海倫公式

古希臘數學家海倫建立的用三角形三邊的長度求面積的公式，公式如下

當三角形三邊長都為整數時，用海倫公式就會非常方便快捷，但是若三角形三邊長都是無理數，帶根號的，那就無比難算。如下圖分析的一樣，大家可以試著去算一下：

三斜求積術

中國古人非常聰明，也發現了三角形面積的算法，在秦九韶的《數書九章》有以下文字：

問沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，裡法三百步，欲知為田幾何？

答曰：三百一十五頃

以小斜為冪，並大斜冪，減中斜冪，餘半子，自乘於上；以小斜冪乘大斜冪，減上，餘四約之，為實；一為從隅，開平方得積。

秦九韶把三角形的三條邊分別稱為小斜，中斜、大斜。術即為方法，三斜求積術就是用小斜平方加上大斜平方，減中斜平方，取餘數的一半的平方，而得一個數。小斜平方乘以大斜平方，減上面所得到的那個數。相乘後餘數被４除，所得的數作為實。作１為為隅，開平方後即得面積。

若用三斜求積術的話，那上述問題可以順利快速的解決。

海倫公式與三斜求積術本質是一樣的，它們是可以相互推導的。

推導如下：

公式的證明，有很多，可以通過初中的勾股定理來證明，三角形的內切圓的相關性質來證明，也可以通過高中的向量法來證明，也可由高中階段的餘弦定理來證明，可謂方法眾多，大家可以繼續往下了解。

方法一：通過勾股定理來證明

證明的核心在於建立邊之間的關係，同學們在推導時，要注意此證明中的方程的解法，一般採用代入法或者消元法來求解，對同學們的要求還是比較高的。

方法二：通過三角形內切圓來證明

證明的核心在於內切圓與角、面積之間的關係。利用內切圓可以用兩種方式來求三角形的面積，由此建立等量關係，最後可以整理出海倫公式，同學們在整理時需要耐心一點，這些轉化過程還是比較麻煩的。

方法三：通過平面向量來證明

證明的核心在於向量與長度的轉化。向量的數量積包括外積與內積，在高中階段同學們可能只有內積，同學在在理解時可以先去了解一下外積的算法。

方法四：通過餘弦定理來證明

證明的核心在於餘弦值的表達方式。通過餘弦定理推導，非常簡當。

海倫公式雖然是三角形面積公式，但是它的應用不只是求三角形的面積，很多時候如果能用到此公式，那對三角形面積的最大值或者最小值的求解非常有幫助。

應用１

應用２

應用３