09.14 音樂中的數學

音樂中的 1，2，3 並不是數字而是專門的記號，唱出來是 do, re, mi，它來源於中世紀意大利一首讚美詩中前七句每一句句首的第一個音節。而音樂的歷史像語言的歷史一樣悠久，其淵源已不可考證。但令人驚異的是我們可以運用數學知識來解釋音樂的許多規則其中包括音樂基本元素──樂音的構成原理，也就是說 1，2，3……這些記號確實有著數字或數學的背景。

學習音樂總是從音階開始，我們常見的音階由 7 個基本的音組成：

1，2，3，4，5，6，7

或用唱名錶示即

do, re, mi, fa, so, la, si

用 7 個音以及比它們高一個或幾個八度的音、低一個或幾個八度的音做成各種組合就是“曲調”。

美國著名音樂理論家珀西·該丘斯（Percy Goetschius，1853-1943）說“對於求知心切的音樂學習者與音樂愛好者，再沒有像‘音階’似的音樂要素，即刻而又持久地引起他們的好奇心與驚異的了”。

7 音音階按“高度”自低向高排列，要搞清音階的原理，首先須知道什麼是音的“高度”？音與音之間的“高度”差是多少？

物體發生振動時產生聲音，振動的強弱（能量的大小）體現為聲音的大小，不同物體的振動體現為聲音音色的不同，而振動的快慢就體現為聲音的高低。

振動的快慢在物理學上用頻率表示，頻率定義為每秒鐘物體振動的次數，用每秒振動 1 次作為頻率的單位稱為赫茲。頻率為 261.63 赫茲的音在音樂裡用字母 c1 表示。相應地音階表示為

c, d, e, f, g, a, b

在將 C 音唱成“do”時稱為 C 調。

頻率過高或過低的聲音人耳不能感知或感覺不舒服，音樂中常使用的頻率範圍大約是 16~4000 赫茲，而人聲及器樂中最富於表現力的頻率範圍大約是 60~1000 赫茲。

在絃樂器上撥動一根空弦，它發出某個頻率的聲音，如果要求你唱出這個音你怎能知道你的聲帶振動頻率與空弦振動頻率完全相等呢？這就需要“共鳴原理”：當兩種振動的頻率相等時合成的效果得到最大的加強而沒有絲毫的減弱。因此你應當通過體驗與感悟去調整你的聲帶振動頻率使聲帶振動與空弦振動發生共鳴，此時聲帶振動頻率等於空弦振動頻率。

人們很早就發現，一根空弦所發出的聲音與同一根空弦但長度減半後發出的聲音有非常和諧的效果，或者說接近於“共鳴”，後來這兩個音被稱為具有八度音的關係。我們可以用“如影隨形”來形容一對八度音，除非兩音頻率完全相等的情形，八度音是在聽覺和諧方面關係最密切的音。

18 世紀初英國數學家泰勒（Taylor，1685-1731）獲得弦振動頻率f的計算公式：

l 表示弦的長度、T 表示弦的張緊程度、ρ 表示弦的密度。

這表明對於同一根弦（材質、粗細相同）頻率與弦的長度成反比，一對八度音的頻率之比等於 2∶1。

現在我們可以描述音與音之間的高度差了：假定一根空弦發出的音是do，則二分之一長度的弦發出高八度的 do；8/9 長度的弦發出 re，64/81 長度的弦發出 mi，3/4 長度的弦發出 fa，2/3 長度的弦發出 so，16/27 長度的弦發出 la，128/243 長度的弦發出 si 等等類推。例如高八度的 so 應由 2/3 長度的弦的一半就是 1/3 長度的弦發出。

為了方便將 c 音的頻率算作一個單位，高八度的 c 音的頻率就是兩個單位，而 re 音的頻率是 9/8 個單位，將音名與各自的頻率列成下表：

表一：

音名 C D E F G A B C

頻率 1 9/8 81/64 4/3 3/2 27/16 243/128 2

二

知道了 do, re, mi, fa, so, la, si 的數字關係之後，新的問題是為什麼要用具有這些頻率的音來構成音階？實際上首先更應回答的問題是為什麼要用 7 個音來構成音階？

這可是一個千古之謎，由於無法從逝去的歷史進行考證，古今中外便有形形色色的推斷、臆測，例如西方文化的一種說法基於“7”這個數字的神秘色彩，認為運行於天穹的 7 大行星（這是在只知道有 7 個行星的年代）發出不同的聲音組成音階。我們將從數學上揭開謎底。

