【分析方法導引】
當幾何問題中，出現了角平分線和向角平分線所作的垂線的時候，就要想到可應用等腰三角形中重要線段的基本圖形進行證明。
若角平分線的垂線沒有過角的頂點時，可直接將角平分線的垂線延長到與角的兩邊相交，構成等腰三角形中重要線段的基本圖形，然後再應用一次軸對稱型全等三角形來完成分析。
若角平分線的垂線經過角的頂點時，則應將角平分線的垂線平行移動，使它離開角的頂點，然後再與角的兩邊相交構成等腰三角形中的重要線段的基本圖形。
例13 如圖3-158，已知：MN是△ABC的∠A的外角平分線，BD⊥MN，CE⊥MN，垂足是D、E，CD、BE相交於F。求證：FA平分∠BAC。
圖3-158
分析：本題條件中出現了CE是向∠A的外角平分線MN所作的垂線，就必定得到一個等腰三角形的基本圖形。由於這個等腰三角形是由角平分線的垂線和角的兩邊相交得到的，所以延長CE並與BA的延長線相交於G（如圖3-159），就可得△ACE≌△AGE，AC=AG，CE=GE。
圖3-159
本題要證明的結論是FA平分∠BAC，這樣FA和EA就分別是∠A的內外角平分線，所以只要證明FA⊥EA。但已知CE⊥AE，於是又應證FA∥CE。這樣就出現了FA是△DEC內一條邊CE的平行線段，所以可應用平行線型相似三角形的性質進行證明，於是問題就可以轉化為要證明DA/AE=DF/FC（如圖3-160）。而由條件BD⊥MN，CG⊥MN，可得BD∥CE，這是兩條平行線段，且它們的四個端點兩兩的連線在F點相交，所以又可以得到一對平行線型相似三角形，從而就可推得△BDF∽△ECF，DF/CF=BD/CE。類似地，由BD∥GE，又可推得△BDA∽△GEA，DA/AE=BD/GE，但CE=GE是已經證明的，所以DF/FC=DA/AE就可以證明。
圖3-160
例14 如圖3-161，已知：△ABC中，BC=3AB，BO是角平分線，CD⊥BO交BO的延長線於D。求證：DO=BO。
圖3-161
分析：本題的條件中出現CD⊥BO是向角平分線所作的垂線，所以必定會構成一個等腰三角形的基本圖形。由於這個等腰三角形是由角平分線的垂線和角的兩邊相交得到的，而現在這條CD尚未和角的一邊BA相交，所以應將它們延長到相交，亦即延長CD交BA的延長線於E（如圖3-162），就可得△BED≌△BCD，BE=BC，DE=DC。並進一步可得BE=3AB，AE=2AB。
現在得到的AE=2AB是線段之間的倍半關係，所以可根據線段倍半關係的定義將倍線段兩等分，也就是取AE的中點F後可得AB=AF=EF。
圖3-162
在作出了F是AE的中點後，由於已經證明D是CE的中點，出現了多箇中點問題，從而就可應用三角形的中位線的基本圖形的性質進行證明。由於F、D這兩個中點所在的線段AE、CE具有公共端點E，可以組成三角形，所以D、F這兩個中點的連線就是三角形的中位線，而現在圖形中是由三角形而沒有中位線，所以講中位線添上，即聯結DF（如圖3-163），得DF∥CA。現在要證明的結論是BO=DO，而現在已經證明FD∥AO，所以問題有轉化為需要AB=AF成立，但這一性質我們在前面分析過程中已經得到，所以分析可以完成。
圖3-163
本題的分析在延長CD交BA的延長線於E，CD=ED和AE=2AB後，也可以再從結論DO=BO接下去進行分析：
由結論DO=BO，且BD、AC在O點相交，就出現了DO=BO這兩條要證明相等的線段是位於一組對頂角的兩邊且成一直線，從而就可添加中心對稱型全等三角形進行證明，添加的方法是過端點作平行線。
若平行線選擇過端點D作，則過D作DF∥AB交AC於F（如圖3-164），那就可得∠ABO=∠FDO，且∠AOB=∠FOD，但BO=DO是結論，不能用，所以必須另外證一組邊對應相等，由於已經證得AE=2AB，根據這個條件應考慮證明AB=FD，於是問題就可轉而證AE=2FD，但已證D是CE的中點且所作DF∥AE，所以這個性質是可以證明的，那麼通過△ABO≌△FDO就可完成分析。
圖3-164
若平行線選擇過端點B作，則過B作BF∥CD交CA的延長線於F（如圖3-165），可得∠FBO=∠CDO=90°，∠FOB=∠COD。所以要證明△FOB和△COD全等，也必須要再證一組邊對應相等。由於BF∥CE，且它們的四個端點的兩兩的連線在A點相交，所以可應用平行線型相似三角形進行證明，於是就可證明△BAF∽△EAC，BF/EC=AB/AE，但已證AE=2AB，所以EC=2BF，但我們已證明EC=2CD，所以又可得BF=DC，所以這兩個三角形全等可以證明，分析也就可完成。
圖3-165
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