﹣y，
∵∠AEP＝∠EPF＝∠PFB＝90°，∴PE∥BF，∴△PEA∽△BFP，
解二（幾何思想）：延長BF、AE相交於點G，連接GP，
∵∠AEP＝∠EPF＝∠PFB＝90°，∴四邊形GFPE是矩形，∴FE＝GP，
∵GF＝PE，GE＝BF，∴BG＝BF+PE，AG＝AE+FP，
∵AE+PF＝8，EP+FB＝6，
∴BG＝6，AG＝8，∴AB＝10，
當GP⊥AB時，GP最小，最小值為24/5；
當EF與GA重合時，EF最大，最大值為8，
∵點P為線段AB（不含端點A、B）上的動點，∴24/5≤EF＜8．
故答案為故答案為24/5≤EF＜8．
6.如圖，正方形ABCD的邊長為2，點E、F分別是邊AB、CD上的動點，且AE＝CF，連接EF，將線段EF繞點E逆時針旋轉90°得到線段EG，連接DG，則線段DG長的最小值為_______
【解析】：如圖，過點F作FM⊥AB於M，過點G作GH⊥AD於H，GN⊥AB於N，∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝AD＝CD＝2，∠B＝∠C＝∠BAD＝90°，
且FM⊥AB，GH⊥AD，GN⊥AB，
∴四邊形BCFM，四邊形AHGN是矩形，
∴BM＝CF，NG＝AH，AN＝GH，MF＝BC＝2，
∵將線段EF繞點E逆時針旋轉90°得到線段EG，
∴EG＝EF，∠GEF＝90°，
∴∠NEG+∠FEM＝90°，且∠NGE+∠NEG＝90°，
∴∠FEM＝∠NGE，且∠N＝∠FME＝90°，EF＝EG，
∴△EGN≌△EFM（AAS）
∴NE＝MF＝2，EM＝NG，
設AE＝CF＝a，
∴EM＝2﹣2a＝NG＝AH，AN＝2﹣a＝GH，
∴HD＝AD﹣AH＝2﹣（2﹣2a）＝2a，
7．如圖，在菱形ABCD中，AB＝6，∠ADC＝120°，P為對角線AC上的一點，過P作PE∥AB交AD與E，PF∥AD交CD於F，連接BE、BF、EF．
（1）求AC的長；
（2）求證：△BEF為等邊三角形；
（3）四邊形BEPF面積的最小值為_______．
【解析】本題考查了菱形的性質，平行四邊形的判定和性質，等邊三角形的判定和性質，三角形全等的判定和性質以及二次函數的性質，作出輔助線構建全等三角形是解題的關鍵．
（1）：連接BD，交AC於G，
∵菱形ABCD中，AC和BD是對角線，
∴BD⊥AC，AG＝CG＝1/2AC，
∵AB＝6，∠ADC＝120°，∴∠BAC＝∠BCA＝30°，
在Rt△ABG中，AG＝AB•cos∠BAC＝6×√3/2＝3√3，
∴AC＝2AG＝6√3；
（2）證明：∵在菱形ABCD中，AB＝6，∠ADC＝120°，
∴∠BAD＝∠BCD＝60°，∠ABD＝∠CBD＝∠ADB＝∠CDB＝60°，
∴△ABD是等邊三角形，∴BD＝AB＝BC＝6，
∵PE∥AB，PF∥AD，
∴∠CPF＝∠CAD，四邊形DEPF是平行四邊形，∴ED＝PF，
∵AD＝DC，∴∠CAD＝∠ACD，∴∠CPF＝∠ACD，∴PF＝FC，
∴ED＝FC，∴易證明△BED≌△BFC（SAS），
∴BE＝BF，∠EBD＝∠FBC，
∵∠FBC+∠FBD＝∠CBD＝60°，
∴∠EBD+∠FBD＝∠EBF＝60°，∴△BEF是等邊三角形；
（3）解：作PH⊥CD於H，
設FC＝x，則PF＝x，DF＝6﹣x，
∵∠ADC＝120°，PF∥AD，∴∠PFD＝60°，
反思總結
在實際的解題中，如果求的是一條線段的最值或是幾條線段和（或差）的最值，那麼首選是嘗試套用常見的基本的幾何模型，若未能夠直接套用幾何模型，那麼可以先分析題目中和動點有關的數量關係，特別是一些變化過程中的不變量，通過數量關係的轉化，將其化歸為常見的基本的幾何模型（如將軍飲馬模型，胡不歸模型，阿氏圓模型等），從而解決問題.若不能用幾何模型求解，則可以尋找其中隱藏的函數關係，然後構建函數模型解決最值問題.
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