我們用不同的音組合成曲調，當然要考慮這些音放在一起是不是很和諧，前面已談到八度音是在聽覺和諧效果上關係最密切的音，但是僅用八度音不能構成動聽的曲調——至少它們太少了，例如在音樂頻率範圍內 c1 與 c1 的八度音只有如下的 8 個：C2（16.35赫茲）、C1（32.7赫茲）、C（65.4赫茲）、c（130.8赫茲）、c1（261.6赫茲）、c2（523.2赫茲）、c3（1046.4赫茲）、c4（2092.8赫茲），對於人聲就只有C、c、c1、c2這 4 個音了。

為了產生新的和諧音，回顧一下前面說的一對八度音和諧的理由是近似於共鳴。數學理論告訴我們：每個音都可分解為由一次諧波與一系列整數倍頻率諧波的疊加。仍然假定 c 的頻率是 1 ，那麼它分解為頻率為 1，2，4，8，…的諧波的疊加，高八度的 c 音的頻率是 2，它分解為頻率為 2，4，8，16，…的諧波的疊加，這兩列諧波的頻率幾乎相同，這是一對八度音近似於共鳴的數學解釋。由此可推出一個原理：兩音的頻率比若是簡單的整數關係則兩音具有和諧的關係，因為每個音都可分解為由一次諧波與一系列整數倍諧波的疊加，兩音的頻率比愈是簡單的整數關係意味著對應的兩個諧波列含有相同頻率的諧波愈多。

次於 2∶1 的簡單整數比是 3∶2。試一試，一根空弦發出的音（假定是表 1 的 C，且作為 do）與 2/3 長度的弦發出的音無論先後奏出或同時奏出其效果都很和諧。可以推想當古人發現這一現象時一定非常興奮，事實上我們比古人更有理由興奮，因為我們明白了其中的數學道理。接下來，奏出 3/2 長度弦發出的音也是和諧的。它的頻率是 C 頻率的 2/3，已經低於 C 音的頻率，為了便於在八度內考察，用它的高八度音即頻率是 C 的 4/3 的音代替。很顯然我們已經得到了表 1 中的 G（so）與 F（fa）。

問題是我們並不能這樣一直做下去，否則得到的將是無數多音而不是 7 個音！

如果從 C 開始依次用頻率比 3∶2 製出新的音，在某一次新的音恰好是 C 的高若干個八度音，那麼再往後就不會產生新的音了。很可惜，數學可以證明這是不可能的，因為沒有自然數m、n會使下式成立：

(3/2)m = 2n

此時，理性思維的自然發展是可不可以成立近似等式？經過計算有 (3/2)5 = 7.594 ≈23 = 8，因此認為與 1 之比是 23 即高三個八度關係算作是同一音，而 (3/2 )6 與 (3/2)1 之比也是 23 即高三個八度關係等等也算作是同一音。在“八度相同”的意義上說，總共只有 5 個音，他們的頻率是：

1, (3/2), (3/2)2, (3/2)3, (3/2)4 (1)

摺合到八度之內就是：

1, 9/8, 81/64, 3/2, 27/16

對照表 1 知道這 5 個音是 C（do）、D（re）、E（mi）、G（so）、A（la），這是所謂五聲音階，它在世界各民族的音樂文化中用得不是很廣，不過我們熟悉的“賣報歌”就是用五聲音階作成。

接下來根據 (3/2)7 = 17.09 ≈ 24 = 16，總共應由 7 個音組成音階，我們在 (1) 的基礎上用 3∶2 的頻率比上行一次、下行一次得到由 7 個音組成的音列，其頻率是

(2/3), 1, (3/2), (3/2)2, (3/2)3, (3/2)4, (3/2)5

摺合到八度之內就是：

1, 9/8, 81/64, 4/3, 3/2, 27/16, 243/128

得到常見的五度律七聲音階大調式如表一。

考察一下音階中相鄰兩音的頻率之比，通過計算知道只有兩種情況：do-re、re-mi、fa-so、so-la、la-si 頻率之比是 9∶8，稱為全音關係；mi-fa、si-do 頻率之比是 256∶243，稱為半音關係。

以 2∶1與3∶2的頻率比關係產生和諧音的法則稱為五度律。在中國，五度律最早的文字記載見於典籍《管子》的《地員篇》，由於《管子》的成書時間跨度很大，學術界一般認為五度律產生於公元前 7 世紀至公元前 3 世紀。西方學者認為是公元前 6 世紀古希臘的畢達哥拉斯學派最早提出了五度律。

根據近似等式 (3/2)12 = 129.7 ≈ 27 = 128 並仿照以上方法又可製出五度律十二聲音階如下：

表二：

音名 C #C D #D E F #F

頻率 1 (37)/(211) (32)/(23) (39)/(214) (34)/(26) (22)/(3) (36)/(29)

音名 G #G A #A B C

頻率 3/2 (38)/(212) (33)/(24) (310)/(215) (35)/(27) 2

五度律十二聲音階相鄰兩音的頻率之比有兩種：256∶243與 2187∶2048，分別稱為自然半音與變化半音。從表中可看到，音名不同的兩音例如 #C-D 的關係是自然半音，音名相同的兩音例如 C-#C 的關係是變化半音。

人類歷史進程中，某種音樂文化的發生不可能限於一時或一地，但五度律幾乎同時在東西方出現，畢竟表明了人類藝術稟賦的貫通。

三

五度律以外的形形色色的樂律中應用最廣的是十二平均律與純律。

十二平均律—— 人們注意到五度律十二聲音階中的兩種半音相差不大，如果消除這種差別對於鍵盤樂器的轉調將是十分方便的，因為鍵盤樂器的每個鍵的音高是固定的，而不象撥絃或拉絃樂器的音高由手指位置決定。消除兩種半音差別的辦法是使相鄰各音頻率之比相等，這是一道中學生的數學題——在 1 與 2 之間插入 11 個數使它們組成等比數列，顯然其公比就是，並且有如下的不等式

1.05350 = 256 / 243 ＜ = 1.05946 ＜ 2187 / 2048 = 1.06787

這樣獲得的是十二平均律，它的任何相鄰兩音頻率之比都是，沒有自然半音與變化半音之分。

用十二平均律構成的七聲音階如下：

表三：

音名 C D E F G A B C

頻率 1 ()2 ()4 ()5 ()7 ()9 ()11 2

同五度律七聲音階一樣，C-D、D-E、F-G、G-A、A-B是全音關係，E-F、B-C是半音關係，但它的全音恰好等於兩個半音。

十二平均律既是對五度律的借鑑又是對五度律的反叛。

十二平均律的出現表明無理數進入了音樂，這是一件令人驚異的事。無理數是數學中一大怪物，當今一個非數學專業的大學生在學完大學數學之後仍然不明白無理數是什麼，數學家使用無理數已有2500多年也直到19世紀末才真正認識無理數。音樂家似乎不在乎無理數的艱深，輕易地將高雅音樂貼上了無理數的標籤。

十二平均律的出現還使得我們在前面推出的和諧性原理——兩音的頻率比愈是簡單的整數關係則兩音愈具有和諧的關係——不再成立。不過不必為此而沮喪，因為本質上說藝術行為不是一定要服從科學道理的。正如符合黃金分割原理的繪畫是藝術，反其道而行之的繪畫也是藝術。

歷史資料記載中的十二平均律發明者在歐洲是荷蘭人斯特芬（Stevin約1548 - 約1620），他於1600年前後用兩音頻率比 嚴格地確立了十二平均律；在中國是明代科學家、音樂家朱載堉（1536 - 1612），他表述的十二平均律甚至將及各次冪均計算到小數點後24位（約完成於1581年前）。十二平均律的確立是人類藝術稟賦的貫通性在音樂文化方面的又一驚人表現。

純律——五度律七聲音階的 1、3、5（do、mi、so）三音的頻率之比是 1∶81/64∶3/2，即 64∶81∶96，純律將這修改為 1∶ 5/4∶ 3/2，即64∶80∶96或4∶5∶6，使大三和絃 1-3-5 三音間的頻率之比更顯簡單。然後按1∶ 5/ 4∶3/2的頻率比從 5(so) 音上行復制兩音 7、，從1(do)音下行復制兩音、，即、、1、3、5、7、的頻率之比是

(2/3) ∶(5/4)(2/3)∶1∶(5/4)∶3/2∶(5/4)(3/2)∶(3/2)2

共得7個音摺合到八度之內構成純律七聲音階：

表四：

音名 C D E F G A B C

頻率 1 9/8 5/4 4/3 3/2 5/3 15/8 2

它與五度律七聲音階比較（表一），有4個音C、D、F、G使相同的，有3個音E、A、B不同。

在相鄰兩音的頻率比方面，純律七聲音階有 3 種關係：9∶8、10∶9、16∶15。從數字看，它比五度律七聲音階簡單，然而種類卻比五度律七聲音階多（五度律七聲音階只有2種相鄰兩音的頻率比）。在藝術上孰好孰壞，已不是數學所能判斷的了。